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1、数据结构 Data Structure彭宏京南京工业大学计算机科学系 2008年9月,数据结构课程的内容,多对多 （m:n),7.1 基本术语 7.2 存储结构 7.3 图的遍历 7.4 图的连通性 7.5 图的应用,第7章 图,7.1 图的基本术语,其中：V 是G 的顶点集合，是有穷非空集；E 是G 的边集合，是有穷集。,问：当E(G)为空时，图G存在否？ 答：还存在！但此时图G只有顶点而没有边。,有向图： 无向图： 完全图：,图G中的每条边都是有方向的； 图G中的每条边都是无方向的； 图G任意两个顶点都有一条边相连接；,若 n 个顶点的无向图有 n(n-1)/2 条边, 称为无向完全图 若
2、 n 个顶点的有向图有n(n-1) 条边, 称为有向完全图,V=vertex E=edge,图：记为 G( V, E ),例：判断下列4种图形各属什么类型？,无向,无向图(树),有向图,有向,n(n-1)/2 条边,n(n-1) 条边,G1的顶点集合为V(G1)=0,1,2,3 边集合为E(G1)=(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3),完全图,完全图,证明：,证明：若是完全有向图，则n个顶点中的每个顶点都有一条弧指向其它n-1个顶点, 因此总边数=n(n-1),证明：从可以直接推论出无向完全图的边数因为无方向，两弧合并为一边，所以边数减半，总边数为n(n-1)
3、/2。, 完全无向图有n(n-1)/2 条边。, 完全有向图有n(n-1)条边。,稀疏图： 稠密图：,设有两个图 G(V, E) 和 G(V, E)。若 V V 且 E E, 则称 图G 是 图G 的子图。,子 图：,边较少的图。通常边数远少于nlogn 边很多的图。,无向图中，边数接近n(n-1)/2 有向图中，边数接近n(n-1),带权图：,即边上带权的图。其中权是指每条边可以标上具有某种含义的数值（即与边相关的数）。,连通图：,在无向图中, 若从顶点v1到顶点v2有路径, 则称顶点v1与v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的, 则称此图是连通图。 非连通图的极大连通子图叫做连通分量
4、。,带权图,在有向图中, 若对于每一对顶点vi和vj, 都存在一条从vi到vj和从vj到vi的路径, 则称此图是强连通图。,强连通图：,网 络：,非强连通图的极大强连通子图叫做强连通分量。,生成树：,是一个极小连通子图，它含有图中全部n个顶点，但只有n-1条边。,若干棵生成树的集合，含全部顶点，但构成这些树的边或弧是最少的。,有两类图形不在本章讨论之列：,图的基本术语(续),如果在生成树上添加1条边，必定构成一个环。 若图中有n个顶点，却少于n-1条边，必为非连通图。,生成森林：,邻接点：,有向边(u, v)称为弧，边的始点u 叫弧尾，终点v 叫弧头。,顶点 v 的入度是以 v 为终点的有向边
5、的条数, 记作 ID(v); 顶点 v 的出度是以 v 为始点的有向边的条数, 记作 OD(v)。,若 (u, v) 是 E(G) 中的一条边，则称 u 与 v 互为邻接顶点。,弧头和弧尾：,入度和出度：,问：当有向图中仅1个顶点的入度为0,其余顶点的入度均为1，此时是何形状？,度：,顶点v 的度是与它相关联的边的条数。记作TD(v)。 在有向图中, 顶点的度等于该顶点的入度与出度之和。,U 的入度=? U 的出度=?,答：是树！而且是一棵有向树！,简单路径：,路径上各顶点 v1,v2,.,vm 均不互相重复。,回路：,若路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶点vm 重合，则称这样的路径为回路或
6、环。,路径：,在图 G(V, E) 中, 若从顶点 vi 出发, 沿一些边经过一些顶点 vp1, vp2, , vpm，到达顶点vj。则称顶点序列 ( vi vp1 vp2 . vpm vj ) 为从顶点vi 到顶点 vj 的路径。它经过的边(vi, vp1)、(vp1, vp2)、.、(vpm, vj)应当是属于E的边。,路径长度：,非带权图的路径长度是指此路径上边的条数； 带权图的路径长度是指路径上各边的权之和。,图的术语（续）,ADT Graph 数据对象V： 数据关系 R：基本操作P：ADT Graph,图的抽象数据类型,V是具有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集。,R=VR；VR=
7、|v,wV 且 P(v,w), 表示从v到w的弧，谓词P(v,w)定义了弧的意义或信息,CreatGraph ( 初始条件：V是图的顶点集，VR是图中弧的集合。操作结果：按V和VR的定义构造图G。,注意：V 的大小写含义不同！,InsertVex ( 初始条件：图G存在，v 和图中顶点有相同特征。操作结果：在图G中添加新顶点。,（参见教材P156-257）,7.2 图的存储结构,图的特点：,链式存储结构：,顺序存储结构：,难！,（多个顶点，无序可言，无法仅以顶点坐标表达相互关系）,可用多重链表,邻接矩阵(数组)表示法 邻接表(链式)表示法 十字链表表示法 邻接多重表表示法,但可用数组描述元素间
8、关系。,非线性结构（m :n）,邻接矩阵,邻接表 十字链表 邻接多重表,各种表示法成立的原则：存入电脑后能惟一复原, 建立一个顶点表和一个邻接矩阵。,1. 邻接矩阵（数组）表示法,例1：,邻接矩阵：,A.Edge =,（ v1 v2 v3 v4 v5 ）,v1 v2 v3 v4 v5,0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0,分析1：无向图的邻接矩阵是对称的； 分析2：顶点i 的度第 i 行 (列) 中1 的个数； 特别：完全图的邻接矩阵中，对角元素为0，其余全1。,顶点表：,无向图的邻接矩阵如何表示？,记录各个顶点信息,表示各个顶点之
9、间关系, 设图 A = (V, E) 有 n 个顶点，则图的邻接矩阵是一个二维数组 A.Edgenn，定义为：,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0,例2 ：有向图的邻接矩阵如何表示？,分析1：有向图的邻接矩阵可能是不对称的。 分析2：顶点vi的出度=第i行元素之和，OD(vi )= A.Edge i j 顶点vi的入度=第i列元素之和。ID(vi )= A.Edge j i 顶点的度=第i行元素之和+第i列元素之和,即：TD( vi
10、 ) = OD( vi ) + ID( vi ),邻接矩阵：,A.Edge =,( v1 v2 v3 v4 ),v1 v2 v3 v4,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,注：在有向图的邻接矩阵中，第i行含义：以结点vi为尾的弧(即出度边）；第i列含义：以结点vi为头的弧(即入度边）。,顶点表：,0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0,0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0,容易实现图的操作，如：求某顶点的度、判断顶点之间是否有边（弧）、找顶点的邻接点等等。n个顶点需要n*n个单元存储边(弧);空间效率为O(n2)。,
11、例3 ： 有权图（即网络）的邻接矩阵如何表示？,定义：,以有向网为例：,邻接矩阵：, ,N.Edge =,( v1 v2 v3 v4 v5 v6 ),邻接矩阵法优点：,邻接矩阵法缺点：,顶点表：,5 7 4 8 95 65 3 1, 5 7 4 8 9 5 6 5 3 1 ,v1 v2 v3 v4 v5 v6,对稀疏图而言尤其浪费空间。,注：用两个数组分别存储顶点表和邻接矩阵 #define INFINITY INT_MAX /最大值 #define MAX_VERTEX_NUM 20 /假设的最大顶点数 Typedef enum DG, DN, AG, AN GraphKind; /有向/无
12、向图，有向/无向网,图的邻接矩阵在机内如何表示？ （参见教材P161）,对于n个顶点的图或网，空间效率=O(n2),Typedef struct ArcCell /弧（边）结点的定义VRType adj; /顶点间关系，无权图取1或0；有权图取权值类型InfoType *info; /该弧相关信息的指针 ArcCell, AdjMatrix MAX_VERTEX_NUM MAX_VERTEX_NUM ;,Typedef struct /图的定义 VertexType vexs MAX_VERTEX_NUM ; /顶点表，用一维向量即可(n) AdjMatrix arcs; /邻接矩阵n*n I
13、nt Vernum, arcnum; /顶点总数n，弧（边）总数e GraphKind kind; /图的种类标志 Mgraph;,Status CreateUDN(Mgraph /输入n个顶点值，存入一维向量,例：用邻接矩阵生成无向网的算法（参见教材P162）,对于n个顶点e条弧的网， 建网时间效率 = O(n+n2+e*n),for(i=0; iG.vexnum; +i) /对邻接矩阵n*n个单元初始化，adj=,info=NULL for(j=0;jG.vexnum;+j) G.arcsij=INFINITY, NULL;,for(k=0;kG.arcnum;+k) /给邻接矩阵有关单元
14、赋初值(循环次数弧数escanf( /如果弧有信息则填入G.arcsij = G.arcs j i； /无向网是对称矩阵,return OK; / CreateUDN,2. 邻接表（链式）表示法, 对每个顶点vi 建立一个单链表，把与vi有关联的边的信息（即度或出度边）链接起来，表中每个结点都设为3个域:, 每个单链表还应当附设一个头结点（设为2个域），存vi信息；,表结点,头结点,邻接点域，表示vi 邻接点的位置,链域，指向下一个边或弧的结点,数据域，与边有关信息（如权值）,数据域，存储顶点vi 信息,链域，指向单链表的第一个结点, 每个单链表的头结点另外用顺序存储结构存储。,例1：无向图的邻接表如何表示？,邻接表,例2：有向图的邻接表如何表示？,邻接表(出边),逆邻接表(入边),
