自动控制课件 第4章

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1、第四章 根 轨 迹 法,4.1 根轨迹的基本概念 4.2 根轨迹的绘制 4.3 广义的根轨迹 4.4 系统性能的分析 小 结,系统的动态性能和闭环极点在S平面的位置有着密切 的关系。,1. 垂直线区域,衰减度，表示一种相对稳定性。,2. 扇形区域,闭环系统将具有一定的阻尼比。,3. 圆形区域,在圆形区域里即可以保证阻尼比的上界， 也可以保证一定的自然振荡频率n,以及阻尼振荡频率d。,如果设定区域,则选择,根轨迹的优点,闭环系统的暂态性能与闭环极点在S平面上的位置密切相关。 为求解特征方程式的根，需将特征多项式分解为因式，这对3阶以上的系统就比较困难。使用根轨迹直观简单。,4.1 根轨迹的基本概

2、念,根轨迹, 是指当系统的某个参数(如开环增益K)由零连续变化到无穷大时, 闭环特征根在S平面（复平面）上形成的若干条曲线。,图 4.1 控制系统框图,图4.1所示的二阶系统的例子, 介绍有关根轨迹的基本概念。,将图4.1所示系统的开环传递函数转化为,(4.1),其中, k=2K, 上式便是绘制根轨迹所用的传递函数的标准形式。,即,(4.2),由式(4.1)可得两开环极点分别为p1=0, p2=-2, 并且没有开环零点。将这两个开环极点绘于图上, 并用“”表示。,由式(4.1)可得闭环系统的特征方程为,所以, 闭环系统的特征根(闭环极点)为,(4.3),(5) 当k时, s1, s2将沿着直线

3、=-1趋于无穷远处。,所以, 闭环系统极点s1,s2与标准化参数k之间的关系怎样表示？,有表达式可以看出: (1) 当k=0时, s1, s2与p1, p2重合, 即开环极点和闭环极点重合;,(2) 当0k1时, s1, s2均为(-2, 0)区间内的负实数;,(3) 当k=1时, s1 = s2=-1, 即两闭环极点重合; ,(4) 当1k时, , 即两闭环 极点互为共轭; ,图4-2 二级系统根轨迹,由此可见, 通过分析系统的根轨迹图就可清楚地看出闭环系统极点随系统某个参数变化的关系。 例如, 从图4-2可以看出: 无论K取何值, 由图4-1表示的控制系统的闭环极点均位于复平面的左半平面,

4、 因此系统是闭环稳定的; 而k=1(K=0.5)是此二阶系统由过阻尼状态过渡到欠阻尼状态的分界点。 并且从图中可以看出, 根轨迹是连续且对称于实轴的, 这也是根轨迹的一个特性。 需要指出的是, 绘制根轨迹时选择的可变参数可以是系统的任何参量, 但实际中最常用的是系统的开环增益。另外这里给出的例子是一个简单的二阶系统, 其特征方程容易求解, 对于高阶系统, 其特征根的计算要借助计算机。,4.2 根轨迹的绘制,4.2.1 绘制根轨迹的基本条件 设系统框图如下，其中G(s)和H(s)分别为控制系统的前向通道传递函数和反馈通道传递函数, 则反馈系统的特征方程为 1+G(s)H(s)=0 或写成 G(s

5、)H(s)= -1,将上式改写成,(q=0, 1, 2, ),从而得出绘制根轨迹所依据的条件是 幅值条件 |G(s)H(s)|=1 (4.7) 相角条件 G(s)H(s)=argG(s)H(s)=180+q360 (q=0, 1, 2, ),(4.8),实际上满足相角条件的任一点, 一定可以找到相应的可变参数值, 使幅值条件成立。所以, 相角条件式(4.8)也是根轨迹的充要条件。只要利用相角条件就可确定根轨迹的形状, 但利用幅值条件才可以求得给定闭环极点所对应的增益K。进行相角计算时, 规定正实轴方向为0, 逆时针方向为相角的正方向。,相角条件,根据相角条件确定根轨迹上的点,设某一系统的开环零

6、极点如图，在平面中的任意一点 ，用相角条件可以判断 是不是根轨迹的点。,从 到各零极点连直线,用量角器量 ,等各个角。,将量好的值代入相角条件 式，若等式成立，则 就是根轨迹上的点。,4.2.2 根轨迹的绘制规则 绘制系统的根轨迹, 首先写出系统的特征方程：,然后将此方程中开环传递函数部分改写为零极点增益形式, 即特征方程可等价为,(4.9),式(4.9)为绘制根轨迹的标准形式。并且, 由于闭环极点或为实数或为共轭复数, 因此根轨迹是对称于实轴的。下面给出绘制根轨迹图的一般规则。,1. 确定复平面上G(s)H(s)的零极点位置和根轨迹的分支数 在复平面上标出系统开环零极点的位置, 系统的根轨迹

7、起点为开环极点, 终点为开环零点或无穷远处。由于系统的特征方程有n个根, 所以当可变参数K由零变化到无穷时, 这n个特征根必然会随K的变化出现n条根轨迹。因此, 根轨迹在复平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数, 也就是说, 根轨迹的分支数等于闭环极点的个数, 也等于开环极点的数目。 当K=0时，根轨迹的各分支从开环极点出发；当K趋于无穷时，有m条分支趋向开环零点，n-m条分支趋向无穷远处。,2. 确定实轴上的根轨迹 实轴上的根轨迹由位于实轴上的开环极点和零点确定。根据相角条件可以证明, 实轴上根轨迹区段右侧的开环零极点数目之和为奇数。 ,其中, T。 试大致绘出其根轨迹。,解 首先将开环传递函

8、数化为如下标准形式:,例 4-1 已知一单位负反馈系统的开环传递函数为,零极点 形式,式中, k=K/T。系统有两个开环极点p1=0、p2=-1/T和一个开环零点z1=-1/, 所以系统的根轨迹有两条分支。当k=0时, 两条根轨迹从开环极点开始; 当k时, 一条根轨迹终止于开环零点z1, 另(2-1)=1条趋于无穷远处。并且根据开环零极点的位置, 可知实轴上的(z1,p1)和(-, p2)区间为根轨迹的区段。系统的根轨迹图如图4-3所示, 其中“”表示开环极点, “”表示开环零点。,图 4-3 例 4-1 根轨迹图,3. 确定根轨迹的渐近线 如果开环零点的数目m小于开环极点数n, 即nm, 则

9、有(n-m)条根轨迹沿着某条渐近线终止于无穷远处。 渐近线的方位可由下面的方程决定。 ,(4.10),渐近线与实轴正方向的夹角:,(q=0, 1, 2, ),(4.11),当q=0时, 对应与实轴有最小夹角的渐近线。尽管这里假定q可以取无限大, 但随着q值的增加, 渐近线与实轴正方向的夹角会重复出现, 并且独立的渐近线只有(n-m)条。,渐近线与实轴的交点坐标:,证明,从有限的开环零、极点到位于渐进线上无穷远处的一点的相量的相角是基本相等的，以 表示，相角条件可写为,G(s)H(s)=(n-m) =180(2q+1),渐进线与实轴交点,在nm的条件下，当k式，有(n-m)条根轨迹分支趋向无穷远

10、处，即s。只考虑高次项，将上式近视为,对于有限的开环零、极点到位于渐进线上无穷远处的一点来讲，零极点的区别可忽略。这时，上述系统等效于具有m个开环零点和n个开环极点，所有点都聚集在a点的系统。,可以看出系统的根轨迹具有（n-m）条分支，通过 （ a ，j0）的直线。,当s时，1+G(s)H(s)=0的根轨迹的（n-m）条分支趋向1+P(s)=0的（n-m）条分支。可以把后者视作前者的渐近线。,比较两式取,例 4-2 已知一四阶系统的特征方程为,试大致绘制其根轨迹。,解 先在复平面上标出开环零极点的位置, 极点用“”表示, 零点用“”表示, 并根据实轴上根轨迹的确定方法绘制系统在实轴上的根轨迹。

11、 ,确定系统渐近线与实轴的交点和夹角如下:,a1= 60 (k=0), a2= 180 (k=1),a3= 300 (k=2),结合实轴上的根轨迹, 绘制系统的根轨迹如图4-4(b)所示。,(k=0, 1, 2, ),图 4-4 例 4-2 根轨迹图,P1,P2,z1,4. 求出分离点,若实轴上两开环极点之间存在根轨迹，则一定存在分离点；,若实轴上相邻开环零点之间存在根轨迹，则一定存在汇合点； 若实轴上的根轨迹处在开环零点和开环极之间，可以既无分离点也无汇合点，也可能既有分离点也有汇合点。,两条或两条以上的根轨迹分支在复平面上相遇又分开的点称为分离点。,一般常见的分离点多位于实轴上, 但有时也

12、产生于共轭复数对中。分离点必然是重根点, 如果将系统的闭环特征方程写为,则根据分离点必然是重根点的条件, 可以得出分离点的确定公式,(4.12),(4.13),或,(4.14),上述条件只是确定分离点的必要条件，不是充分条件。,例 4-3 对于例4-2给出的四阶系统, 试确定其分离点坐标。,解:利用式 可以求出分离点为 s1=-4, s2=-2.5994, s34=-0.7003j0.7317,将这四个值代入闭环系统方程, 可知s34对应的K不满足大于零的要求, 所以将其舍去。另外, 可以发现s1=-4正是系统的开环极点(对应K0时系统的闭环极点), 是一个重根。所以此系统的分离点坐标为(-2

13、.5994, j0)和(-4, j0)。,检验 求解的根！,绘制根轨迹的基本规则,系统的特征方程为求分离点的坐标。,上式的根,因为分离点在至之间，故 为分离点的坐标，而舍弃,用幅值条件确定分离点的增益：,5. 确定根轨迹与虚轴的交点,(4.15),解式(4.15), 就可以求得根轨迹与虚轴的交点坐标, 以及此交点相对应的临界参数kc。 或者利用劳斯判据确定。,将上式分解为实部和虚部两个方程, 即,根轨迹与虚轴相交, 说明控制系统有位于虚轴上的闭环极点, 即特征方程含有纯虚数的根。将s=j代入特征方程, 则有 1+G(j)H(j)=0,例 设系统的特征方程为：,求系统根轨迹与虚轴的交点。,解：

14、令s=j代入特征方程，得,对实部和虚部分别求解，可得,例 4-4 求例4-2所给出的系统根轨迹与虚轴的交点坐标。 ,4-j103-322+j(32+K)+K=0,解 将s=j代入系统的特征方程, 可得,写出实部和虚部方程:,4-322+K=0 103-(32+K)=0,由此求得根轨迹与虚轴的交点坐标为,因为34对应的K小于零,所以舍去。因此,系统根轨迹与虚轴交点坐标为(0,j4.5204)。,6. 确定根轨迹的入射角和出射角 所谓根轨迹的出射角(或入射角), 指的是根轨迹离开开环复数极点处(或进入开环复数零点处)的切线方向与实轴正方向的夹角。,图4-5 根轨迹出射角和入射角,图4-5中的 为出

15、射角, 为入射角。,出射角,入射角,由于根轨迹的对称性, 对应于同一对极点(或零点)的出射角(或入射角)互为相反数。因此, 图中有 。,从相角条件, 可以推出根轨迹出射角和入射角的计算公式。 根轨迹从复数极点pr出发的出射角为,(4.16),根轨迹到达复数零点zr的入射角为,(4.17),式中, arg()表示复数的相角(幅角)。 利用上面提到的六条规则可以给出根轨迹的大致走向和一些关键点。为了精确绘制根轨迹图, 可以使用MATLAB实现。,4-3 控制系统根轨迹的绘制,一、单回路系统的根轨迹,例：已知开环系统的传递函数为：,绘制K1从0到无穷大变化时的根轨迹。,（1）系统的开环极点为P10、之p2=-3、p3,4=-1j，n-m条根轨迹趋于无穷远处。,j,0,(2) 0-3之间存在根轨迹。,-3,(3)求渐近线截距a和夹角a,-1.25,(4) 求根轨迹在实轴上的分离点,解得分离点出现在-2.28处,-2.28,(5) 根轨迹在极点p3处的出射角为,-71.6,71.6,（6）求根轨迹与虚轴的交点,将s=j代入，令实、虚部都为零。,解得：,4.2.3 MATLAB绘制根轨迹 在MATLAB中提供了绘制系统根轨迹的rlocus( )函数。已知系统开环传递函数的形式, 利用此函数可以方便地绘制出系统的根轨迹。 ,