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1、第七章 方差分析,第一节 方差分析的意义,3个以上平均数间的差异进行显著性检验，若仍采用t检验法两两检验，将存在以下三方面的缺陷： 其一，检验过程非常烦琐。 其二，不能充分利用试验资料的全部信息，精度不高。 其三，随着k的增大，犯第一类错误的概率也将增加。,第二节 方差分析的步骤,一、 自由度和平方和的分解 方差是平方和除以自由度的商。因此，方差分析的第一步就是进行自由度和平方和的分解。 设有k个处理，每个处理皆含有n个重复观察值的完全随机试验资料，其数据结构见表7.1。,表7.1 k个处理每处理n个重复观察值的完全随机试验数据符号表,表7.1 nk个观察值的单向分组资料模式,总变异平方和 总
2、变异是nk个观察值的变异， 受条件 的限制，自由度为nT=nk-1 总变异平方和可以分解为处理内和处理间两个部分,处理内（即误差）变异为各处理内观察值与处理平均数的变异，因每处理具有自由度（n 1）和平方和 而资料共有k个处理，故处理内自由度为： dfe=k(n 1) 处理内平方和SSe为：,处理平均数间的平方和 具自由度nt=k-1,注意 为了正确地进行F测验，必须使它们都估计着同一参数s2,。因而，样本间的平方和应为：,总变异的=处理间的+处理内的 平方和 SST = SSt + SSe 自由度 (nk-1) = (k-1) + k(n-1) 进而得： 样本间的均方 样本内的均方,例7.1
3、研究A、B、C、D、E共5个饲草品种的鲜草产量差异，E为对照，盆栽试验，每品种3盆，完全随机放置于同一网室内。以对照E孕穗期作为刈割日期，测得各品种单株鲜重（g）见表7.2，试分解其自由度和平方和。,表7.2 不同饲草品种单株鲜重的结果(g),解： 总变异自由度dfT=nk-1=35-1=14 处理(品种)间自由度dft=k-1=5-1=4 品种内(误差)自由度dfe=k(n-1)=5(3-1)=10 矫正数,处理（品种）间平方和,品种内（误差）平方和,进而可得： 总变异均方 品种间均方 品种内均方,二、 F检验,方差分析中的F检验主要用于检验某项变异因素的效应或方差是否真实存在，是一尾F检验
4、。因此在计算F值时，必须以要检验项变异因素的均方作分子，以另一项变异（例如试验误差项）的均方作分母。 此比法与方差分析模型和各项变异来源的期望均方有关。在此类检验中，所检验的统计假设 如果作分子的均方小于作分母的均方，则F1，可以不必查F表即可确定P0.05，接受H0。,例7.2例7.1已算得品种间均方 品种内均方 具自由度df1=4，df2=10。试检验品种间变异是否显著大于品种内（即误差）变异？ 解： 假设 或H0：A= B= C= D= E； 或 HA： A、 B、 C、D和 E间存在差异， ( A、 B、 C、 D和 E间不“完全相等”),显著水平分别取=0.05和=0.01。 st2
5、试验误差+处理效应差异 se2试验误差 st2/ se21，说明无处理效应； 1，说明可能有处理效应； Fa，说明处理效应显著存在。 因此要测验H0，必需使F= st2/ se2， 计算 本例,查F分布右尾临界值表（附表5）：当df1=4，df2=10时，F0.05(4，10）=3.48，F0.01(4，10）=5.99，实得FF0.01(4，10)F0.05(4，10)。 推断： 即品种间变异在0.01水平上显著大于品种内(即误差)变异，说明不同品种的单株鲜重在0.01水平上有显著差异(P2.0510)5。,在统计分析过程中，一般将自由度和平方和分解及F检验结果，归纳整理成方差分析表，并在F
6、值右上角用“*”、“*”分别标注=0.05和=0.01的显著性，如表7.3所示。 表7.3 不同饲草品种单株鲜重的方差分析表,三、 多重比较,F检验的结果表明处理间是否存在真实差异。 若FF0.05，就表明各处理间的差异非试验误差所致而是实质性差异.但是F检验无法判定哪些处理间差异达到0.05或0.01显著水平，哪些处理间没有显著差异。要明确这一问题，需要进一步对处理间平均数进行两两比较多重比较(multiple comparisons)。,1 、多重比较方法的种类,多重比较方法很多，下面介绍常用的FPLSD法、DLSD法、q法和SSR法。 (1)FPLSD法 FPLSD(Fishers Pr
7、otected Least Significant Difference)法即Fisher氏保护下的最小显著差数法，又称PLSD法。 首先是在处理间的F检验为显著的前提下，确定一个最小显著尺度LSD； 若 则在水平上显著； 反之， 在水平上不显著。,所以， FPLSD法实质上仍是t检验。 其中t，为显著水平为时，误差项自由度dfe下的t临界值。,在t检验中， 为平均数差数的标准误，且 当n1=n2=n时， 在方差分析中， 是所有处理共同的误差方差， 因此(7.9) 的 可用于所有处理间的多重比较。,例7.3试以FPLSD法，检验表7.2资料各品种平均数间的差异显著性。 解：在例7.2中，已算得
8、F=28.06*达0.01显著水平，s2e=1033.53，dfe=15， 查t分布两尾临界值表（附表4），取显著水平=0.05和=0.01，当dfe=10时，t0.05(10）=2.228，t0.01(10）=3.169故 LSD0.05=2.22826.249=58.48(g)； LSD0.01=3.16926.249=83.18(g),返回DLSD法,然后，将各品种的单株鲜重进行两两比较，若相比较的两平均数的差数绝对值58.48g，则在0.05水平上显著；若差数绝对值83.18g，则在0.01水平上显著。 多重比较的表示方法(列梯形法),结论：5个品种以品种B的单株鲜重最高，与A、D、E
9、、C的差异均达到0.01显著水平；其次是品种A，但与品种D差异未达到0.05显著水平；品种C单株鲜重最低，且与其他品种的差异均达到0.05或0.01显著水平；对照E单株鲜重超过品种C，居第4位，除与D差异未达到0.05显著水平外，与其他品种差异均达到0.05或0.01显著水平。,(2)DLSD法 DLSD(Dunnetts Least Significant Difference)法即Dunnett氏最小显著差数法 专供检验若干个处理平均数与共同比较标准CK平均数的差异显著性。 任一平均数与CK平均数差数的绝对值|DLS |时，则在水平上显著；反之，在水平上不显著。 DLSD法与FPLSD法唯
10、一不同的是: DLSD法是查Dunnetts Dt临界值- Dt FPLSD法是查t临界值- t ：,即Dunnetts最小显著差数为： 为平均数差数的标准误，计算公式同（7.9）式； 为误差项自由度dfe下，处理数为k（不包括CK）时Dunnett氏临界值。,例7.4试以DLSD法，检验表7.2资料各品种平均数间的差异显著性。 解：在例7.2中已算得 =26.249(g) 查Dunnetts Dt临界值表（附表6），取显著水平=0.05和=0.01，当dfe=10、k=4时，Dt0.05(10，4)=2.97，Dt0.01(10，4)=3.95 故 DLSD0.05=2.9726.249=7
11、7.96(g)； DLSD0.01=3.9526.249=103.68(g),对比PLSD法,将各品种的单株鲜重与对照E进行比较，两样本平均数的差数77.96g为在0.05水平上差异显著；差数103.68g为在0.01水平上差异显著。,结论：由表7.2可知，只有品种B与对照E平均数的差异达到0.01显著水平，其他品种与对照E的差异均未达到0.05的显著水平。,(3)q法 q法由Student-Newman-Keul于1952年提出，一般称为复极差检验法，有时又称SNK检验法或NK检验法。该方法是将一组k个平均数由大到小排列后，根据所比较的两个处理平均数的差数是几个平均数间的极差分别确定最小显著
12、极差（Least Significant Ranges）值。q检验因是根据极差抽样分布原理，其各个比较都可保证同一个显著水平。其最小显著极差为：,其中 为平均数的标准误： 为显著水平；dfe为误差项自由度；p为秩次距，是所有比较的平均数按大到小顺序排列所计算出的两极差范围内所包含的平均数个数。 即在显著水平为 、误差项自由度为dfe、秩次距为p（2pk）时的q临界值。,因此，在每一显著水平下该法有k-1个尺度值。平均数比较时，尺度值随秩次距p的不同而异。当要检验的两个平均数的差数绝对值时，则在水平上显著；反之，在水平上不显著。 例7.5试对表7.2资料的各平均数作q检验。 解：例7.1已算得：
13、s2e=1033.53，n=3。所以，,查q临界值表（附表7），取显著水平=0.05和=0.01，当dfe=10时，p=2，3，4，5的值，并由(7.12)计算出最小显著极差，列于表7.4 表7.4 表7.2资料及值,多重比较的表示方法(列梯形法),结论：5个品种的单株鲜重以B品种最高、C品种最低；对照品种E居第4位，与FPLSD法检验结果不一致的是，对照E与品种A的差异未达到0.05的显著水平。,(4)SSR法,SSR法(Shortest Significant Ranges)又称新复极差法，或称最短显著极差法。由D.B.Duncan于1955年提出。该法与q法相似，区别仅在于计算最小显著极
14、差LSR时，不是查q临界值表，而是查Duncans SSR临界值表。即最短显著尺度为：,例7.6试采用SSR法，对表7.2资料各平均数进行多重比较。 解：在例7.5中已算得： 。查Duncans SSR临界值表（附表8），取显著水平=0.05和=0.01，当dfe=10，p=2、3、4、5时 及LSR值见表7.5。,将要比较的平均数从大到小依次排列，求得它们各自的差数，与相应的LSR值进行比较： 多重比较的表示方法(列梯形法),2、多重比较方法的比较及选择,综上所述，将方差分析的基本步骤可归纳如下： 计算各项变异的自由度和平方和，并进而算得其均方； 列出方差分析表，进行F检验； 若F检验不显著
15、，方差分析告一段落；反之，需进行多重比较。多重比较的方法应根据试验设计和要求合理选择，并将最终结果用简单明晰的方式表示出来。,第三节 方差分析的数学模型与期望均方,一、数学模型 方差分析是建立在一定数学模型基础之上的。如表7.1资料的数学模型为： xij=+i+ij 为总体平均数， i为处理效应， ij为随机误差具有分布 N(0，2) 。 若以样本符号表示，其线性组成为：,为的无偏估计量。 ti是i的无偏估计量。 为其所属亚总体误差方差 的无偏估计量。 据此，总变异的平方和可分解为试验误差平方和与处理间平方和，即： 试验误差平方和为,假设H0： 1 = 2 = = k，则 1 = 2= k= ； 故 可看成总体2的无偏估计。这样，各亚总体 合并的 也就是2的无偏估计量。 处理间平方和是,均方为： 因 ti =i + ei，故 估计了,二、 期望均方,是2的无偏估计量， 所以2为 的数学期望（mathematical expectation）， 为 的数学期望，并被称为期望均方，简记为EMS（expected mean squares）。其中， 部分因性质的不同而异，分为固定模型（fixed model）和随机模型（random model）。,
