《全等三角形.第4讲.全等三角形与旋转问题.教师版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全等三角形.第4讲.全等三角形与旋转问题.教师版（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第四讲第四讲全等三角形与旋全等三角形与旋 转问题转问题中考要求考试要求考试要求板块板块A A 级要求级要求B B 级要求级要求C C 级要求级要求全等三角形全等三角形 的性质及判的性质及判 定定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题知识点睛基本知识把图形绕平面上的一个定点旋转一个角度，得到图形，这样的由图形到变换叫做旋转变换，GOGGG点叫做旋转中心，叫做旋转角，叫做的象；叫做的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，OGGGG象与原象是全等形很明显，旋转变换具有以下基本性质：旋转变换的对应点到旋转中心的距
2、离相等；对应直线的交角等于旋转角旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演重、难点重点：重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强
3、化例题精讲【例例 1】 如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案 与其余三个图案旋转的角度不同，它是与其余三个图案旋转的角度不同，它是( )【解析解析】A 【例例 2】 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形 AEFG 可以看成是把可以看成是把 菱形菱形 ABCD 以以 A 为中心为中心( ) A顺时针旋转顺时针旋转 60得到得到 B顺时针旋转顺时针旋转 120得到得
4、到 C逆时针旋转逆时针旋转 60得到得到 D逆时针旋转逆时针旋转 120得到得到GFEDCBA【解析解析】D【例例 3】 已知：如图，点已知：如图，点为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形求证：是等边三角形求证：CABACMCBNANBMMDNECBFA【解析解析】、是等边三角形，ACMCBN，MCACCNCBACNMCB ，ACNMCBANBM【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形【例例 4】 如图，如图，C 是线段是线段 BD 上一点，分别以上一点，分别以 BC、CD 为边在为边在 BD 同侧作等边同侧作等边ABC 和等边和等边CDE,AD 交交 CE 于于 F，BE 交
5、交 AC 于于 G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( ) A1 对对 B2 对对 C3 对对 D4 对对KGFEDCBA【解析解析】C【补充补充】已知：如图，点已知：如图，点为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形求证：是等边三角形求证：平分平分CABACMCBNCFAFBMDNECBFAGM H DNECBFA【解析解析】过点作于，于，由，CCGANGCHBMHACNMCB利用进而再证，可得到，故平分AASBCHNCDCGCHCFAFB【补充补充】如图，点如图，点为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形是等边三角形CABACMCBN 请
6、你证明：请你证明： ；ANBM ；DEAB 平分平分CFAFBMDNECBFA【解析解析】此图是旋转中的基本图形其中蕴含了许多等量关系与三角形各内角相等，60MCN及平行线所形成的内错角及同位角相等；全等三角形推导出来的对应角相等推到而得的：；AFCBFC ，；ANBMCDCEADMENDBE，；AMCNCMBNDEAB，；ACNMCBADCMCENDCBEC为等边三角形DEC、是等边三角形，ACMCBN，MCACCNCBACNMCB ，ACNMCBANBM由易推得，所以，又，ACNMCBNDCBECCDCE60MCN进而可得为等边三角形易得DECDEAB过点作于，于，由，CCGANGCHBM
7、HACNMCB利用进而再证，可得，故平分AASBCHNCDAFCBFC CFAFB【例例 5】 如图，如图，三点共线，且三点共线，且与与是等边三角形，连结是等边三角形，连结，分别交分别交，于于BCEABCDCEBDAEACDC ，点求证：点求证：MNCMCNNM EDCBA【解析解析】与都是等边三角形ABCDCE，及BCACCDCE60ACBDCE ，三点共线BCE，180BCDDCE 180BCAACE 120BCDACE 在与中BCDACE，BCAC BCDACE DCEC BCDACECANCBM ，120BCDACE 60BCMNCE 60ACD在与中BCMACN，60BCAC BCM
8、ACN CBMCAN BCMACNCMCN【例例 6】 ( (2008 年怀化市初中毕业学业考试试卷年怀化市初中毕业学业考试试卷) )如图，四边形如图，四边形、都是正方形，连接都是正方形，连接、ABCDDEFGAE 求证：求证：CGAECG GFEDCBA【解析解析】ADCEDG CDGADE 在和中CDGADE CDADCDGADEDGDE CDGADEAECG【补充补充】(】(年全国初中数学竞赛海南区初赛年全国初中数学竞赛海南区初赛) )如下图，在线段如下图，在线段同侧作两个等边三角形同侧作两个等边三角形和和2008AEABC ( () )，点，点与点与点分别是线段分别是线段和和的中点，则
9、的中点，则是是( ( ) )CDE120ACEPMBEADCPMP MBCDEAA钝角三角形钝角三角形 B直角三角形直角三角形 C等边三角形等边三角形 D非等腰三角形非等腰三角形 【解析解析】易得所以可以看成是绕着点顺时针旋转而得到的又为线ACDBCEBCEACDC60M段中点，为线段中点，故就是绕着点顺时针旋转而得所以且，ADPBECPCMC60CPCM，故是等边三角形，选 C60PCMCPM【例例 7】 如图，等边三角形如图，等边三角形与等边与等边共顶点于共顶点于点求证：点求证：ABCDECCAEBDDECBA【解析解析】是等边三角形，ABC60ACBACBC，同理，60BCDDCA 60
10、ACEDCA DCECBCDACE 在与中，BCDACE，BCAC BCDACE DCEC BCDACEBDAE【例例 8】 如图，点如图，点为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形，是等边三角形，是是中点，中点，是是中点，求中点，求CABACMCBNDANEBM 证：证：是等边三角形是等边三角形CDEMDNECBA【解析解析】，ACNMCBANBMABMANC 又、分别是、的中点，DEANBM，BCENCDCECDBCENCD 60DCENCDNCEBCENCENCB 是等边三角形CDE【例例 9】 如图，如图，是等边是等边内的一点，且内的一点，且，问，问的度数是否的度数是否DABCBDA
11、DBPABDBPDBC BPD 一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由PDCBAABCDP【解析】连接，将条件，这两个条件，易得()，得CDBDADBPABACDBCDSSS，由，(公共边)，知1302BCDACDACB BPABBCDBPDBC BDBD()，故的度数是定值BDPBDCSAS30BPDBCD BPD【例例 10】( (2005 年四川省中考题年四川省中考题) )如图，等腰直角三角形如图，等腰直角三角形中，中，为为中点，中点，ABC90B ABaOAC 求证：求证：为定值为定值EOOFBEBFOBECFA4321OBECFA【解
12、析】连结由上可知，而，OB1290 2390 13 445C OBOC，OBEOCFBEFCBEBFCFBFBCa【补充补充】如图，正方形如图，正方形绕正方形绕正方形中点中点旋转，其交点为旋转，其交点为、，求证：，求证：OGHKABCDOEFAECFAB54321OHBEDKGCFA【解析】正方形中，ABCD1245 OAOB而，3490 4590 ，35AOEBOF，AEBFAEFCBFFCBCAB【例例 11】( (2004 河北河北) )如图，已知点如图，已知点是正方形是正方形的边的边上一点，点上一点，点是是的延长线上一点，且的延长线上一点，且EABCDCDFCB 求证：求证：EAAFD
13、EBFFEDCBA【解析解析】证明：因为四边形是正方形，所以，ABCDABAD因为，90BADADEABF EAAF所以，所以 90BAFBAEBAEDAE ，故，故 BAFDAE Rt ABFRt ADEDEBF【补充补充】如图所示，在四边形如图所示，在四边形中，中，于于，若四边形，若四边形ABCD90ADCABC ADCDDPABP的面积是的面积是 16，求，求的长的长ABCDDPPDCBAABCDEP【解析解析】如图，过点作，延长交于点，容易证得(实际上就是把DDEDPBCDEEADPCDE逆时针旋转，得到正方形)ADP90DPBE正方形的面积等于四边形面积为，DPBEABCD164DP 【例例 12】( (1997 年安徽省初中数学竞赛题年安徽省初中数学竞赛题) )在等腰在等腰的斜边的斜边上取两点上取两点、，使，使，Rt ABCABMN45MCN 记记，则以，则以、为边长的三角形的形状是为边长的三角形的形状是( ( ) )AMmMNxBNnxmnA锐角三角形锐角三角形 B直角三角形直角三角形 C钝角三角形钝角三角形 D随随、的变化而变化的变化而变化xmnMNCBAMDNCBA【解析】如图，将绕点顺时针旋转，得，连结，CBNC90CADMD则，ADBNnCDCNACDBCNMCDACMACDACMBCN 904545MCN
