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1、120142014 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文科)数学(文科)一选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1. 是虚数单位,复数( )i ii 437A. B. C. D. i1i1i2531 2517i725 7172. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为( )yx, . 1, 02, 02yyxyx yxz2A.2 B. 3 C. 4 D. 53. 已知命题( )为则总有pexxpx, 1) 1(, 0:A. B. 1) 1(, 00 00xexx使得1
2、) 1(, 00 00xexx使得C. D.1) 1(, 00 00xexx总有1) 1(, 00 00xexx总有4. 设则( ),log,log2212cbaA. B. C. D.cbacabbcaabc5. 设是首项为,公差为的等差数列,为其前 n 项和,若成等比数列, na1a1nS,421SSS则=( )1aA.2 B.-2 C. D .21 216. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦)0, 0( 12222 baby ax,102:xyl点在直线 上,则双曲线的方程为( )lA. B. C. D.120522 yx152022 yx11003 25322 yx1253
3、 100322 yx27. 如图,是圆的内接三角行,的平分线交圆于点 D,交 BC 于 E,过点 B 的圆的切ABCBAC线与 AD 的延长线交于点 F,在上述条件下,给出下列四个结论:BD 平分;CBF;.则所有正确结论的序号是( FAFDFB2DEBECEAEBFABBDAF)A. B. C. D. 8. 已知函数在曲线与直线的交点中,( )3sincos(0),.f xxxxR( )yf x1y 若相邻交点距离的最小值为,则的最小正周期为( )3( )f xA. B. C. D.22 32二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9. 某大学为了解在校本科生对参加某项
4、社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为,则应从一年级本科生中抽取 4:5:5:6名学生.10. 一个几何体的三视图如图所示(单位:) ,则该几何体的体积m为 .3m11.阅读右边的框图,运行相应的程序,输出的值为_.S12. 函数的单调递减区间是_. 3lgf xx13. 已知菱形的边长为,点,分别在边ABCD2120BADEF、上,.若,则的BCDC3BCBEDCDF1AE AE 值为_.14. 已知函数若函数恰有 4 0,220,452xxxxxxfxaxfy)(3个零
5、点,则实数的取值范围为_a3解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(15) (本小题满分 13 分)某校夏令营有 3 名男同学和 3 名女同学,其年级情况如下表:CBA,ZYX,一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)(1)用表中字母列举出所有可能的结果(2)设为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学” ,求事件发MM生的概率.16、 (本小题满分 13 分)在中,内角所对的边分别为,已知,ABCCBA,cba,bca66CBsin6sin(1)求
6、的值;Acos(2)求的值.)62cos(A17、 (本小题满分 13 分)如图,四棱锥的底面是平行四边形,PABCDABCD4,,分别是棱的中点. (1)证明平面;(2)若二面角 P-AD-B 为, 证明:平面 PBC平面 ABCD 求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.18、 (本小题满分 13 分)设椭圆的左、右焦点分别为,,右顶点为 A,上顶点为 B.已知=.(1)求椭圆的离心率;(2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点,经过点的直线与该圆相切与点 M,=.求椭圆的方程.19. (本小题满分 14 分)已知函数232( )(0),3f xxax a
7、xR5(1)求的单调区间和极值;( )f x(2)若对于任意的,都存在,使得,求的取值范1(2,)x 2(1,)x 12()()1f xf xa围20.(本小题满分14分)已知和均为给定的大于1的自然数,设集合,集合qn12 , 1 , 0qM,niMxqxqxxxxAin n, 2 , 1,1 21(1)当时,用列举法表示集合 A;3, 2nq(2)设其中,1 211 21n nn nqbqbbtqaqaasAts证明:若则., 2 , 1,niMbaii,nnba ts 6参考答案参考答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 40 分。1. A2.B3.B4.C5.
8、D6.A7.D8.C二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 30 分。9. 6010. 11. -412. 13. 214. (1,2)20 3(,0)三、解答题:15.本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识。考查运用概率只是解决简单实际问题的能力。满分 13 分。解:()从 6 名同学汇总随机选出 2 人参加只是竞赛的所有可能结果为, , , , , , , , , , , , , , , , A BA CA XA YA ZB CB XB YB Z,共 15 种。 , , , , , , , , C XC YC ZX YX
9、 ZY Z()选出的 2 人来自不同年纪且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能结果为,共 6 种。 , , , , , , , , , A YA ZB XB ZC XC Y因此,事件发生的概率M62()155P M 16.本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力,满分 13 分。解:()在中,由,及,可得,ABCsinsinbc BCsin6sinBC6bc又由,有6 6acb2ac所以,2222222646cos242 6bcacccAbcc()在中,由,可得,于是ABC6cos4A 10si
10、n4A 2315cos22cos1,sin22sincos44AAAAA 7所以,153cos 2cos2 cossin2 sin6668AAA17.本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识。考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力。满分 13 分。()证明:如图,取中点,连接,PBM,MF AM因为为中点,故且,由已FPC/MFBC1 2MFBC知有,又由于为中点,因而/,BCAD BCADEAD且,故四边形为平行四边/MFAEMFAEAMFE形,所以,又平面,而平/EFAMAM PABEF 面,所以平面PAB/EFPAB()()证明:连接,,P
11、E BE因为,而为中点,故,,PAPD BABDEAD,PEAD BEAD所以为二面角的平面角。PEBPADB在中,由,可解得,PAD5,2PAPDAD2PE 在中,由,可解得,ABD2,2BABDAD1BD 在中,由,由余弦定理,可解得,PEB2,1,60PEBEPEB3PB 从而,即,90PBEBEPB又,从而,因此平面。/,BCAD BEADBEBCBE PBC又平面,所以,平面平面BE ABCDPBC ABCD()解:连接,由()知,平面,所以为直线与平面所成BFBE PBCEFBEFPBC的角,由及已知,得为直角,而,可得3PB ABP13 22MBPB,故,又,故在直角三角形中,1
12、1 2AM 11 2EF 1BE EBF8。2 11sin11BEEFBEF所以,直线与平面所成角的正弦值为EFPBC2 11 1118.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质。考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力。满分 13 分。()解:设椭圆右焦点的坐标为,由,可得,2F( ,0)c123|2ABFF2223abc又,则222bac221 2c a所以,椭圆的离心率2 2e ()解:由()知,故椭圆的方程为222ac22bc222212xy cc设,由,有00(,)P xy1(,0), (0, )FcBc1001(
13、,),( , )FPxc yFBc c由已知,有,即,又,故有110FP FB 00()0xc cy c0c 000xyc因为点在椭圆上,故P22 00 2212xy cc由和可得,而点捕食椭圆的顶点,故,代入得2 00340xcyP04 3xc ,即点的坐标为03cy P4,3c c c设圆的圆心为,则,进而圆的半径11( ,)T x y11402233,2323ccc xc yc 22 115(0)()3rxycc9由已知,有,又,故有222 22|TFMFr2| 2 2MF 22 22258339cccc 解得23c 所以,所求椭圆的方程为22 163xy19.本小题主要考查导数的运算,
14、利用导数研究函数的性质,考查化归思想、分类讨论思想、函数思想。考查综合分析问题和解决问题的能力。满分 14 分。()解:由已知,有2( )22(0)fxxaxa令,解得或( )0fx0x 1xa当变化时,的变化情况如下表:x( ),( )fxf xx(,0)010,a1 a1,a( )fx-0+0-( )f xA0A21 3aA所以,的单调递增区间是;单调递减区间是,( )f x10,a(,0)1,a当时,有极小值,且极小值;0x ( )f x(0)0f当时,有极大值,且极大值1xa( )f x211 3faa()解:由及()知,当时,;当3(0)02ffa30,2xa( )0f x 时,3,2xa( )0f x 10设集合,集合,则“对于 ( )|(2,)Af xx1|(1,),( )0(