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1、函数与极限测试题（二）函数与极限测试题（二） 一. 选择题 1.设是连续函数的一个原函数，表示“M 的充分必要条件是 N” ，则F( )x( )f x“NM 必有( ). （A）是偶函数)是奇函数. （B）是奇函数是偶函数.F( )x( )f xF( )x( )f x （C）是周期函数是周期函数. （D）是单调函数是单调函数 F( )x( )f xF( )x( )f x 2设函数则( ), 1 1 )( 1 x x e xf （A），都是的第一类间断点.0x 1x ( )f x （B），都是的第二类间断点0x 1x ( )f x （C）是的第一类间断点，是的第二类间断点.0x ( )f x1x
2、 ( )f x （D）是的第二类间断点，是的第一类间断点.0x ( )f x1x ( )f x 3设，则 ( ) 1x f x x 0 1x 、， 1 ( ) f f x A） B） C） D） 1x x1 1 X 1 x 4下列各式正确的是 ( ) A） B） 0 lim1 1 (1+ ) x x x 0 lim 1 (1+ ) x x e x C） D）lim 1 (1) x x e x lim 1 (1) x x e x 5已知，则( )。9)(lim x x ax ax a A.1； B.； C.； D.。3ln3ln2 6极限：( ) x x x x ) 1 1 (lim A.1；
3、B.； C.； D.。 2 e 2 e 7极限：=（ ） x lim 3 3 2 x x A.1； B.； C.0； D.2 8极限：=（ ） x x x 11 lim 0 A.0； B.； C ； D.2 2 1 9.极限：=（ ）)(lim 2 xxx x A.0； B.； C.2； D. 2 1 10极限: =（ ） x xx x 2sin sintan lim 3 0 A.0； B.； C. ； D.16 16 1 二. 填空题 11极限= ； 12. = ； 1 2 sinlim 2 x x x x 0 arctan lim x x x 13. 若在点连续，则= ；)(xfy 0 x
4、)()(lim xfxf xx 14. ； 15. ； 0 sin5 lim x x x n n n ) 2 1 (lim 16. 若函数，则它的间断点是 23 1 2 2 xx x y 17. 绝对值函数 ,0; ( )0,0; ,0. xx f xxx x x x 其定义域是 ，值域是 。 18.符号函数 其定义域是 ，值域是三个点的集合 。 1,0; 0,0; ( )sgn 1,0. x x f xx x 19 无穷小量是 。 20. 函数在点连续，要求函数满足的三个条件是 。 ( )yf x 0 x( )yf x 三. 计算题 21.求 ； 22.设求(其中)；). 1 1 1 (li
5、m 0 xe x x x 1 ()32, x f ex ( )f x0x 23.求； 24.求； 5 2 2 (3) lim x x x x 1 () 1 lim x x x x 25.求； 26. 已知，求的值； 2 2 0 sin lim tan2 (3 ) x x x xx 9)(lim x x ax ax a 27. 计算极限 ；28.求它的定义域。 n nn n 1 )321 (lim 2 lg 52 1 x f xx x 29. 判断下列函数是否为同一函数： 与 ； 与； 22 ( ) sincosf xxx= g1x = 1 1 )( 2 x x xf 1)( xxg 与； 与；
6、 2 1)(xxf1)( xxg 2 1xxf1)( xxg 与。 2 yax 2 sat 30. 已知函数， 求； 2 ( )1f xx 1( ( )32f xf f xff、 31. 求 ； 32. 求 ； 746 153 lim 2 2 nn nn n 2 21 lim n n n 33. 求 ； 34. 求 。)1(limnn n nn nn n 32 32 lim 35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限 ， ； ， 。 2, 2, 1 xx xx y2x 0, 3 1 0,sin xx xx y0x 36.求； 37. 求； 3 1 lim 3 x x 9 3 lim 2 3 x
7、 x x 38.求； 39.求当 x时，下列函数的极限 x x x 11 lim 0 。 1 12 3 23 xx xx y 40. 求当时，函数的极限。x 1 12 3 2 xx xx y 41.求； 42.求； x x x 3sin lim 0 2 0 cos1 lim x x x 43.求； 44.求； 3 1 1lim n n n n n n 2 1 1lim 45.求； 46.求； x x kx ) 1 1 (lim x x x 1 1lim 47.求 。x x kx 1 0 1lim 48. 研究函数在点处的连续性。 0, 1 0, sin )( x x x x xf 0 0x =
8、 49. 指出函数在点处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。 1 1 )( x xfx=1 50. 指出函数在点处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。 0, 0 0, 1 )( x x xxf0x= 51. 指出函数在点处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。 0, 1 0, )( 2 x xx xf0x= 52.求； x x x )1ln( lim 0 53.求； x x x x ln 1 1 lim 2 1 54. 试证方程在区间1，2至少有一根。 32 23230xxx 55. 求。 x xx x 2sin sintan lim 3 0 56. 试证正弦函数在区间 (-， +) 内连
9、续。sinyx 57. 函数；在点处是否连续？ 0 0 xx f xx xx ， ， l l 0x 58. 函数 ；是否在点连续？ 1 sin 0 ( ) 0 0 xx x f x x ， ， 0x 59. 求极限 . x a x x 1 lim 0 函数与极限测试题答案（二）函数与极限测试题答案（二） 一.选择题 1.A 【分析分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解详解】 方法一：任一原函数可表示为，且 x CdttfxF 0 )()().()(xfxF 当为偶函数时，有，于是，即 ，)()(xFxF)() 1()(xFxF)()(xfxf 也即，可见为
10、奇函数；反过来，若为奇函数，则为偶函数，从)()(xfxf x dttf 0 )( 而为偶函数，可见(A)为正确选项. x CdttfxF 0 )()( 【评注评注】 函数与其原函数的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考与其原函 数的有界性之间有何关系? 2. D【分析分析】 显然，为间断点，其分类主要考虑左右极限.0x 1x 【详解详解】 由于函数在， 点处无定义，因此是间断点.且 0x 1x ，所以为第二类间断点； )(lim 0 xf x 0x ，所以为第一类间断点，故应选(D).0)(lim 1 xf x 1)(lim 1 xf x 1x 【评注评注】 应特别注意：， 从而
11、， 1 lim 1 x x x . 1 lim 1 x x x 1 1 lim x x x e . 0 lim 1 1 x x x e 3 - 8 CACCAC 8.x时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”： 原式 = . （有理化法有理化法） 2 1 11 1 lim ) 11( ) 11)(11( lim 00 xxx xx xx 9 -10 DC 10.解：原式. 16 1 8 2 1 lim )2( )cos1 (tan lim 3 2 0 3 0 x xx x xx xx 注注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上 例
12、中若对分子的每项作等价替换，则原式.0 )2( lim 3 0 x xx x 二.填空题 11. 2； 12. 1； 13.0； 14.5； 15.； 16.；17. ； 2 e1 2x 、),(), 0 18. ；),(1 , 0 , 1 19.在某一极限过程中，以 0 为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量无穷小量 20.函数在点处有定义；时极限存在；极限值与函数值 =y f x 0 x 0 xx 0 lim ( ) xx f x 相等，即。 0 0 lim( )() xx f xf x 三. 计算题 21.【分析分析】 型未定式，一般先通分，再用洛比达法则.“ 【详解详解】 = )1 ( 1 lim) 1 1 1 (lim 2 00 x x x x x ex exx xe x 2 2 0 1 lim x exx x x = x ex x x 2 21 lim 0 . 2 3 2 2 lim 0 x x e 22. ； 23.； 24.； 25.； 26.；27. 3 3ln1,0f xxx 3 e 2 e 6 1 3ln 28. 解：由解得；由解得；由解得；20x2x x101x 520x2.5x 所以函数的定义域为或表示为。2.521xxx 且 2,11,2.5 29. 、是同一函数，
