数列的综合应用

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1、要点梳理 1.解答数列应用题的基本步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征.(3)求解求出该问题的数学解.(4)还原将所求结果还原到原实际问题中.,6.5 数列的综合应用,基础知识 自主学习,2.数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.(3)分期付款模型：设贷款总额为a，年利率为r,等额还款数为b,分n期还完，则b=,基础自测

2、 1.数列an是公差不为0的等差数列且a7、a10、a15是等比数列bn的连续三项，若等比数列bn的首项b1=3,则b2等于 （ ）A. B.5 C.2 D.解析 由条件知 =a7a15,（a7+3d）2=a7(a7+8d),9d=2a7，q=b1=3，b2=b1q=5.,B,2.一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书，公元年代之和为13 958，则出齐这套书的年份是 （ ）A.1994 B.1996 C.1998 D.2000解析 设出齐这套书的年份是x，则（x-12）+(x-10)+(x-8)+x=13 958,7x- =13 958,x=2000.,D,3.（2009四川文，3

3、）等差数列an的公差不为零，首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项，则数列an的前10项之和是 （ ）A.90 B.100 C.145 D.190解析 由题意知，（a1+d）2=a1(a1+4d),即 +2a1d+d2= +4a1d,d=2a1=2.S10=10a1+ d=10+90=100.,B,4.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要 （ ）A.6秒 B.7秒C.8秒 D.9秒解析 依题意1+21+22+2n-1100, 100,2n101,n7,即至少需要7秒细菌将病毒全部

4、杀死.,B,5.已知数列an中，a1=2，点（an-1,an） (n1且nN)满足y=2x-1，则a1+a2+a10= .解析 an=2an-1-1，an-1=2(an-1-1),an-1是等比数列，则an=2n-1+1.a1+a2+a10=10+(20+21+22+29)=10+ =1 033.,1 033,题型一 等差数列与等比数列的综合应用 【例1】数列an的前n项和记为Sn，a1=1,an+1=2Sn+1 (n1).（1）求an的通项公式；（2）等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn.S1， n=1，Sn-Sn-1

5、，n2. 求an. （2）注意等差数列与等比数列之间的相互关系.,思维启迪,（1）运用公式an=,题型分类 深度剖析,解 （1）由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1 (n2), 两式相减得an+1-an=2an,则an+1=3an (n2). 又a2=2S1+1=3,a2=3a1. 故an是首项为1，公比为3的等比数列，an=3n-1. （2）设bn的公差为d, 由T3=15,b1+b2+b3=15,可得b2=5, 故可设b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9, 由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2， 解得d1=2,d2=-10. 等差数列bn的

6、各项为正，d0, d=2,b1=3,Tn=3n+ 2=n2+2n.,探究提高 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系.往往用到转化与化归的思想方法. 知能迁移1 （2009全国文，17）设等差数列an的前n项和为Sn,公比是正数的等比数列bn的前n项和为Tn,已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12,求an,bn的通项公式.解 设an的公差为d，bn的公比为q.由a3+b3=17得1+2d+3q2=17, 由T3-S3=12得q2+q-d=4. 由、及q0解得q=2,d=2.故所求的通项公式为an=2n-1,

7、bn=32n-1.,题型二 数列与函数的综合应用 【例2】 （12分）已知f(x)=logax(a0且a1)，设f(a1),f(a2),f(an) (nN*)是首项为4，公差为2的等差数列. （1）设a为常数，求证：an是等比数列； （2）若bn=anf(an),bn的前n项和是Sn,当a= 时,求Sn.利用函数的有关知识得出an的表达式，再利用表达式解决其他问题.,思维启迪,（1）证明 f(an)=4+(n-1)2=2n+2, logaan=2n+2, 2分 an=a2n+2. （n2）为定值. an为等比数列. 5分(2)解 bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)

8、a2n+2. 当a= 时，bn=(2n+2) ( )2n+2=(n+1)2n+2. 7分 Sn=223+324+425+(n+1)2n+2 2Sn=224+325+426+n2n+2+(n+1)2n+3 -得 -Sn=223+24+25+2n+2-(n+1)2n+3,=16+ -(n+1)2n+3=16+2n+3-24-n2n+3-2n+3=-n2n+3.Sn=n2n+3. 12分数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题.此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题.解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形

9、.,探究提高,知能迁移2 设等比数列an的前n项和Sn，首项a1=1,公比q=f ( -1,0).（1）证明：Sn=（1+ ）- an；（2）若数列bn满足b1= ,bn=f(bn-1) (nN*,n2),求数列bn的通项公式;（3）若 =1,记cn=an ,数列cn的前n项和为Tn,求证:当n2时,2Tn4.,(1)证明,(2)解, 是首项为 =2,公差为1的等差数列.=2+(n-1)=n+1,即bn=,(3)证明 当 =1时,又Tn+1-Tn0, Tn单调递增.TnT2=2. 故当n2时,2Tn4.,两式相减得,题型三 数列的实际应用 【例3】假设某市2008年新建住房400万平方米，其中

10、有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2008年为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？（参考数据：1.0841.36,1.0851.47,1.0861.59),（1）要求学生会把实际问题转化为数学 问题:Sn=250n+ 50=25n2+225n4 750. (2)an0.85bn,bn=4001.08n-1. 解 （1）设中低价房的面积形成

11、的数列为an， 由题意可知an是等差数列， 其中a1=250,d=50, 则an=250+(n-1)50=50n+200 Sn=250n+ 50=25n2+225n, 令25n2+225n4 750, 即n2+9n-1900,而n是正整数，n10. 因此到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面 积将首次不少于4 750万平方米.,思维启迪,（2）设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1=400,q=1.08,则bn=400(1.08)n-1.由题意可知an0.85bn,即50n+200400(1.08)n-10.85.当n=5时，a50.85b5,当n=6时，a60.

12、85b6,因此满足上述不等式的最小正整数n为6.因此到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.,解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题，这也是数学实际应用的具体体现.,探究提高,知能迁移3 某市2008年共有1万辆燃油型公交车,有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%,试问:(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车?(2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 ?(lg 657=2.82,lg 2=0.30,lg 3=0

13、.48)解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列an,其中a1=128,q=1.5,则在2015年应该投入的电力型公交车为a7=a1q6=1281.56=1 458（辆）.,（2）记Sn=a1+a2+an， 依据题意，得 ， 于是Sn= 5 000（辆），即1.5n 两边取常用对数，则nlg 1.5lg 即n 7.3,又nN*，因此n8. 所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该 市公交车总量的 .,方法与技巧 1.深刻理解等差（比）数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键.两类数列性质既有相似之处，又有区别，要在应用中加强记忆.同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而

14、减少差错. 2.在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程（组）求解，在解方程组时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处.,思想方法 感悟提高,3.数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度.解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等. 4.在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解决实际问题.,失

15、误与防范 1.等比数列的前n项和公式要分两种情况：公比等于1和公比不等于1.最容易忽视公比等于1的情况，要注意这方面的练习. 2.数列的应用还包括实际问题，要学会建模，对应哪一类数列，进而求解. 3.在有些情况下，证明数列的不等式要用到放缩法.,一、选择题 1.各项都是正数的等比数列an中，a2， a3，a1成等差数列，则 的值为 （ ）A. B. C. D. 或解析 设an的公比为q (q0)，由a3=a2+a1,得q2-q-1=0，解得q= .因此,B,定时检测,2.数列an中,an=3n-7 (nN*), 数列bn满足b1= ,bn-1=27bn(n2且nN*),若an+logkbn为常数,则满足条件的k值 （ ）A.唯一存在,且为B.唯一存在,且为3C.存在且不唯一D.不一定存在,