函数奇偶性的归纳总结

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1、函数的奇偶性的归纳总结函数的奇偶性的归纳总结 考纲要求：考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。 教学目标：教学目标：1、理解函数奇偶性的概念； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法； 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法； 4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。 教学重点：教学重点：1、理解奇偶函数的定义； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。 教学难点：教学难点：1、对奇偶性定义的理解； 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。 教学过程：教学过程： 一、知识要点：一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念 一般

2、地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有，)(xfx)()(xfxf 那么函数就叫做偶函数。)(xf 一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有,)(xfx)()(xfxf 那么函数就叫做奇函数。)(xf 理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概 念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象： 奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶

3、函数图象关于y轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的 必要条件是其定义域关于原点对称） 。 常用的结论：若 f(x)是奇函数，且 x 在 0 处有定义，则 f(0)0。 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇 函数 f(x)在区间a,b(0ab)上单调递增（减） ，则 f(x)在区间b,a上也是单调递增（减） ； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函 数 f(x)在区间a,b（0ab）上单调递增（减） ，则 f(x)在区间b,a上单调递减（增） 任意

4、定义在 R 上的函数 f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。 若函数 g(x)，f(x)，fg(x)的定义域都是关于原点对称的，则 u=g(x)，y=f(u)都是奇函 数时，y=fg(x)是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= fg(x)是偶函数。 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外内偶则偶，内奇同外”. 5、判断函数奇偶性的方法： 、定义法：对于函数的定义域内任意一个 x，都有或( )f x xfxf 或函数 f（x）是偶函数； 1 xf xf 0xfxf 对于函数的定义域内任意一个 x，都有或或( )f x xfxf 1 xf xf

5、函数 f（x）是奇函数； 0xfxf 判断函数奇偶性的步骤： 、判断定义域是否关于原点对称； 、比较与的关系。)( xf )(xf 、扣定义，下结论。 、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函 数是偶函数。 ， 、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论： 奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数； 奇函数奇函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数。 若为偶函数，则。( )f x()( )(|)fxf xfx 二、典例分析二、典例分析 1 1、给出、给出函数解析式判断其奇偶性：函数解析式判断其奇偶性： 分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶

6、函数， 若定义域关于原点对称，再看 f(x)与 f(x)的关系. 【例 1】 判断下列函数的奇偶性： (1). (2) . 2 ( )21;f xxx 2 23 ( ),0 ; 3 xx f xxx xx 解：函数的定义域是，( )f x() ， ， ， 2 ( )21f xxx 2 ()()21fxxx 2 21( )xxf x 为偶函数。 2 ( )21f xxx （法 2图象法）：画出函数的图象如下： 2 ( )21f xxx 由函数的图象可知， 2 ( )21f xxx 为偶函数。 2 ( )21f xxx 说明说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函 数

7、的奇偶性。 (2)(2) . 解：由 ，得x(，3(3，+). 3 0 3 x x 定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数. 【例 2】 判断下列函数的奇偶性： (1). (2) . (3). 。 2 4 ( ); 33 x f x x 3 ( )3sin(2 ); 2 f xx 0 2 1 ( ) 1 x f x x 解： (1).由，解得 2 40 330 x x 22 06 x xx 、 、 定义域为2x0 或 0x2，则. 22 44 ( ); 33 xx f x xx . 22 4()4 ()( ); xx fxf x xx 为奇函数. 2 4 ( ) 33 x f x x 说明说明

8、：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数 解析式变形化简，然后再进行判断。 (2)(2) .函数定义域为 R R， 3 ( )3sin(2 ) 2 f xx ， 3 ( )3sin(2 )3cos2 2 f xxx ， ()3cos2()3cos2( )fxxxf x 函数为偶函数。 3 ( )3sin(2 ) 2 f xx (3). 由，解得 ， 函数定义域为， 2 0 10 x x 0 1 x x 0,1xR xx 又， 0 22 111 ( )0 11 x f x xx ()0fx 且， ()( )fxf x ()( )fxf x 所以 既是奇函数又是偶函数。

9、0 22 111 ( )0 11 x f x xx 【例 3】 判断下列函数的奇偶性： (1). ；(2). 2 0.5 ( )log(1)f xxx (1),(0) ( )0 ,(0) (1),(0) xxx f xx xxx 解：(1)(1) . 定义域为 R R， 22 0.50.5 ()( )log()1)log(1)fxf xxxxx ， f(x)=f(x)，所以 f(x)为奇函数。 2 0.50.5 log(1)log10xx 说明说明：给出函数解析式判断其奇偶性，一般是直接找与关系，但当()fx ( )f x 直接找与关系困难时，可用定义的变形式：函数()fx ( )f x 0x

10、fxf f（x）是偶函数； 函数 f（x）是奇函数。 0xfxf (2)(2) .函数的定义域为 R， 当时，0x 0 ,()()(1)(1)( );xfxxxxxf x 当时，0x 0 ,()0( );xfxf x 当时，0x 0 ,()() 1()(1)( ).xfxxxxxf x 综上可知，对于任意的实数x，都有，所以函数为奇函数。()( )fxf x ( )f x 说明说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶 性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。 2 2、抽象抽象函数判断其奇偶性：函数判断其奇偶性： 【例 4】 已知函数对任意的非零实数恒有( )(0)

11、,f xxRx 、 、 1,2 ,x x 判断函数的奇偶性。 1212 ()()(),f xxf xf x ( )(0)f xxRx 、 、 解：函数的定义域为，(, 0)(0 ,) 令，得，令，则 12 1xx (1)0f 12 1xx 2 ( 1)(1),( 1)0 ,fff 取，得 12 1,xxx ()( 1)( ),fxff x ()( ) ,fxf x 故函数为偶函数。( )(0)f xxRx 、 、 3 3、函数奇偶性的应用：函数奇偶性的应用： (1)(1) . 求字母的值：求字母的值： 【例 5】已知函数是奇函数，又， 2 1 ( )( , ,) ax f xa b cZ bx

12、c (1)2f ，求的值.(2)3f ,a b c 解：由得，。()( )fxf x ()bxcbxc 0c 又得，而得，(1)2f 12ab (2)3f 41 3 2 a b ，解得。 41 3 1 a a 12a 又，或.aZ 0a 1a 若，则，应舍去；若，则b=1Z Z.0a 1 2 bZ 1a 1bZ 。1,1,0abc 说明说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合 组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如 f(1)=f(1)，得 c =0。 (2)(2) . 解不等式：解不等式： 【例 6】若 f(x)是偶函数，当 x0，+)时，f(x)=x1，求 f(x1)0 的解集。 分析：偶函数的图象关于 y 轴对称，可先作出 f(x)的图象，利用数形结合的方法. 解：画图可知 f(x)0 的解集为 x1x1， f(x1)0 的解集为x0x2. 答案：x0x2 说明说明：本题利用数形结合的方法解题较快、简捷.本题也可先求 f(x)的表达式，再求 f(x1)的表达式，最后求不等式的解也可得到结果. (3) . 求函数解析式：求函数解析式： 【例 7】已知 f(x)是 R 上的奇函数，且 x(，0)时