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1、,2-1 一点的应力状态 2-2 主应力与主剪应力 应力张量的不变量 2-3 应力张量及其分解 2-4 八面体上的应力及应力强度 2-5 应力空间 2-6 应变状态 2-7 应变率及应变增量,第二章 应力状态和应变状态,一、斜面上的应力,2-1 一点的应力状态,二、转轴时应力分量的变换,一点的应力状态由九个分量组成，这些分量在坐标系变换时符合二阶张量的定义，故由这九个应力分量组成一个二阶张量，称为应力张量。,一、主应力,2-2 主应力与主剪应力 应力张量的不变量,二、应力张量的不变量,三、主剪应力,2-3 应力张量的分解,应力球张量，代表一个均匀应力状态。与此应力状态对应的变形是弹性的体积改变
2、，而无形状改变。 应力偏张量，代表一个实际的应力状态偏离均匀应力状态的程度，此应力状态将只产生材料的形状改变，而无体积变形。,用 代替应力张量三个不变量表达式中 的就可以得到应力偏张量的三个不变量，且其主方向与应力张量的主方向一致。,一、八面体上的应力,2-4 八面体应力 应力强度,二、应力强度（等效应力） 为了使不同应力状态的强度效应能进行比较，引入应力强度（等效应力）。作用是将一个复杂应力状态化作一个具有相同“效应”的单向应力状态。,单向应力状态时， 这就是 的来由。等效应力 与应力球张量无 关，而只与应力偏张量或形状改变有关。,一、三向应力圆,2-5 三向应力圆 Lode应力参数 Hai
3、gh-Westergaard应力空间,在已知应力状态上叠加一个静水应力，只会使三个应力圆一起沿 轴平移一距离，而不会改变应力圆的大小。故 轴的位置与屈服及塑性变形无关，决定屈服与塑性变形的只是应力圆本身的大小。 移轴后的三向应力圆即为描写应力偏张量的应力圆。,二、Lode应力参数 三向应力圆和应力偏张量由 三点的相对位置确定，因此需要引入一个参数来表示这三点的相对位置。若 是 的中点，应力圆就可完全由 和 确定。 1925年Lode提出参数,对于相同的 值，三向应力圆是相似的。 三个特殊情况：,由于 值与坐标原点的选择无关，所以 是描述应力偏张量的一个特征值。 三、Haigh-Westerga
4、ard应力空间 一点的应力状态可用应力空间中的一个点来表示。由于我们讨论的是各向同性体，与方向无关，故可以用主应力来表示一点的应力状态。进而就可以用三维主应力空间中的一点来表示，此即Haigh-Westergaard主 应力空间。 H-W主应力空间中某些特殊的线和面上的点所表示的应力状态。,1、应力空间中过原点并与坐标轴成等角的直线L L直线的方程为 。该直线上的点代表物体上承受静水应力的点。L直线上的点所对应的应力状态将不产生塑性变形。 2、应力空间中过原点而与L直线垂直的平面 平面 平面的方程为 。该平面上的所有点平均应力为零，只有应力偏张量，因此这个平面也叫偏量平面。位于该平面上的点对应
5、于不引起体积变形的应力状态。,3、应力空间中任何与L直线平行的直线 若直线 过某定点 ，其中 为常数，该直线的方程为 某点 应力偏张量的分量为,平均应力为 由此可见，P点应力偏张量的分量与P点在 直线上的位置无关。因此 上各点的应力偏张量都相同。它们具有相同的 （或相同的等效应力 ）。 4、应力空间中与 平面平行的平面 应力空间中与 平面平行的平面 ，方程为,平均应力为 因此，在与 平面平行的平面上的各点表示了这样一些点的应力状态，即它们具有相同的弹性体积变形。,一、应变与位移的关系 1、小变形情况 2、大变形（有限变形）情况 设变形前的初始时刻t=0，物体内A点的坐标为 ，经过变形后，在t时
6、刻它移到 。相对于同一坐标系的坐标为 变形前后的位置一一对应，可由 的单值连续函数表示 。同样也可以表示为 的单值连续函数 。,2-6 应变张量及其分解,在连续介质力学中，以物体的初始坐标为自变量的描述法Lagrange方法；以变形后坐标（瞬时坐标）为自变量的描述法为Euler方法，如采用后者 当小变形时，略去高阶微量，上式和小变形时的几何方程完全等价。,二、应变张量的分解,应变球张量具有各方向相同的正应变，与弹性的体积改变部分有关；应变偏张量的三个主应变之和为零，说明它没有体积变形，只反映形状改变部分。 三、转轴时应变张量的变换 四、应变张量的不变量，八面体剪应变， 应变强度,与八面体剪应力
7、相对应的八面体剪应变（八面体剪应力的指向和相应八面体面素的外法线方向所交直角的改变量）。,与应力强度相类似，有应变强度（等效应变）。,的数值总是取正值。 由于单向拉伸时， 。在塑性应变状态时，假定体积不可压缩，即 ，代入上式，可得 。因此，与应力强度类似，应变强度的作用是将一个复杂应力状态的应变化作一个相同效应的单向应力状态的主应变。 五、Lode应变参数,三个特殊情况：,一、应变率张量 当介质处于运动状态时，设质点的运动速度为 ，如以变形过程中某一时刻t为起点 ，则经过无限小时间dt后，质点产生无限小位移 ，由此微小位移引起的微小应变为 定义：,2-7 应变率张量及应变增量张量,应变率张量：
8、 一般情况下 全应变是以物体变形前的位置作为初始的计算位置，所反映的是变形过程终了时的应变大小。应变增量则以物体变形过程中某瞬时的位置作为初始计算位置的，将这些无限小的应变增量沿变形路径叠加才是最终的变形。,二、应变增量张量 通过大量的实验发现，在常温、缓慢加载的情况下，金属材料的塑性性能一般与时间因素无关，可以假定塑性变形与时间的单位（秒、时、年）无关，这里的dt可以不代表真实的时间，而只是反映一个变形的先后（过程）。故采用应变增量的张量 来代替应变率张量 更能表示不受时间参数选择影响的特点。 定义:,应变增量的偏张量 一般情况下 注意，在求应变增量时，每次都按瞬时位置起算，而不是按初始位置起算的。,
