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1、1（一）函数单调性（一）函数单调性 1.增函数、减函数12xx时，都有12()()f xf x，那么就说函数( )f x在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,x x，当12xx时，都有12()()f xf x，那么就说函数( )f x在区间D上是减函数.注意：1）求函数的单调区间，必须先求函数的定义域必须先求函数的定义域. . 定义的变式设2121,xxbaxx那么1212()( )()0xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()( )()0xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数
2、.例：证明函数xxf11)(在 )0 ,(上是增函数.变式与扩展：讨论函数 f(x)21xax (a0)在区间(-1，1)内的单调性若函数 , 1, 1, 1, 1)(2xaxxxxf在R上是单调递增函数，求a的取值范围.2讨论函数32)(2axxxf在)2 , 2(内的单调性.二.一些重要函数的单调性 对勾函数的图象 1yxx的单调区间：增区间(, 1),(1,) ；减区间( 1,0),(0,1).0,0byaxabx的单调区间：增区间(,),(,)bb aa ；减区间(,0),(0,)bb aa0,0byaxabx的图象分式函数cxacbacxbaxy的图象若),(ba是)(xf的单调增区
3、间，baxx,21，且21xx ，则有（ ）A 21xfxfB 21xfxfC 21xfxfD 021xfxf函数22 xy的单调递减区间为（ ）A, 0B0 ,C), 2 D2 ,(例：已知偶函数( )f x在区间0,)单调增加，则满足(21)fx1( )3f的 x 取值范围是（A） （1 3，2 3） (B) 1 3，2 3） (C)（1 2，2 3） (D) 1 2，2 3）w.变式：二次函数的基本性质例 1、函数2( )2f xxtx在1，2上是单调递增函3数，则实数t的取值范围是_三、函数的奇偶性的几个性质 、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； 、整体性：奇偶性是函数的整体性
4、质，对定义域内任意一个x都必须成立； 、可逆性： )()(xfxf)(xf是偶函数；)()(xfxf)(xf奇函数； 、等价性：)()(xfxf0)()(xfxf )()(xfxf0)()(xfxf 、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称； 、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇 函数又是偶函数、非奇非偶函数。四、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(xf是否与)(xf、)(xf 相等， 判断步骤如下： 、定义域是否关于原点对称； 、数量关系)()(xfxf哪个成立； 例：、xx
5、xf2)(3 、2432)(xxxf 变式：1、1)(23xxxxf2、2)(xxf 2, 1x3、xxxf22)( 4、2211)(xxxf5)5, 5,)(2xxxf 6xxf2)( （9）11lg)(xxxf7 xxxf11lg)( 8 、|2)(xxf （12）xxxf33)(1 若函数xxxf33)(与xxxg33)(的定义域均为 R，则A. )(xf与)(xg与均为偶函数 B.)(xf为奇函数，)(xg为偶函数C. )(xf与)(xg与均为奇函数 D.)(xf为偶函数，)(xg为奇函数2 设( )f x是定义在R上的奇函数，当x 时，( )f xxx ，则( )f （A） (B)
6、（） （）四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。命题命题 1 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充 分条件分条件。4命题命题 2 2 函数函数 f(x)+f(-x)f(x)+f(-x)是偶函数，函数是偶函数，函数 f(x)-f(-x)f(x)-f(-x)是奇函数。是奇函数。命题命题 3 3 已知函数已知函数 f(x)f(x)是奇函数，且是奇函数，且 f(0)f(0)有定义，则有定义，则 f(0)=0f(0)=0。命题命题 4 4 已知已知 f(x)f(x)是奇函数或偶函数，
7、方程是奇函数或偶函数，方程 f(x)=0f(x)=0 有实根，那么方程有实根，那么方程 f(x)f(x) =0=0 的所有实的所有实 根之和为零；若根之和为零；若 f(x)f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程是定义在实数集上的奇函数，则方程 f(x)=0f(x)=0 有奇数个实根。有奇数个实根。7、关于函数奇偶性的简单应用关于函数奇偶性的简单应用1、利用奇偶性求函数值例例 1 1：已知8)(35bxaxxxf且10)2(f，那么)2(f变式与扩展：1、如果奇函数)(xf在 7 , 3上是增函数，且最小值是 5，那么)(xf在3, 7 上是（ ） A增函数，最小值是-5B增函数，最大值是-5
8、 C减函数，最小值是-5D减函数，最大值是-5 2.设奇函数 f(x)的定义域为-5,5.若当 x0,5时, f(x)的图象如右图,则不等式 0xf的解是 3、奇函数( )f x在区间 , a b上是减函数且有最小值m，那么( )f x在,ba上是（ ）A、减函数且有最大值m B、减函数且有最小值mC、增函数且有最大值m D、增函数且有最小值m2 2、利用奇偶性比较大小、利用奇偶性比较大小例例 2 2：已知偶函数)(xf在0,上为减函数，比较)5(f，) 1 (f，) 3 (f的大小。 变式：1已知函数2( )24f xaxax(03a),若12xx，120xx则A.12()()f xf xB
9、. 12()()f xf xC. 12()()f xf xD. 1()f x与2()f x的大小不能确定3.3.利用奇偶性求解析式利用奇偶性求解析式例例 3 3：已知)(xf为偶函数时当时当01,1)(,10xxxfx，求)(xf的解析 式？5变式1.已知函数f（x）是奇函数，且当x0 时，f（x）x32x21，求f（x）在 R 上的表达式2、已知函数)(xfy 为奇函数，且当0x时32)(2xxxf，则当0x时，)(xf的解析式为 （ ）A. 32)(2xxxf B. 32)(2xxxfC. 32)(2xxxf D. 32)(2xxxf4 4、利用奇偶性讨论函数的单调性、利用奇偶性讨论函数的
10、单调性 例例 4 4：若3)3()2()(2xkxkxf是偶函数，讨论函数)(xf的单调区间？5 5、利用奇偶性与单调性求参数的值利用奇偶性与单调性求参数的值例 4.已知函数1( ).21xf xa，若 f x为奇函数，则a _例例 5.5. 定义在 R 上的偶函数)(xf在)0,(是单调递减，若)123()12(22aafaaf，则a的取值范围是如何？变式：1 若axfx121)(为奇函数，求a的值；62 若)2(log)(22axxxfa是奇函数，求a的值；3 设)(xf为定义在 R 上的奇函数，当0x时，bxxfx 2)(，求b；4 已知定义在 R 上的函数 abxfxx122)(是奇函
11、数，求ba,的值；5 已知bxaxxf2)(是定义在2 , 1aa 上的偶函数，求ba_;六 函数的单调性（定义域优先考虑）例：函数322xxy的单调递减区间是 （ ）A 3, B , 3 C 1, D , 1变式：1若函数 axxxf22与 1xaxg在 2, 1都是减函数，则a的取值范围是 （ ） A 1 , 00 , 1 B 1 , 00 , 1 C 1 , 0 D 1 , 0单调性与奇偶性综合提高：1、设( )f x为定义在R上的奇函数，当0x 时，( )22xf xxb（b为常数） ，则( 1)f （ ） （A）-3 （B）-1 （C）1 (D)32.函数1( )f xxx的图像关于
12、（ ）Ay轴对称 B 直线xy对称 C 坐标原点对称 D 直线xy 对称3 下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)上单调递减的函数是（ ）（A）1ln|yx. （B）3yx. （C）| |2xy . （D）cosyx.4 下列函数中，既是偶函数，又在), 0( 单调递增的函数是（A）2yx (B) 1yx （C）21yx (D) 2xy 5、下列函数中,在区间（0,1）上是增函数的是 （ ）A. xy B. xy 3 C. xy1 42xy6、若函数)0()(2acbxaxxf是偶函数，则cxbxaxxg23)(是 （ 7）A奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D。既是奇函数又是偶函数选
13、做题：选做题：1.若函数 ( )(21)()xf xxxa为奇函数,则 a=(A)1 2(B) 2 3(C) 3 4(D) 12.设函数 f x和 g x分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 fxg x是偶函数 fxg x是奇函数 fxg x是偶函数 fxg x是奇函数3.设( )f x为定义在R上的奇函数，当0x 时，( )22xf xxb（b为常数） ，则( 1)f （A）-3 （B）-1 （C）1 (D)34设0,1aa，函数2lg(23)( )xxf xa有最大值，则不等式2log (57)0axx的解集为 。5已知定义域为R的函数12( )2xxbf xa是奇函数。（）求, a b的值；（）若对任意的tR，不等式22(2 )(2)0f ttftk恒成立，求k的取值范围；8
