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1、第 1 页 共 4 页第四讲第四讲 四点共圆问题四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一 是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为 解决其他问题铺平道路.判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材几 何二册所介绍的两种（即 P89 定理和 P93 例 3），由这两种基本方法推导出 来的其他判别方法也可相机采用. 1 “四点共圆”作为证题目的 例 1给出锐角ABC，以 AB 为直径的圆与 AB 边的高 CC及其延长线交于 M，N.以 AC 为直径的圆与 AC 边的高 BB及其延长线将于 P，Q.求证： M，N，P，Q 四点共圆.
2、(第 19 届美国数学奥林匹克) 分析：设 PQ，MN 交于 K 点，连接 AP，AM. 欲证 M，N，P，Q 四点共圆，须证MKKNPKKQ，即证(MC-KC)(MC+KC) (PB-KB)(PB+KB)或 MC2-KC2=PB2-KB2 . 不难证明 AP=AM，从而有AB2+PB2=AC2+MC2.故 MC2-PB2=AB2-AC2=(AK2-KB2)-(AK2-KC2)=KC2-KB2. 由即得，命题得证. 例 2A、B、C 三点共线，O 点在直线外，O1，O2，O3分别为OAB，OBC，OCA 的外心.求证：O，O1，O2，O3四点共圆.(第 27 届莫斯科数学奥林匹克) 分析：作出
3、图中各辅助线.易证 O1O2垂直平分 OB，O1O3垂直平分 OA.观察OBC 及其外接圆，立得OO2O1=OO2B=OCB.观察OCA 及其外21接圆，立得OO3O1=OO3A=OCA.21由OO2O1=OO3O1O，O1，O2，O3共圆. 利用对角互补，也可证明 O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证.ABCKMNPQBCABCOOOO12 3 第 2 页 共 4 页2 以“四点共圆”作为解题手段 这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等 例 3在梯形 ABCD 中，ABDC，ABCD，K，M 分别在 AD，BC 上，DAMCBK.求证：DMAC
4、KB. （第二届袓冲之杯初中竞赛） 分析：易知 A，B，M，K 四点共圆.连接 KM， 有DABCMK.DAB+ADC 180，CMK+KDC180.故 C，D，K，M 四点共圆CMDDKC.但已证AMBBKA，DMACKB.(2)证线垂直 例 4O 过ABC 顶点 A，C，且与 AB， BC 交于 K，N(K 与 N 不同).ABC 外接圆和BKN 外接圆相交于 B 和M.求证：BMO=90.(第 26 届 IMO 第五题) 分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件 和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的.连接 OC，OK，MC，MK，延长 BM 到 G
5、.易得GMC=BAC=BNK=BMK.而COK=2BAC=GMC+BMK=180-CMK，COK+CMK=180C，O，K，M 四点共圆.在这个圆中，由OC=OK OC=OKOMC=OMK.但GMC=BMK，故BMO=90. (3)判断图形形状 例 5四边形 ABCD 内接于圆，BCD，ACD，ABD，ABC 的内心依次 记为 IA，IB，IC，ID. 试证：IAIBICID是矩形. (第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题) 分析：连接 AIC，AID，BIC，BID和 DIB.易得ABCDKMABOKNC MGABCDICIDAIIB第 3 页 共 4 页AICB=90+ADB=90+21 2
6、1ACB=AIDBA，B，ID，IC四点共圆. 同理，A，D，IB，IC四点共圆.此时AICID=180-ABID =180-ABC，21AICIB=180-ADIB=180-ADC，21AICID+AICIB=360-(ABC+ADC)21=360-180=270.21故IBICID=90. 同样可证 IAIBICID其它三个内角皆为 90.该四边形必为矩形. (4)计算 例 6正方形 ABCD 的中心为 O，面积为 19892.P 为正方形内 一点，且OPB=45，PA:PB=5:14.则 PB=_ (1989，全国初中联赛) 分析：答案是 PB=42.怎样得到的呢？ 连接 OA，OB.易
7、知 O，P，A，B 四点共圆，有APB=AOB=90. 故 PA2+PB2=AB2=1989. 由于 PA:PB=5:14，可求 PB. (5)其他 例 7设有边长为 1 的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最 大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断). (1978，全国高中联赛) 分析：设EFG 为正方形 ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶 点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令 F，G 两点在正方形的一 组对边上.作正EFG 的高 EK，易知 E，K，G， D 四点共圆KDE=KGE=60.同 理，KAE=60.故KAD 也是一个正 三角形，K
8、 必为一个定点.又正三角形面积取决于它的边长，当 KF 丄 AB 时，边长为 1，这时边长最小，而面积 S=也最小.当 KF 通过 B 点时，边长为 2，这4332时边长最大，面积 S=2-3 也最大.3POABCDABCDEFKG第 4 页 共 4 页例 8NS 是O 的直径，弦 AB 丄 NS 于 M，P 为 ANB 上异于 N 的任一点，PS 交 AB 于 R，PM 的延长线交O 于 Q.求证：RSMQ. (1991，江苏省初中竞赛) 分析：连接 NP，NQ，NR，NR 的延长线交O 于 Q.连接MQ，SQ.易证 N，M，R，P 四点共圆，从而，SNQ=MNR=MPR=SPQ=SNQ.根
9、据圆的轴对称性质可知 Q 与 Q关于 NS 成轴对称MQ=MQ.又易证 M，S，Q，R 四点共圆，且 RS 是这个圆的直径(RMS=90)，MQ是一条弦(MSQ90)，故 RSMQ.但MQ=MQ，所以，RSMQ.练习题练习题1.O1交O2 于 A，B 两点，射线 O1A 交O2 于 C 点，射线 O2A交O1 于 D 点.求证：点 A 是BCD 的内心. (提示：设法证明 C，D，O1，B 四点共圆，再证 C，D，B，O2 四点共圆，从而知 C，D，O1，B，O2五点共圆.)2.ABC 为不等边三角形.A 及其外角平分线分别交对边中垂线于 A1，A2；同样得到 B1，B2，C1，C2.求证：A
10、1A2=B1B2=C1C2.(提示：设法证ABA1与ACA1互补造成 A，B，A1，C 四点共圆；再证 A，A2，B，C 四点共圆，从而知 A1，A2都是ABC 的外接圆上，并注意A1AA2=90.)3.设点 M 在正三角形三条高线上的射影分别是 M1，M2，M3(互不重合).求证：M1M2M3也是正三角形.4.在 RtABC 中，AD 为斜边 BC 上的高，P 是 AB 上的点，过 A 点作 PC 的垂 线交过 B 所作 AB 的垂线于 Q 点.求证：PD 丄 QD.(提示：证 B，Q，E，P 和 B，D，E，P 分别共圆)5.AD，BE，CF 是锐角ABC 的三条高.从 A 引 EF 的垂线 l1，从 B 引 FD 的垂线 l2，从 C 引 DE 的垂线 l3.求证：l1，l2，l3三线共点.(提示：过 B 作 AB 的 垂线交 l1于 K，证：A，B，K，C 四点共圆)
