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1、1,3.4 解析函数与调和函数的关系,复习,二元函数,有两个,有四个,如果,则,P26定理2.2,P50定理3.11,即若,解析，,则,解析，,此时,可微、,也可微、,一阶偏导数：,二阶偏导数：,二阶偏导数,连续，,在区域D内,解析,与,在D内可微，,且满足,条件:,解析函数,一定是,的导数,解析函数,连续.,连续.,2,定义3.3,如果,在区域D内,偏导数,且满足,则称,为区域D内,如果,与,都是D内,则称,为,的共轭,定理3.18,定理,与,在区域D内,设,且,为,则,是D内,定义3.4,且满足,条件:,具有二阶连续,的调和函数,的调和函数，,调和函数，,的共轭,调和函数，,的解析函数.,
2、若,在区域D内,可微，,解析，,则,为,的共轭,调和函数，,二元函数,Laplace方程,3,证明,设,是区域D内,则(1),也是D内,在D内,(2),的一阶偏导数,因此,以此类推,的二阶偏导数,(3),是D内,同理,也是D内,是实部,的共轭,而且虚部,都可微、,连续,的解析函数,的解析函数,的调和函数，,的调和函数，,调和函数。,都连续,都连续,4,59页17,设,是D内,证明,是D内,证明,因为,是D内,所以(1),的二阶偏导数,可微，,(2) 由,得到,由,得到,是D内,同样可证：,若,是D内,则,是D内,的调和函数，,的调和函数，,的调和函数，,的解析函数。,的解析函数。,的解析函数。
3、,连续，,5,例2,证明：,一对共轭,也是调和函数,证：,设,为,的共轭,则,是区域D内,是区域D内,是调和函数，,是调和函数.,例3,设,是区域D内,证明：,也是解析函数，,证：,由,解析得到,可微，,且,因此,可微，,且,解析,是,的共轭,的解析函数,在区域D内,的解析函数,的解析函数,调和函数,调和函数,的乘积,调和函数，,6,例4,设,求p的值，使,为调和函数，,并求出解析函数,解,7,例5,求证,为调和函数，,求出解析函数,证明,为调和函数，,8,例6,设,为调和函数，,求出解析函数,解,9,例7,设,为调和函数，,求出解析函数,解,10,例8,设,为调和函数，,求出解析函数,解,11,作业,59页习题3,16.,17.,18.(1),
