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1、1第三讲 函数的单调性、奇偶性一、知识点归纳一、知识点归纳 函数的单调性函数的单调性（1）定义：设函数y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)） ，那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数） ，区间D为函数y=f(x)的增区间（减区间）概括起来，即1212121212121212( )()( )()( )()( )()xxxx f xf xf xf xxxxx f xf xf xf x增函数或“ 同增异减”减函数或（2）函数单调性的证明的一般步骤：设，是区间D上的任意两个实数，且1x2x12xx作差，并通过因式分解、配方、通
2、分、有力化等方法使其转化为易于判断12( )()f xf x正负的式子；确定的符号；给出结论12( )()f xf x证明函数单调性时要注意三点：和的任意性，即从区间D中任取和，证明单1x2x1x2x调性时不可随意用量额特殊值代替；有序性，即通常规定；同区间性，即和12xx1x必须属于同一个区间。2x（3）设复合函数是定义区间 M 上的函数，若外函数 f(x)与内函数 g(x)的单 xgfy 调性相反，则在区间 M 上是减函数；若外函数 f(x)与内函数 g(x)的单调性相 xgfy 同，则在区间 M 上是增函数。概括起来，即“同增异减 II 号” xgfy （4）简单性质：与单调性相同；与及
3、单调性相反( )f x( )f x( )f x( )f x1 ( )f x在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；)(xf)(xg)(xf)(xg增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。)(xf)(xg)(xf)(xg（5）必须掌握特殊函数单调性 一次函数： ykxb2 二次函数： 2yaxbxc 反比例函数： kyx 双钩函数： kyxx注：函数的多个单调区间 通常不能用并集联接；单调区间的端点只要在定义域内就要加 上增函数在图像上反映出来就是“向上” ，减函数从图像上反映出来就是“向下” 函数的最值函数的最值（1）定义：的最大值： 最大的函数值；的最小值： 最小的函
4、数( )f x( )f x( )f x( )f x值 （2）求最值方法与求值域方法类似 函数的奇偶性函数的奇偶性 1定义:设 y=f(x)，定义域为 A 且 A 关于原点对称，如果对于任意A，都有，x()( )fxf x称 y=f(x)为偶函数。设 y=f(x) ，定义域为 A 且 A 关于原点对称，如果对于任意A，都有，x()( )fxf x 称 y=f(x)为奇函数。概括起来，即，( )( )()( )f xf xfxf x定义域关于原点对称为偶函数( )( )()( )f xf xfxf x 定义域关于原点对称为奇函数2函数奇偶性的判断 的步骤： 求定义域，若定义域不关于原点对称，则函数
5、( )f x( )f x既不是奇函数也不是偶函数；若定义域关于原点对称，则判断与( )f x( )f x( )f x的关系()fx判断与的关系，若，则为偶函数；若，( )f x()fx()( )fxf x( )f x()( )fxf x 则为奇函数；若且，则既是奇函数又是偶函数；( )f x()( )fxf x()( )fxf x ( )f x若且，则函数既不是奇函数也不是偶函数()( )fxf x()( )fxf x ( )f x3.性质：（1）若为奇函数，则：；图像关于原点对称；( )f x()( )fxf x ( )f x0 在定义域内时有；在关于原点对称的区间上单调性相同( )f x(
6、0)0f( )f x几种特殊的奇函数，yx3yx1yxsinyx3（2）若为偶函数，则：；图像关于轴对称在关( )f x()( )fxf x( )f xy( )f x于原点对称的区间上单调性相反；几种特殊的偶函数：，yx2yxcosyx注：若二次函数为偶函数，则；在同一定义域内，2yaxbxc0b ，= 奇偶奇，；既是奇函数又是偶函数的函数只有一个解析式=奇奇奇= 偶偶偶( )0f x 二、典例例题解析：二、典例例题解析： 题型一题型一 单调性的定义单调性的定义例例 1 1 定义在R上的函数( )f x对任意两个不相等的实数, a b总有( )( )0f af b ab，试判断( )f x单调
7、性。例例 2 2 若( )f x在区间( , )a b上是增函数，在区间( , )b c上也是增函数，则函数( )f x在区间( , )( , )a bb c上（ ） A.必是增函数 B.B.必是减函数 C.C.是增函数或减函数 D.无法确定单调性 变式训练变式训练 下列说法中正确的有个若12,x xI，当12xx时，12( )()f xf x，则( )yf x在I上是增函数函数2yx在R上是增函数；函数1yx 在定义域上是增函数；1yx的单调区间是(,0)(0,)题型二题型二 单调性的证明单调性的证明例例 1 1 证明函数1yxx在区间(0,1)上为减函数例例 2 2 证明函数2( )1f
8、xxx 在其定义域内是减函数例例 3 3 已知函数( )yf x在(0,)上为增函数，且( )0(0)f xx，试判断1( )( )F xf x在4(0,)上的单调性，并给出证明过程题型三题型三 利用单调性求函数值域和最值利用单调性求函数值域和最值 例例 1 1 求下列函数的最值；( )12f xxx( )33f xxx( )11f xxx 1( )22f xxx1( ),1,)xf xxx变式变式 如果函数，求的单调区间和值域 2( )-23f xxx( )f x例例 2 2 已知在，上是减函数，求的取值范围2( )2(1)2f xxa x(,4a变式变式 1 1 已知的减区间是，求的值2(
9、 )2(1)2f xxa x(,4a变式变式 2 函数 f(x)= x 2 + 3x +2 在区间(-5,5)上的最大值、最小值分别为 （ ）A、42,12 B、42，-C、12，- D、无最大值，最小值-1 41 41 4.变式变式 3 函数 y2x2(a1)x3 在(，1内递减，在(1，)内递增，则 a 的值是 ( )A.1 B.3 C.5 D.15例例 3 3 若在区间上是减函数，求的的取值范围1( )2axf xx(-2,)a变式变式 1 函数的图象如图所示：则的单调( )yf x1 2( )logg xfx减区间是（ ）2. 1, 2.,1. 0,12,.,12,2ABCD和和变式变
10、式 2、已知是 R 上的减函数，那么的取值范围是（ 3141log1aaxaxf xxxa）11 11. 0,1. 0,.,.,137 37ABCD题型四题型四 抽象函数的单调性抽象函数的单调性例例 1 1 已知函数( )yf x是(,) 上的增函数，且(23)(56)fxfx，求x的取值范围变式变式 已知函数( )yf x的定义域为，且在区间上是增函数且 2,2( )f x 2,2(1)( )fmf m，求m的取值范围例例 2 2 已知函数( )yf x在0,)上是减函数，比较3( )4f与2(1)f aa的大小例例 3 3 已知定义在区间(0,)上的函数( )f x满足( )( )( )x
11、ff xf yy，且当1x 时( )0f x 求(1)f的值；判定( )f x的单调性；若(3)1f ，求( )f x在2,9上的最小值XYO1 216变式变式 已知定义在区间上的增函数( )f x满足，解(0,)( )( )( )xff xf yy(2)1f不等式1( )()23f xfx例例 4 4 函数 f(x)是定义在(0，)上的减函数，对任意的 x，y(0，)，都有 f(xy) f(x)f(y)1，且 f(4)5. (1)求 f(2)的值； (2)解不等式 f(m2)3变式变式 已知函数( )f x定义域为R，且对,m nR，恒有()( )( ) 1f mnf mf n，且1()02
12、f ，当1 2x 时，( )0f x 求1( )2f证明：( )f x在R上为增函数题题型型五五 函函数数的的奇奇偶偶性性 概概念念 例例 1 1 下列说法中错误的个数为（ ） 图像关于坐标原点对称的函数是奇函数图像关于y轴对称的函数是偶函数奇函数的图像一定过坐标原点偶函数的图像一定与y轴相交A.4 B.3 C.2 D.0 变式变式 下列判断正确的是（ ）A.定义在R上的函数( )f x，若( 1)(1)ff，且( 2)(2)ff，则( )f x是偶函数B.B.定义在R上的函数( )f x满足(2)(1)ff，则( )f x在R上是增函数C.C.定义在R上的奇函数( )f x在区间(,0上是减
13、函数，则在区间(0,上也是减函数 D.D.既是奇函数又是偶函数的函数只有一个 题型六题型六 函数函数奇、偶性的判断奇、偶性的判断7例例 1 1 判断下列函数的奇偶性（判断下列函数的奇偶性（定义法定义法）31( )f xxx1( )(1)1xf xxx21( )22xf xx2( )21f xxx( )22f xxx22( )11f xxx 1212)(xx xf)1lg()1lg()(xxxf例例 2 2 判断下列函数奇偶性（判断下列函数奇偶性（定义法或图像法定义法或图像法） (1),0( )(1),0x xxf xx xx22230 ( )00 230xxx f xx xxx ( )2,2, 1,0,1,2f xx 例例 3 3 判断下列函数奇偶性（判断下列函数奇偶性（抽象函数抽象函数） ( )( )()F xf xfx( )( )()F xf xfx，其中为奇函数函数定义域为，并且对任意( )( )()F xf xfx( )f x( )f xR均满足，判断判断奇偶性，并证明。xyR、()( )( )f xyf xf y
