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1、第六章 随机变量的生成,进行随机仿真，必须要随机抽样，即产生服从一定分布的随机变量。若给出随机变量的分布函数F(x),，则可用各种方法生成服从该分布的随机变量。1、 逆变法2、 函数变换法,一、原理 对任一严格单调增的分布函数F(x)，其逆函数X=F-1(U)的分布函数为若F(x)是随机变量X的严格单调的分布函数，其逆函数U=F(X)也是随机变量，0F(X)1，故0U1，于是对任一0u1有,逆变法,通过求随机变量的分布函数F(x)的逆函数，得到分布为F(x)的随机数。由于通过逆函数得到随机数，故称为逆变法。逆变法的步骤是：生成随机数；用逆函数产生随机变量。,二、均匀分布在区间a,b上均匀分布U
2、(a,b)，其概率密度函数f(x)及分布函数F(x)分别是：则其逆函数为,用随机数发生器xi75xi-1 mod(231 -1)及Excel的随机数发生器产生随机数，据此试生成区间3,5服从均匀分布的随机变量，并比较两种结果。 解：随机数发生器xi75xi-1 mod(231 -1)，ui=xi/(231-1)和Excel的随机数发生器产生随机数ui； 由公式生成3,5的随机变量xi=3+(5-3)*ui，结果及随机变量与随机数的关系图如下。,三、指数分布,指数分布的概率密度函数及分布函数为,指数分布的概率密度函数及分布函数为令uF-1(x)（u 为0,1均匀分布的随机数），即解此方程，有,生
3、成均值为3的指数分布随机变量。 解：利用Excel的随机数发生器产生 0,1区间的随机数u，由逆变法公式得指数分布随机变量，计算结果如下,四、离散分布,X是离散随机变量，取值为x1,x2,xn，其概率分布为,分布函数为,计算离散分布随机变量的 步骤是：产生U(0,1)随机数；若up1，则x = x1；否则当 时，x = xi，x是分布函数为F(x)的随机数。,用逆变法求离散分布的随机变量。 解：先用随机数发生器xi75xi-1 mod(231 -1)产生随机数；比较所得随机数u与分布函数，若up1，x = x1；否则当 时，x = xi，结果如下：,某产品的单位成本随市场随机波动，历史数据统计
4、如下：产品单位成本分布概率试用逆变法产生随机变量。,逆变法须先求出分布函数的逆函数F-1，而有些分布函数的解析逆函数表达式难于求得，虽可用数值计算或幂级数展开求得F-1的近似表达式，往往因计算工作量过大而无法实现。,函数变换法,一、原理 若随机变量X具有密度函数f(x)，分布函数为F(x)，随机变量Y是X的函数Yg(X)，当逆函数x=g-1(y)=h(y)存在且连续的一阶导数时，随机变量Y的密度函数为p(y)=fh(y)|h(y)|，由此算出其分布函数G(y)Fg-1(y)，再用逆变法可得抽样公式Y=g(X)。 函数变换法是逆变法的推广。 函数变换法生成随机变量的一般步骤是： 产生独立的F(x
5、)的随机数x1，x2，xn； 由抽样公式，得随机数列yi=g(xi)（i=1，2，n）。,二、正态分布 正态分布的密度函数为分布函数为通过Z变换 ，有令则有,无法用逆变法直接从上式求得随机变量Z。可采用Box-Muller的函数变换法。先产生两个独立的标准正态分布Z1和Z2，因为Z1、Z2独立，故它们的联合密度函数为令代入，则有,联合密度函数f(r,)为r的函数与的函数之积,即f(r,)=f1()f2(r) 其中：只要产生随机数u1，u2U(0,1)，使 =2u1， 即得通过Z变换 得到一般正态分布N(，2)随机变量：X1Z1 X2Z2,三、对数正态分布 若XN(，2)，则称Y = eX所服从
6、的分布为对数正态分布，记为LN(，2)。其均值和方差是：利用变换公式Y = eX，则可由N(，2)的随机数生成LN(，2)随机数。具体步骤是：产生N(0，1)分布随机数ui；计算xi = + ui；令 ，则得对数正态分布LN(，2)随机变量。,用函数变换法由N(3，0.12)分布的随机数生成对数正态分布变量。 解：用Excel的随机数发生器产生N(0，1)分布随机数ui，然后由xi =3 + 0.1ui得N(3，0.12)分布随机数，再据 产生对数正态分布随机变量，结果如下。,生成随机变量的方法主要有：逆变法、函数变换法、舍取法、卷积法、组合法等。常用分布的随机变量可在仿真软件包中直接找到，在实际使用时调用相应的函数即可。,
