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1、第四版数值分析习题第一章 绪 论1.设 x0,x 的相对误差为,求ln x的误差.2.设 x 的相对误差为 2,求nx的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字:* 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.xxxxx 4.利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:* 12412324( ),( ),()/,i xxxii x x xiii xx其中* 1234,x xx x均为第 3 题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为 1,问度量半径 R 时允许的相对误差限是多少?6.设028
2、,Y 按递推公式11783100nnYY( n=1,2,)计算到100Y.若取78327.982(五位有效数字),试问计算100Y将有多大误差?7.求方程25610xx 的两个根,使它至少具有四位有效数字(78327.982).8.当N充分大时,怎样求21 1Ndxx?9.正方形的边长大约为 100,应怎样测量才能使其面积误差不超过 12?10. 设21 2Sgt 假定g是准确的,而对t的测量有0.1 秒的误差,证明当t增加时S的绝 对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列ny满足递推关系1101nnyy(n=1,2,),若021.41y (三位有效数字),计算到10y时误差有多大?这个计算
3、过程稳定吗?12. 计算6( 21)f ,取21.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3 6311,(32 2) ,9970 2.( 21)(32 2)13.2( )ln(1)f xxx,求 f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若 改用另一等价公式22ln(1)ln(1)xxxx 计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组1010 12121010; 2.xx xx 假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2sabc 其中 c 为弧度,02c ,且测量 a ,b ,c 的误差分别为 ,.abc证明面积的误差s满足.sabc
4、 sabc第二章 插值法 1.根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2 0000112 111 21( )(, )11nnnnn nnn nxxxV xV x xxxxxxxxx 证明( )nV x是 n 次多项式,它的根是01,nxx,且101101( )(,)()()nnnnV xVx xxxxxx. 2.当 x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求 f(x)的二次插值多项式. 3.给出 f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算 ln 0.54 的近似值. x0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826
5、-0.357765-0.2231444.给出 cos x,0x 90的函数表,步长 h =1=(1/60),若函数表具有 5 位有效数字,研 究用线性插值求 cos x 近似值时的总误差界.5.设0kxxkh,k=0,1,2,3,求032max( ) xx xlx .6.设jx为互异节点(j=0,1,n),求证:i)0( )(0,1, );n kk jj jx lxxknii)0()( )1,2, ).n k jj jxx lxkn 7.设2( ),f xCa b且( )( )0f af b,求证21( )()( ) .8maxmax a x ba x bf xbafx 8.在44x 上给出(
6、 )xf xe的等距节点函数表,若用二次插值求xe的近似值,要使截断误差不超过610,问使用函数表的步长h应取多少?9.若2nny ,求4 ny及4 ny.10. 如果( )f x是m次多项式,记( )()( )f xf xhf x,证明( )f x的k阶差分 ( )(0)kf xkm是mk次多项式,并且( )0(m lf xl为正整数).11. 证明1()kkkkkkf gfggf.12. 证明11001 00.nnkknnkk kkfgf gf ggf 13. 证明1 2 0 0.njn jyyy 14. 若1 011( )nn nnf xaa xaxa x 有n个不同实根12,nx xx
7、,证明 10,02; ,1. 1()nknjk nak n jjxfx 15. 证明n阶均差有下列性质:i)若( )( )F xcf x,则0101,nnF x xxcf x xx;ii)若( )( )( )F xf xg x,则010101,nnnF x xxf x xxg x xx.16.74( )31f xxxx,求0172 ,2 ,2f 及0182 ,2 ,2f . 17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22 311( )( )() () /4!,(,)kkkkR xfxxxxxx并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于 4 次的多项式( )P x,使它满
8、足(0)(1)PPk 并由此求出分段三次 埃尔米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于 4 次的函数多项式( )P x,以便使它能够满足以下边界条件 (0)(0)0PP,(1)(1)1PP,(2)1P.20. 设( ),f xC a b,把, a b分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数( )nx并证明当n 时,( )nx在, a b上一致收敛到( )f x.21. 设2( )1/(1)f xx,在55x 上取10n ,按等距节点求分段线性插值函数( )hIx,计算各节点间中点处的( )hIx与( )f x的值,并估计误差.22. 求2( )f xx在, a b上的分段线性插
9、值函数( )hIx,并估计误差.23. 求4( )f xx在, a b上的分段埃尔米特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下:jx0.250.300.390.450.53jy0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值( )S x并满足条件i)(0.25)1.0000,(0.53)0.6868;SSii)(0.25)(0.53)0.SS25. 若2( ),f xCa b,( )S x是三次样条函数,证明i)222( )( )( )( )2( )( )( )bbbbaaaafxdxSxdxfxSxdxSxfxSx dx ;ii)若( )( )(0,1, )ii
10、f xS xin,式中ix为插值节点,且01naxxxb,则 ( )( )( )( )( )( )( )( )( )baSxfxSx dxS bf bS bSaf aS a .26. 编出计算三次样条函数( )S x系数及其在插值节点中点的值的程序框图( )S x可用(8.7) 式的表达式). 第三章 函数逼近与计算1.(a)利用区间变换推出区间为, a b的伯恩斯坦多项式.(b)对( )sinf xx在0,/2上求 1 次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的 马克劳林级数部分和误差做比较. 2.求证:(a)当( )mf xM时,( , )nmBf xM. (b)当( )f xx时,(
11、, )nBf xx.3.在次数不超过 6 的多项式中,求( )sin4f xx在0,2的最佳一致逼近多项式.4.假设( )f x在, a b上连续,求( )f x的零次最佳一致逼近多项式.5.选取常数a,使301max xxax 达到极小,又问这个解是否唯一?6.求( )sinf xx在0,/2上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7.求( )xf xe在0,1上的最佳一次逼近多项式.8.如何选取r,使2( )p xxr在1,1上与零偏差最小?r是否唯一?9.设43( )31f xxx,在0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令( )(21),0,1nnT xTxx,求* 0123( ),( )
12、,( ),( )Tx Tx Tx T x.11. 试证*( ) nTx是在0,1上带权21xx 的正交多项式.12. 在1,1上利用插值极小化求 11( )f xtg x的三次近似最佳逼近多项式.13. 设( )xf xe在1,1上的插值极小化近似最佳逼近多项式为( )nL x,若nfL有界,证明对任何1n ,存在常数n、n,使11( )( )( )( ) ( 11).nnnnnTxf xL xTxx 14. 设在1,1上234511315165( )128243843840xxxxxx ,试将( )x降低到 3 次 多项式并估计误差.15. 在1,1上利用幂级数项数求( )sinf xx的
13、3 次逼近多项式,使误差不超过 0.005.16.( )f x是, a a上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数,( )f x的最佳逼近多项式*( ) nnFxH也是奇(偶)函数.17. 求a、b使22 0sinaxbx dx 为最小.并与 1 题及 6 题的一次逼近多项式误差作比较.18.( )f x、1( ),g xCa b,定义( )( , )( )( );( )( , )( )( )( ) ( );bbaaaf gfx g x dx bf gfx g x dxf a g a问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101xdxx的上界,并用积分中值定理估计同一积分
14、的上下界, 并比较其结果.20. 选择a,使下列积分取得最小值:1122211(),xaxdxxax dx .21. 设空间 100101 21,spanxspan xx ,分别在1、2上求出一个元素,使得其为20,1xC的最佳平方逼近,并比较其结果.22.( )f xx在1,1上,求在24 11,spanxx 上的最佳平方逼近.23.2sin (1)arccos( ) 1nnxux x 是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系 112nnnuxxuxux.24. 将1( )sin2f xx 在1,1上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼 近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把( )arccosf xx在1,1上展成切比雪夫级数.26. 用最小二乘法求一个形如2yabx的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.ix1925313844iy19.032.349.073.397.827. 观测物体的直线运动,得出以下数据: 时间t(秒)00.91.93.03.95.0
