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1、13-2 拉氏变换的基本性质,（1） 唯一性 F(s)f(t),（2） 线性性质 如果,证明：,例：,解：由欧拉公式,例：,解：,（3）微分性质（时域导数性质）,如果：,那么：,式中 为原函数 在,时的值,证明：,利用分部积分法,如果,那么,例：（1）求cost的象函数 （2）求costt(t)的象函数,解：（1）,设,（2）利用上式结果及导数性质,亦可用下述方法求解,（4）积分性质（时域积分性质）,如果,那么,证明：,令,例：求f(t)=t的象函数。,解：,即函数f(t)由0-到t的积分的象函数等于f(t)的象函数除以s。,（5）延时性质 （时域平移性质）,如果,那么,证明：当tt0时，,令
2、,例：求所示矩形脉冲的象函数,解：,f(t)=,A 0t,0 t,例：,求单个正弦波（图a）的象函数,图a,图b,图c,解：,图a等于图b与图c的叠加。,由于一些特殊波形通常可看作若干个在不同时间起始的简单的已知F(s)的原函数的叠加，因此利用时域平移性质可直接写出这些波形的象函数。,（6）频域导数性质,如果,那么,证明:,不难推得:,例: 设,试求:,而,在n=1,2情况下,有:,（7）频域平移性质,如果,那么,证：,例：求 的象函数,解：,依频域平移性质：,13-3 拉氏反变换的部分分式展开,F(s),f(t),拉氏反变换,该公式涉及以s为变量的复变函数积分，故较复杂。,求拉氏变换的一般方
3、法：将象函数一部分分式展开,查拉氏变换表求原函数,电路响应的象函数通常为：,将F(s),分解,若干简单项之和,将各简单项查表,原函数,这种方法称为部分分式展开法，或称为分解定理。,注意：用部分分式展开法的条件为F(s)为真分式。,（电路分析中通常不出现nm的情况）,若F(s)不是真分式，n=m，则用分子除分母得,对应时间函数为A(t),真分式,用部分分式展开真分式时，需要对分母多项式作因式分解，求出D(s)=0的根。,D(s)=0的根,单根,共轭复根,重根,1、D(s)=0有n个单根,试中k1,k2 , ,kn是待定系数，可按下述方法确定。,将上式两边乘以（s-p1）得,令s=p1，则等式右边
4、除第一项外均为零，这样,同理可求k2 k3kn ，其待定系数公式为,i=1，2，n,i=1，2，n,Pi是D(s)的一个根，上式为,0,0,的不定式，可以用求极限的方法（罗必达法则）来确定ki的值,可确定各待定系数的另一公式,确定了各待定系数后，相应的原函数为,例：求,的原函数。,解：,2、D(s)=0具有共轭复根,例：求,的反变换。,解：,D(s)=0的根为：p1=-25+j315 p2=-25-j315,N(s)的系数都是实数，k1,k2一定是共轭的。,则,设,例：求,的原函数f(t),解：D(s)=0的根 p1=-1+j2 p2=-1-j2 为共轭复根,依：,3、如果D(s)=0具有重根，则应含有(s-p1)n的因式。现设D(s)中含有(s-p1)3 的因式，p1为D(s)的三重根，其余为单根，F(s)可分解为：,括号中为单根,等式两端乘以(s-p1)3,则：,13-8,再对式（13-8）两边对s求导一次，k12被分离出来，即,用同样的方法：,例：求,的原函数,解：D(s)=(s+2)3(s+1)=0 p=-2为三重根，p=-1为单根,
