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1、1,第七章 粘性流体动力学基础,2,第七章 粘性流体动力学基础,71 引言72 粘性流体的运动微分方程纳维斯托克斯方程 73 两同心圆柱间的轴向流动74 两平行平板间的流动75 绕圆球的小雷诺数流动76 紊流的基本方程雷诺方程,3,第七章 粘性流体动力学基础,7-1 引言,粘性流体动力学基础,自然界中的真实流体都是具有粘性的，因此研究粘性流体的动力学问题，对于工程实际有着重要的意义。,4,7-2 粘性流体的运动微分方程 纳维斯托克斯方程,在平衡流体或运动的理想流体中，作用在流体微团上的表面力只有与表面相垂直的压应力（压强），而且压应力又具有一点上各向同性的性质。但在运动的粘性流体中，由于粘性的
2、影响，作用在流体微团上的表面力不仅有压应力 还有切应力 。而且一点上的压应力 也不在具有各向同性的性质了。如图（71）所示，因为每个微元表面上的表面力都有三个分量，故而实际流体中一点，例如图中A点上的应力可用九个元素组成的一个应力矩阵,粘性流体动力学基础,一、粘性流体中的应力,5,粘性流体动力学基础,定义：,应力张量不变量的三分之一统计平均各向各向同性压强p。,6,应力的第一个下标 表示应力作用面的法线方向；第二个下标 表示应力的方向。当 时 代表法向应力，否则代表切应力 。将它们标注在包含A点在内的三个微元表面上，则如图71所示，这里假定外界对微元这三个表面的法向应力都沿坐标的正向，切向应力
3、都沿坐标的负向。,粘性流体动力学基础,7,二、本构方程,为建立牛顿流体的本构方程，斯托克斯 提出如下假设：,（1）小变形，即应力与变形速度成线性；（2）各向同性，即应力与变形速度的关系不随坐标变换而变化；（3）当粘性系数 时，应力状态简化为理想流体的应力状态。,如前所述，当粘性流体发生相对运动时,（72）,粘性流体动力学基础,确定应力与变形速度关系的方程叫做本构方程。,定义：,8,根据流体微团运动分析可知，流体微团在xoy平面上的角变形速度为,将式（72）中 以 代之,式（73）称为广义牛顿内摩擦定律。,粘性流体动力学基础,9,在粘性流体中，与角变形速度产生切应力一样，线变形速度产生附加切应力
4、。根据牛顿内摩擦定律,（74）,粘性流体动力学基础,式（73）、（74）为本构方程。,10,粘性流体动力学基础,实际流体运动时，一点上的法向应力为,式中 为理想流体运动时的动压强。,由统计平均各向同性压强的定义，得,11,粘性流体动力学基础,从（75a）、（75b）两式中消去 ，则得,12,设图71所示流体微元的密度为 ，则微元质量为 有势的质量力为,设微元的速度为 ，则质点的加速度为,根据 ，列出微元在 x 方向上的运动方程式为,粘性流体动力学基础,三、纳维斯托克斯（NS）方程,13,整理得,将式（75c）、（73）代入，整理得,同理可得微元 y 、z 方向上运动方程式，于是有,粘性流体动力
5、学基础,14,粘性流体动力学基础,向量式为：,式（75d）是在 条件下对一切牛顿流体都普遍适用的运动微分方程式，亦称之为纳维斯托克斯方程。,15,粘性流体动力学基础,方程的物理意义：,式（75d）应用于不可压缩流体的形式为,16,（76）,这就是不可压缩粘性流体的运动微分方程，通常称为纳维斯托克斯方程式（NS方程）。,式中,粘性流体动力学基础,17,同理，在柱坐标中,（77）,式中,粘性流体动力学基础,18,在球坐标中，运动方程式,（78）,式中,粘性流体动力学基础,19,7-3 两同心圆柱间的轴向流动,如图72所示，半径为 的圆管内有一半径为 的同轴圆柱体。设圆管固定，圆柱体以匀速 运动，流
6、体沿轴向流动。,粘性流体动力学基础,20,采用柱坐标系，使 z 轴与管轴重合，由于对称性和流体沿轴 向流动，则有 。据此代入连续性微分方程式 （315）得 ，即 ，对于定常流动 ， 若不计质量力，则NS方程式（77）成为,（79）,粘性流体动力学基础,21,由式（78）中的第一式分析可知 ，考虑到 ，则第二式可改写为,或,上式左端是 r 的函数，右端是 z 的函数，要使等式成立，必 有 ，积分上式得,（710）,粘性流体动力学基础,22,利用边界条件 可得,将其代入式（710）得,这就是两同心圆柱体间的定常层流流动的速度分布规律。,（711）,粘性流体动力学基础,23,当 时，式（711）可化
7、简为,（712）,粘性流体动力学基础,例题71已知图73所示的油缸内油的相对压强 油的动力粘性系数 ，柱塞的直径 d=50mm，套筒的长度 。套筒与柱塞间隙 设以力F推着柱塞使其保持不动，试求油的漏损流量Q。,24,解 在式（711）中令 的速度分布为,（713）,则流过环形缝隙的漏损流量为,（714）,式中,粘性流体动力学基础,25,柱塞与套筒间隙中的压强梯度,将已知数据代入式（713），得,粘性流体动力学基础,26,7-4 两平行平板间的流动,如图74所示，设平板尺寸无限大，且下板固定，上板以匀速U运动，流体沿 y 方向流动。,由于流动定常， ，又因平 板在 x 方向尺度为无穷大，且流体仅
8、沿 z 方向流动， 故据此由连续微分方程式（314） 得 。若质量力 仅有重力， ，则 NS方程式（76）成为,粘性流体动力学基础,27,（715）,由式（715）中第一式分析可知，y方向的压强梯度 考虑到 ，则第二等式改写成,将上式对 z 两次积分，得,粘性流体动力学基础,28,利用边界条件 可以确定出积分常数,于是得速度分布为,（716）,粘性流体动力学基础,29,例题72试用本节所述方法求解例71。,解 将柱塞与套筒间的同心环形缝隙在平面上展开，则转化成宽度为 的平面缝隙。,则通过缝隙的漏损流量为,其中,将已知数据代入前式得 ，与按同心环形缝隙流动计算结果相同。,粘性流体动力学基础,因柱
9、塞保持不动，故知为压差流动问题，由式（716）令得速度分布为,30,7-5 绕流圆球的小雷诺数流动,在工程实际中，我们经常要研究固体微粒和液体细滴在流体中的缓慢运动，这里，圆球是经常遇到的几何形状。如炉膛空气流中的煤粉颗粒，油滴，烟道烟气中的灰尘，水蒸气中的水滴以及水中沉降的泥砂等，都可以近似看作小圆球。对这些小圆球的研究，通常根据力学上的相对运动原理，将圆球视作不动，而把圆球和流体的相对速度作为来流速度 将原来的非定常问题转化为定常问题来处理。,研究圆球绕流问题，采用球坐标系较为方便。如图89所示，取球心为坐标原点，使 为流动方向。在小雷诺数的缓慢流动（又称蠕流）情况下，有流体对球体起控制作
10、用的粘性力，惯性力与之比较要小得多，因此研究中可以略去非线性 的惯性项不计，根据定常及轴对称条件： 若不计质量力，则NS方程式（78）及连续性方程式（315a）可简化为,粘性流体动力学基础,31,（717）,考虑粘性流体绕圆球流动时球面上和无穷远处的边界条件,（718）,可得解,粘性流体动力学基础,32,利用上式可以确定圆球表面上的应力，由于圆球为轴对称，其合力必沿 z 方向，可解得,（719）,这就是小雷诺数绕圆球流动阻力的斯托克斯公式，式中d 为圆球直径。式（719）也可改写成：,（720）,式中，A为迎流面积，对圆球而言， ； 为无量纲阻力系数,（721）,式中 ，实验证明，只有当雷诺数
11、 时，上式才正确。,粘性流体动力学基础,33,粘性流体动力学基础,颗粒在流体中的等速沉降速度一般公式为：,34,7-6 紊流的基本方程雷诺方程,液体质点在运动过程中彼此互相混掺，某一空间点处的流速及压强随时间而变化，设某一空间点处的瞬时流速为 瞬时压强为 ，工程上常采用时均化的处理方法。,设紊流流动要素瞬时值 ，这里 分别为相应的时均值和脉动值。由时间平均定义可证明：,粘性流体动力学基础,紊流的基本特征：,35,对上式进行时间平均，根据时均运算法则，并且时均化后的连续性微分方程,（728),粘性流体动力学基础,下面我们利用上述时均运算法则，导出紊流时均匀运动的雷诺方程。,以x轴为例，将连续方程
12、式（3 14)各项乘以 后叠加在式（77）中第一式的右端得,36,可得,(729),粘性流体动力学基础,37,式（728）即为紊流的基本方程，它是1894年由雷诺首先提出的，故又称雷诺方程。,雷诺方程加上时均连续性微分方程共有四个方程式，而未知量却有十个，故方程组不封闭，因此仅用这四个基本方程无法求解，紊流问题还需补充新的方程式。,粘性流体动力学基础,38,第七章 习 题,粘性流体动力学基础,71 求粘性压应力和切应力 txx,tyy 和 txy ,已知流速分量为：（1）ux = 2ax , uy =2ay（2） ux = , uy =,72 试求二维固定平行壁之间不可压缩定常粘性流动（略去质量力）的下列参数：（1）速度 u 的表达式和最大流速 umax ;（2） 一段长度 L 上的压强降 的表达式；（3） 求断面平均流速 ；（4）壁面切应力 ；（5）总摩擦力 T。,39,粘性流体动力学基础,解：,40,粘性流体动力学基础,41,粘性流体动力学基础,73 接72 ，若上壁面以匀速 U 向右运动，两壁间距为 h ，分析流速。,42,本章结束,粘性流体动力学基础,
