《函数的奇偶性的经典总结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的奇偶性的经典总结（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、xxxf1)(1)(2xxxfxxf1)(函数的奇偶性函数的奇偶性1、函数奇偶性的基本概念函数奇偶性的基本概念1偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有， xfx xfxf，那么函数就叫做偶函数。0)()(xfxf xf2.奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任一个，都有， xfx xfxf，那么函数就叫做奇函数。0)()(xfxf xf注意：注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 之一是否成立。 xfxf（2）在判断与的关系时，只需验证及=是否成立即 xfxf 0xfxf)()( xfxf
2、 1可来确定函数的奇偶性。题型一题型一 判断下列函数的奇偶性。判断下列函数的奇偶性。，（2） （3）xxxf2)(xxxf3)( RxxfxfxG,(4) (5) (6) (7) ，(8)xxxfcos)(xxxfsin)(xxxf22)(提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断（1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：，xxf)(3)(xxfxxfsin)(（3）常见的奇函数有：， 2)(xxfxxf)(xxfcos)(（4）若、都是偶函数,那么在与的公共定义域上，+为 xf xg xf xg xf xg偶
3、函数，为偶函数。当时，为偶函数。 xf xg xg0)()( xgxf（5）若，都是奇函数，那么在与的公共定义域上，+是奇函 xf xg xf xg xf xg数，是奇函数，是偶函数，当0 时，是偶函数。 xf xg xgxf xg)()( xgxf（6）常函数是偶函数，0 既是偶函数又是奇函数。 为常数ccxf f x （7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数；若为偶函数, 为奇（偶）函数，则都 xgfxF xg f x xF为偶函数
4、；若为奇函数，为奇函数,则为奇函数;若为奇函数，为偶 xg xf xF xg xf函数,则为偶函数. xF题型二题型二 三次函数奇偶性的判断三次函数奇偶性的判断已知函数，证明：（1）当时，是偶函数dcxbxaxxf23)(0 ca)(xf（2）当时，是奇函数0 db)(xf提示：提示：通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型，如，当，cbxaxxf2)(0b是偶函数；当，是奇函数。)(xf0 ca)(xf题型三题型三 利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值1 函数是偶函数，定义域为，则 23f xaxbxab1 2aa ，ab312 设是定义在上的偶函
5、数，则的值域是 2( )2f xaxbx1,2a( )f x10,23 已知是奇函数，则的值为 1)(1(sin)(axxxxfa4 已知是偶函数，则的值为 1)ln(sin)(2axxxxfa提示：提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，。)()(),()(xfxfxfxf（2）因为是填空题，所以还可以用。) 1 () 1(),1 () 1(ffff（3）还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。题型四题型四 利用函数奇偶性的对称利用函数奇偶性的对称1 下列函数中为偶函数的是（ B ）A B C D2sinyxxxy 2cosyxxlnyx2xy2
6、 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 AAxexy Bxxy1 Cxxy212 D21xy3 下列函数中，为偶函数的是（ C ）A B C D1yx1yx4yxyx4 函数的图像关于（ C ）1( )f xxxA轴对称 B 直线对称 C 坐标原点对称 D 直线对称yxyxy 5 已知函数是上的奇函数，且，则=-4) 1( xfR4) 1(f)3(f6 已知函数是上的偶函数，则，则=-3)2( xfR3)3(f)7(f提示：提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，。)()(),()(xfxfxfxf(2)奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称。y(3)在原点有定义的奇函数必有
7、。0)0(f（4）已知函数是上的奇函数，则关于点对称。)(txfR)(xf)0 ,(t(5)已知是偶函数，则关于直线对称。)(txf)(xftx 题型五题型五 奇偶函数中的分段问题奇偶函数中的分段问题1 设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则( )f xR0x ( )22xf xxbb-3 ( 1)f 2 已知是奇函数，且当时，求时，的表达式。 f x0x 2f xx x0x f x2)(xxxf3 已知函数是定义在上的奇函数，当时，则=-45( )f xR0x232)(xxxf)3(f4 已知是偶函数，当时，求 f x0xxxxf2)(2)4(f245 设偶函数满足，则=( )f x)0
8、(42)(xxfx20x f x |04x xx或提示：提示：（1）已知奇函数，当，则当时，。)(xf0x)()(xgxf0x)()(xgxf（2）已知偶函数，当，则当时，。)(xf0x)()(xgxf0x)()(xgxf类型六类型六 奇函数的特殊和性质奇函数的特殊和性质1 已知函数，求的和为 42)(3 axxf)2()2(ff2 已知，且，则=0753( )6f xxbxcxdx( 3)12f (3)f 3 已知，=_-26_8)(35bxaxxxf10)2(f)2(f4 已知函数，若，则( )( )f x221 1xx x 32)(af )( af4 3提示：提示：已知满足，其中是奇函数
9、，则有。)(xftxgxf)()()(xgtafaf2)()(题型七题型七 函数奇偶性的结合性质函数奇偶性的结合性质1 设、是上的函数，且是奇函数，是偶函数，则结论正确的是( )f x( )g xR( )f x( )g x.是偶函数 .|是奇函数A( )f x( )g xB( )f x( )g x.|是奇函数 .|是奇函数C( )f x( )g xD( )f x( )g x2 设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ( )f x( )g xRA是偶函 B是奇函数)()(xgxf)()(xgxfC|是偶函数 D|是奇函数)()(xgxf)()(xgxf3 设函数( )f x与(
10、)g x的定义域是xR且1x ,( )f x是偶函数, ( )g x是奇函数,且1( )( )1f xg xx,求( )f x和( )g x的解析式, 21( )1f xx，2( )1xg xx。 提示：提示：（1）已知是奇函数，则是偶函数。)(xf)(xf（2）已知是上的函数，且也是上的偶函数和( )g x也是上的奇函数，满足)(xhR)(xfRR，则有，。)()()(xgxfxh2)()()(xhxhxg2)()()(xhxhxf题型八题型八 函数的奇偶性与单调性函数的奇偶性与单调性1 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）(0,)A B C D1yxxye21yx lgyx2
11、 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A），xR （B），xR 且 x0cos2yxxy2log（C），xR （D），xR2xxeey31yx3 设( )sinf xxx，则( )f x （ B ）A 既是奇函数又是减函数 B 既是奇函数又是增函数 C 有零点的减函数 D 没有零点的奇函数4 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为( )f x(0)，(1)0f( )()0f xfx x（ ）( 10)(01)，5 已知偶函数在单调递减，若，则的取值范围是 f x0, 20f10f xx.)3 , 1(6 已知偶函数( )f x在区间0,)单调增加，则满足(21)fx1
12、( )3f的取值范围是x)32,31(提示：提示：（1）已知是奇函数，且在上是增（减）函数，则在上也是增（减）)(xf)0 ,(), 0( 函数。（2）已知是偶函数，且在上是增（减）函数，则在上也是减（增）函数。)(xf)0 ,(), 0( （3）已知是偶函数，必有。)(xf)()()(xfxfxf题型九题型九 函数的奇偶性的综合问题函数的奇偶性的综合问题1 已知函数,当时，恒，且，又 f x, x yR)()()(yfxfyxf 0,0xfx时（1）求证：是奇函数；（2）求证：在 R 上是减函数；（3）求 112f f x)(xf在区间上的最值。最大值 1，最小值-3。)(xf2,62 设，
13、且有，求上上上上上上上上上上上上上上0R)(xf 3221222aafaaf的取值范围。a),32(练习题练习题一、判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性（1） （2） （3） 1)(2xxxf1)(2xxf ) 1 , 1(,111xxxxxf（4） （5）（5）（6）2)(2xxxfRxxf , 1)(2 , 2, 0)(xxfxexfln)(7) (8)（9），(10)，(11)xxxf3)(xxxftansin)(1)(2 xxf1)( xxf，(12) (13) ，(14)，(15)xxeexf)(xxxfsin)(xxxf2)(xxxfcos)(2，(16),(17)xxf2)()1ln()(2xxxxf21( )ln(1 |)1f xxx二、利用函数的奇偶性求参数的值二、利用函数的奇偶性求参数的值1 若函数是偶函数，求的值。0 2(1)23f xmxmxm2 若函数是奇函数，求的值。44) 1()(23cbxxaxxf5)(2ca3 函数是奇函数，定义域为，则的值是 9 xxbaxxf23) 1()(), 1(ab2)2(ba4 若1( )21xf xa是奇函数，则a 1 25 若函数为偶函数，则实数_0_.axxxf2)(a6 设函数是偶函数，则实数_-1_)()(Rxaeexxfxxa7 若函数是奇函数，则 a= .)
