《2011年格林公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年格林公式（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,（按积分区域分类）,定积分,二重积分,三重积分,D,曲线积分,曲面积分,一型：对弧长,二型：对坐标,一型：对面积,二型：对坐标,Stokes 公式,高斯公式,格林公式,推 广,推 广,推 广,推 广,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,格林公式及其应用,平面区域上的二重积分与区域边界曲线上的曲线积分的关系。,设D为一平面域，如果D内任意闭曲线所包围的全体点都属于D，则称D为单连通域.,否则称D为复连通域,格林(Green)公式,一、 格林公式,域 D 边界L 的正向: 域D的内部靠左 外边界以逆时针为正，内边界以顺时针为正,格林公式,则有,定理1. 设闭区域D是由分段光滑正
2、向曲线L围成,函数,在 D 及L上具有连续一阶偏导数,注意: 格林公式的3个条件,证明:,1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且,则,先证,同理可证,两式相加得:,2) 若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割,为有限个上述形式 的区域 , 如图：,格林公式,两式相加,注意到沿辅助曲线的曲线积分相互抵消,得,格林公式,推论 正向闭曲线L所围区域D的面积,格林公式,例如, 椭圆,所围面积,例1.,设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明,证: 令,则,利用格林公式 , 得,解：,例3. 计算,其中L 为上半,从 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解: 为了使
3、用格林公式, 添加辅助线段,它与L 所围区域为D , 则,圆周,例4. 计算,其中L为不过原点的,分段光滑正向闭曲线.,设 L 所围区域为D,由格林公式知,解: 令,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2 设D 是单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,说明 积分与路径无关时, 曲线积分可记为,证明： (1) (2),则,( 根据条件(1) ),证明 (2) (
4、3),在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数,证明 (3) (4),设存在函数 u ( x , y ) 使得,则,P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,证明 (4) (1),设L为D中任一分段光滑闭曲线,所围区域为,(如图) ,利用格林公式 , 得,说明,根据定理2 , 若在某区域内,则,2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:,或,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,曲线积分与路径无关,可选择
5、 方便的积分路径,取折线OAB,解:,例5. 验证,是某个函数的全微分, 并求,这个函数.,证: 设,则,由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使,例7. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到,点B(3, 4),到原点的距离,解: 由图知,故所求功为,锐角,其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为,例8. 设,且都取正向, 问下列计算是否正确 ?,提示:,思考,内容小结,1. 格林公式,2. 等价条件,在 D 内与路径无关.,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线 L 有,在 D 内有,设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有,练习1. 设,解:,练习2. 设C为沿,从点,依逆时针到点,的半圆, 计算,解: 添加辅助线如图 ,格林 公式,解:,令,则有,在不含原点的单连通区域内曲线积分 与路径无关，可选择方便的积分路径.,思考: 积分路径是否可以取,取圆弧,证: 设,则,由,得,解方程得,练习,曲线积分与路径无关, 选择方便的积分路径,练习5. 验证,在右半平面 ( x 0 ) 内,存在原函数 , 并求出它.,证: 令,则,由定理 2 可知存在原函数,或,
