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1、12.4 函数的奇偶性函数的奇偶性学习目标：1.了解函数奇偶性、周期性的含义. 2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题重点难点：函数奇偶性和周期性的应用一、知识要点一、知识要点1、函数奇偶性定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数；如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法（1）利用定义判断函数奇偶
2、性的格式步骤：首先确定函数的定义域是否关于原点对称；确定f(x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称（2)利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于 y 轴对称的函数为偶函数3、函数奇偶性的性质：奇函数奇函数在对称的单调区间内有相同相同的单调性；偶函数偶函数在对称的单调区间内有相反
3、相反的单调性2二、例题精讲二、例题精讲题型题型 1 1： 函数奇偶性的判定函数奇偶性的判定1判断下列函数的奇偶性：, ,xxxxf11) 1()(29)(xxf 22(0)( )(0)xxxf xxxx2211)(xxxf变式：设函数f（x）在（，+）内有定义，下列函数：y=|f（x）|； y=xf（x2） ； y=f（x） ； y=f（x）f（x） 必为奇函数的有_ _（要求填写正确答案的序号）题型题型 2 2： 函数奇偶性的证明函数奇偶性的证明1已知函数 f(x),当 x,yR 时，恒有 f(x+y)=f(x)+f(y)求证：f(x)是奇函数3题型题型 3 3： 函数奇偶性的应用函数奇偶性
4、的应用1设定义在-2，2上的偶函数 f(x)在区间0，2上单调递减，若 f(1-m)f(m)，求实数 m 的取值范围变式 1：已知函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是( )f x(0,)( )f x(,0)增函数还是减函数 变式 2：函数是 R 上的偶函数，且在上是增函数，若,则实( )yf x(,0( )(2)f af数的取值范围是 a三、巩固练习三、巩固练习1已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 y=f(|x|); y=f(-x); y=xf(x); y=f(x)+x2设函数若函数2( )(2)(1)3f xkxkx是偶函数，则)(xf的递减区间是
5、 3已知已知 y=f(x)y=f(x)是定义在是定义在 R R 上的奇函数，当上的奇函数，当 x0x0 时，时，f(x)=xf(x)=x2 2-2x-2x，则在，则在 x0x0 上上 f(x)f(x)的表达的表达式为式为 4设设f(x)=ax5+bx3+cx5(a,b,c 是常数是常数)且且,则则 f（7）= ( 7)7f 5若函数的图象关于原点对称，则实数应满足的条件是 ( )2f xxbb6已知函数已知函数，常数，常数、，且，且，则，则 3( )1f xaxbxabR(4)0f( 4)f 7在内为减函数，又为偶函数，则与的大小关系( )yf x,0( )f x( 3)f (2.5)f4为 8已知函数是定义在上的偶函数，则 ，2( )f xaxbxcaa 1 ,2a _b 9已知函数是定义在上的奇函数，当时，则 ( )f xR0x 2( )2f xxx(1)f10判断下列函数的奇偶性； ； xxy13xxy2112；xxy411已知函数是定义在实数集上的偶函数，当时，( )yf xR0x 2( )23f xxx（1）写出函数的表达式； （2）作出的图象； ( )yf x( )yf x（3）指出函数的单调区间及单调性 （4）求函数的最值5
