《数列与函数结合的综合问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列与函数结合的综合问题（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1数列综合问题之数列与函数数列综合问题之数列与函数思想方法：关键是应用函数的解析式和性质得到数列的通项或递推关系思想方法：关键是应用函数的解析式和性质得到数列的通项或递推关系。一、利用具体函数的解析式得递推关系一、利用具体函数的解析式得递推关系例例 1：已知函数中，2 ( )( ,)xaf xb cNbxc1(0)0,(2)2,( 2)2fff （1）求函数的解析式；（2）各项均不为零的数列满足：，求通项？（3）( )f xna14()1n nSfaAna在条件（2）下，令，求数列的前项和？2nnnbaA nbn分析：由题知：，所以，所以可求得：0,2abc2 ( )22xf xx2 112(
2、) (1)0nnnnnnnnSaaaaaaan A例例 2：函数；（1）求的反函数；（2）数列满足：( )2 22,2,f xxxx( )f x1( )fx na，且，求数列的通项公式；（3）在条件（2）下，令，1 1()nnSfS 12a na2 *11()()2nn n nnaabnNaaA求数列的前项和？ nbn分析：（1）由题知：；（2）12( )(2) ,0fxxx1242nnnssan（3）222 11111()2111 ()222121nnnnnn n nnnnaaaaaabaaaann A2例例 3 3、设函数 ， 241 xxf(1) 证明：对一切，f(x)+f(1-x)是常
3、数；Rx(2)记，求,并求出数列an的 Nnfnnfnfnffan,11210na前 n 项和。解：， = 241 xxf (1)f xfx111 4242xx1142421 (42)(42)2xxxx Nnfnnfnfnffan,112102= 122110 ,nnnaffffffnNnnnnna1 2n= Sn=na1 4n1 11()44 2nn(3) 8n n二、利用抽象函数的性质得递推关系：二、利用抽象函数的性质得递推关系：例例 1：是上不恒为零的函数，且对任意都有：，( )f xR, a bR()( )( )f a baf bbf aA（1）求与的值；（2）判断的奇偶性；（3）若，
4、求(0)f(1)f( )f x(2)2f*(2),()nnfunNn 数列的前项和？ nunnS简析：（1）；（2），再令(0)0,(1)0ff2(1)( 1) )( 1)( 1)( 1)0fffff ，所以为奇函数；1,()1( )( 1)( )abx fxf xx ff x AA（2）当时，令函数，所以有：0a b A()( )( )f abf bf a abba( )( )f xg xx()( )( )()( )ng abg bg ag an g a A，所以有：，得1()()()( )( )n nnnn nf ag af aag a nan f aaAAA A3；111111(2)(
5、)( )2222nn n nfn fuf A AA又因为：，所以：，。1111(1)2 ( )(2)( )2222ffff 1 2nnu 112nnS例例 2：已知函数是定义在上的函数，且满足。设，( )f x*N( ( )3 ,(1)2f f kk f1(3)n naf且有：；（1）求证：；11b 3131log()log()nnbf abf a31212()()()4nnbbbb f af af a（2）若对于任意的恒成立，求的1224111222241 41()()()()nnnnnnnnnnnnf af af af amababa bab*1,nnNm取值范围。解：（1）由于，所以有，
6、也有：1(3)n naf11()( (3)3 33nnn nf af fA3log()nf an由：，得，令，也即有：3131log()log()nnbf abf anbn1212()()()n n nbbbSf af af a，由错位相减得出：2123 3333nnnnS 3 1213113()3223244nnnbSnSA（2）由，所以：( ( )3( ( ( )(3 )3 ( )(3 )f f kkf f f kfkf kfk，又因为，所以是等比数列，有1 1(3 )3 (3)3nn nnaffa 0 1(3 )(1)20aff na，又，所以有了：，设12 3nna A()3nnf a
7、1()33 1 2 32n n n nnf a a bnnAAA有：1241112241 41()()()31111()212241nnn n nnnnnnf af af aTaba babnnnn11311111()2 212245141 314()2 (21)(22)(41)(4) 3302 (21)(22)(41)(45)nnnnTTnnnnnnnnnnnnn TT A4所以是单调递减的。也当时，取得最大值，由题有：。nT2n nT23 11125()2 34924T 25 24m 练习：练习：已知函数f(x)定义在区间（-1，1）上，,且当x,y(-1,1)1)21(f时，恒有 ,又数
8、列an满足,设)1()()(xyyxfyfxf21112,21nn naaaa)(1 )(1 )(121nnafafafb（）证明：f(x)在（-1，1）上为奇函数；（）求f(an)的表达式；（）是否存在自然数m，使得对任意nN,都有成立，若存在，求出m的最小值；若不48mbn存在，请说明理由讲解讲解 （）紧扣奇函数的定义，选择特殊值令x=y=0，则f(0)=0，再令x=0,得f(0)-f(y)=f(-y),所以f(-y)=-f(y),y(-1,1),故f(x)在（-1，1）上为奇函数（）),1()()() 1 (, 1)21()(1xyyxfyfxffaf知由，)(2)()()1()12()(21nnn nnnnnn nafafafaaaafaafaf即 ，2)()(1nn afaff(an)是以-1 为首项，2 为公比的等比数列，从而有f(an)=-2n-1. （）先求的表达式，得nb，2111111112(1)21222212nnnnb 若恒成立（nN+）,则， 48mbn112224nm 即 14.2nmnN+，当n=1 时，有最大值 4，故m4又mN,存在m=5，使得对任意 nN+，都有124n5成立. 48mbn
