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1、数列通项公式的求法 一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类 型的题目例例 1等差数列是递增数列，前 n 项和为，且成等比数列，求数列 nanS931,aaa2 55aS 的通项公式. na解：设数列公差为 na)0(dd成等比数列，931,aaa912 3aaa 即)8()2(112 1daadadad12， 0dda 1 2 55aS 2 11)4(2455dada由得：，531a53dnnan53 53) 1(53点评：点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写 出通项。 二、公式法 若已知数列的前n项
2、和与的关系，求数列的通项可用公式nSna nana求解。 2111 nSSnSannn例例 2已知数列的前项和满足求数列的通项公式。 nannS1,) 1(2naSn nn na解：由1121111aaSa当2n时，有,) 1(2)(211n nnnnnaaSSa1 122 ( 1),n nnaa ,) 1(222 21 n nnaa，. 2212 aa11221 122( 1) 2( 1)2 ( 1)nnnn naa .) 1(2 323) 2(1 2) 1(2)2() 2() 2() 1(2121 1211 nnn nnnnnn经验证也满足上式，所以11a) 1(23212nn na点评：
3、点评：利用公式求解时，要注意对 n 分类讨论，但若能合写 211nSSnSannn n时一定要合并三、由递推式求数列通项法三、由递推式求数列通项法 对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比 数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 类型类型 1 递推公式为)(1nfaann 解法：把原递推公式转化为，利用累加法累加法(逐差相加法逐差相加法)求解。)(1nfaann (2004 全国卷 I.22)已知数列中,其中 na12211,( 1) ,k kkaa 且a2123kkkaa，求数列的通项公式。P24（styyj）1,2,3,k na例例 3.
4、已知数列满足，求。 na211annaann211na解：由条件知：111 ) 1(1121nnnnnnaann分别令，代入上式得个等式累加之，即) 1( , 3 , 2 , 1 nn) 1( n )()()()(1342312 nnaaaaaaaa)1 11()41 31()31 21()211 (nn 所以naan111，211annan1 231121类型类型 2 （1）递推公式为nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为，利用累乘法累乘法(逐商相乘法逐商相乘法)求解。)(1nfaann(2004 全国卷 I.15)已知数列an，满足 a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1
5、(n2)，则an的通项P24（styyj）1_na 1 2n n 例例 4. 已知数列满足，求。 na321annanna11na解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，11 nn aann) 1( , 3 , 2 , 1 nn) 1( n即1342312 nn aa aa aa aa nn 1 43 32 21 naan11又，321anan32（2） 由和确定的递推数列的通项可如下求得：nnanfa)(11a na由已知递推式有， ，依次向前代入，1) 1(nnanfa21)2(nnanfa12) 1 ( afa 得 ，1) 1 ()2() 1(afnfnfan 简记为 ，这就是叠（
6、迭）代法叠（迭）代法的基本模式。111)(akfankn) 1)(, 1(01 kfn k（1）递推式： 解法：只需构造数列构造数列，消去 nfpaann1 nb带来的差异 nf例例 5设数列：，求. na)2( , 123, 411nnaaannna解：设，将代入递推式，得BAnbaB，Anabnnnn则1,nnaa12) 1(31nBnAbBAnbnn) 133()23(31ABnAbn 13323ABBAA 11BA（）则,又，故代1nabnn取13nnbb61bnn nb32361入（）得132nan n 说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)(nfnCBnAnabnn2本题也可由
7、,（）两1231naann1) 1(2321naann3n式相减得转化为求之.2)( 3211nnnnaaaaqpbbnn1例例 6已知， ，求。31annanna23131) 1( nna解：12313 223123 2)2( 31)2( 3 2) 1( 31) 1( 3ann nnan 34 375 26331 348 531nn nnn 。 类型类型 3 递推公式为（其中 p，q 均为常数，） 。qpaann1)0) 1(ppq解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法换元法转化为等比)(1taptannpqt1 数列求解。(2006.重庆.14）在数列中，若，则该数列的通项 na1
8、11,23(1)nnaaanna头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 P24（styyj） 例例 7. 已知数列中，求. na11a321nnaana解：设递推公式可以转化为即.故递321nnaa)(21tatann321ttaann推公式为,令，则,且.所以) 3(231nnaa3nnab4311 ab23311nnnn aa bb是以为首项，2 为公比的等比数列，则,所以. nb41b11224nn nb321n na类型类型 4 递推公式为（其中 p，q 均为常数，） 。 n nnqpaa1)0) 1)(1
9、(qppq（或,其中 p，q, r 均为常数）1n nnaparq（2006 全国 I.22） （本小题满分 12 分）设数列的前项的和， nan14122333n nnSa1,2,3,n A A A（）求首项与通项； P25（styyj）1ana解法：该类型较类型 3 要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：1nqqqa qp qann nn111引入辅助数列引入辅助数列（其中） ，得：再应用类型 3 的方法解决。 nbnn nqab qbqpbnn11例例 8. 已知数列中，,，求。 na651a1 1)21(31 n nnaana解：在两边乘以得：1 1)21(31 n nn
10、aa12n1)2(32211 nn nnaa令，则,应用例 7 解法得： 所以nn nab 21321nnbbn nb)32(23nn nn nba)31(2)21( 32类型类型 5 递推公式为（其中 p，q 均为常数） 。nnnqapaa12 解法：先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中 s，t 满足，再应用前面类型 3 的方法求解。 qstpts（2006.福建.理.22） （本小题满分 14 分）已知数列满足 na* 111,21().nnaaanN（I）求数列的通项公式； P26（styyj） na例例 9. 已知数列中，,，求。 na11a22annnaaa31
11、3212na解：由可转化为nnnaaa31 3212)(112nnnnsaatsaa即或nnnstaatsa12)( 3132stts 311ts131ts这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试） ，则 311ts131ts是以首项为，公比为的等比数列,所)(31112nnnnaaaannaa1112aa31以,应用类型 1 的方法，分别令，代入上式得1 1)31( n nnaa) 1( , 3 , 2 , 1 nn个等式累加之，) 1( n即210 1)31()31()31( n naa311)31(11 n又，所以。11a1)31(43 47n na类型类型 6 递推公式为与的关系式。
12、(或)nSna()nnSf a解法：利用进行求解。 )2() 1(11 nSSnSannn(2006.陕西.20)头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 (本小题满分 12 分)已知正项数列an，其前 n 项和 Sn满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15成等比数列，求数列an的 通项 an 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 P24（styyj）例例 10. 已知数列前 n 项和. na2214nnnaS（1）求与的关系；（2）求通项公式.1nanana解：（1）由得：2214nnnaS111214nnnaS于是)21 21()(1211nnnnnnaaSS所以.11121n
