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1、三角形的复习,博乐市第一中学 吾尔亚提.玉山江,1. 三角形的三边关系:,(1) 三角形两边的和大于第三边,2. 判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.,当a最长,且有b+ca时,就可构成三角形.,3. 确定三角形第三边的取值范围:,两边之差第三边两边之和.,(2) 三角形两边的差小于第三边,知识要点,4. 三角形的三条高线(或高线所在直线)交于一点,锐角三角形三条高线交于三角形内部一点,直角三角形三条高线交于直角顶点，,钝角三角形三条高线所在直线交于三角形 外部一点。,三角形的三条中线交于三角形内部一点。,6. 三角形的三条角平分线交于三角形内部一点。,7. 三角形的分类,锐角三角形,三
2、角形,钝角三角形,(1) 按角分,直角三角形,(2) 按边分,腰和底不等的等腰三角形,三角形,等腰三角形,等边三角形,不等边三角形,从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，_的线段叫做三角形的高线.,三角形的高线定义：,顶点和垂足之间,8. 三角形的主要线段,三角形角平分线的定义：,顶点与交点,三角形的中线定义,顶点与它对边中点,9. 三角形木架的形状不会改变,而四边形木架的形状会改变.这就是说,三角形具有稳定性,而四边形没有稳定性。,10. 三角形内角和定理,三角形的内角和等于1800,直角三角形的两个锐角互余。,11. 三角形外角和定理,三角形的外角和等于3600,三角形的一个外角等于
3、与它不相邻的两个内角的和。,12. 三角形的外角与内角的关系,三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。,13三角形的中位线,（1）连接三角形两边中点的线段叫三角形的 （2）三角形的中位线平行与三角形的第三边，并且等于,中位线。,第三边的一半,二、命题趋向分析,1.三角形三边的关系（选择、填空为主）2.三角形内角和定理、外角与内角的关系、外角和定理（选择、填空及简单的计算题为主）3.三角形的中线、高线、角平分线（选择及简单的计算）4.三角形的中位线（计算、填空、证明题为主）,(1)三角形三个内角的和等于_,三个外角和为_；一个外角等于和它不相邻的两个内角的_；一个外角大于任何一个和它不相邻
4、的_； (2)三角形的任意两边之和_第三边,任意两边之差_第三边.,1.三角形的边角关系,180,360,和,内角,大于,小于,一、基础知识回顾,解: 由三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边得:8-3a8+3, 5 a11 又第三边长为奇数, 第三条边长为 7cm、9cm。,1、已知两条线段的长分别是3cm、8cm ， 要想拼成一个三角形，且第三条线段a的 长为奇数，问第三条线段应取多少长？,知识应用,2、有两边相等的三角形一边的长是5 cm，另一边的长是8cm，求它的周长,解:当腰长为5cm时,它的周长为:5+5+8=18(cm)当腰长为8cm时,它的周长为:8+8+5=21(cm
5、) 这个三角形的周长为18cm或21cm,（2）如图,AD与BC相交于点O, B=40,D=70, C=30， 则 A= _.,60,（1）如图, ACDC ，ABD=130, 则 A = _.,40,题组练习三,(3)：已知，如图，AB=14，AC=10，AD平分BAC，CEAD于点E，M为BC边中点 求：线段ME的长,F,如果有与角平分线垂直的线段时，常把它延长与角的边相交构造等腰三角形,(4)、解题方法与技巧,例一：如图所示，AD为三角形ABC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于F，且AE=FE. 求证：BF=AC,M,倍长中线法,www.1230.org 初中数学资源网,谢谢 再见
6、,二、命题趋向分析,1.三角形三边的关系（选择、填空为主）2.三角形内角和定理、外角与内角的关系、外角和定理（选择、填空及简单的计算题为主）3.三角形的中线、高线、角平分线（选择及简单的计算）4.三角形的中位线（计算、填空、证明题为主）,1.请指出图中全等三角形的对应边和对应角,2、图中 ABD CDB, 则AB= ；AD= ；BD= ； ABD=_ ； ADB=_ ； A=_ ；,CD,CB,BD,CDB,CBD,C,AB与CD、AD与CB、BD与DB,ABD与CDB、 ADB与CBD、A与C,有公共边的，公共边是对应边. 有公共角的，公共角是对应角. 有对顶角的，对顶角是对应角. 一对最长
7、的边是对应边，一对最短的边是对应边. 一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角.,在找全等三角形的对应元素时一般有什么规律？,3、如图ABD EBC，AB=3cm,BC=5cm,求DE的长,解： ABD EBC AB=EB、BD=BC BD=DE+EB DE=BD-EB=BC-AB=5-3=2cm,知识回顾：,一般三角形 全等的条件：,1.定义（重合）法；,2.SSS；,3.SAS；,4.ASA；,5.AAS.,直角三角形 全等特有的条件：,HL.,包括直角三角形,不包括其它形状的三角形,题组练习一 (1)长度分别为10cm，12cm，22cm的三条线段是否能构成三角形。,(3)已知三角形两
8、边长分别为7和5，求第三边x的取 值范围；求第三边上的中线的取值范围。,三、典型问题练习与分析,(2)已知等腰三角形两边长分别为8cm，13cm。 求这个三角形的周长。,3.三角形的中位线,（1）连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 （2）三角形的中位线平行与三角形的第三边，并且等于第三边的一半,例1、已知如图（1），ABC DCB , 对应边:_与_,_与_,_与_, 对应角:_与_,_与_,_与_.,练习1：如图，AB=AD,CB=CD. 求证: AC 平分BAD,2、如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC ,B=C, 试问AD=AE吗？为什么？,解： AD=AE,3、如图，OBA
9、B,OCAC,垂足为B,C,OB=OC AO平分BAC吗？为什么？,答： AO平分BAC,4、如图，AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD求证：DCAB,练习5： 如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带那块去合适？为什么？,AB=ED,AC=EF,BC=DF,DC=BF,7：已知 AC=DB, 1=2. 求证: A=D,8、如图，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。,ABFDEC,CBFFEC,ABCDEF,答：,9、如图，已知E在AB上，1=2，
10、 3=4，那么AC等于AD吗？为什么？,解：AC=AD,10、已知，ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD,变式：以上条件不变，将ABC绕点C旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论还成立吗？,分析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等。至于D，因为AD和BC是对应边，因此ADBC。C符合题意。,说明：本题的解题关键是要知道中两个全等三角形中，对应顶点定在对应的位置上，易错点是容易找错对应角 。,例题精析：,连接例题,例2 如图2，AECF，ADBC，ADCB， 求证：ADFCBE,分析：已知ABC A1B1C1 ，相当于已知它们的对应边相等.在证
11、明过程中，可根据需要，选取其中一部分相等关系.,例3已知：如图3，ABCA1B1C1，AD、A1D1分别是ABC和A1B1C1的高.求证：AD=A1D1,图3,例4：求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。,分析：首先要分清题设和结论，然后按要求画出图形，根据题意写出已知求证后，再写出证明过程。,说明：文字证明题的书写格式要标准。,例5、如图6，已知：A90， AB=BD，EDBC于 D.求证：AEED,提示：找两个全等三角形，需连结BE.,图6,例6、如图：AB=AC，BD=CD，若B=28 则C= ；,如图：将纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知1+2=100，则
12、A= 度；,1.如图1：ABF CDE，B=30， BAE= DCF=20 .求EFC的度数.,练习题：,2 、如图2，已知：AD平分BAC，AB=AC，连接BD，CD，并延长相交AC、AB于F、E点则图形中有（ ）对全等三角形. A、2 B、3 C4 D、5,C,图1,图2,（800）,3、如图3，已知：ABC中，DF=FE，BD=CE，AFBC于F，则此图中全等三角形共有（ ）A、5对 B、4对 C、3对 D2对4、如图4，已知：在ABC中，AD是BC边上的高，AD=BD，DE=DC，延长BE交AC于F，求证：BF是ABC中边上的高.,提示：关键证明ADCBFC,B,5、如图5，已知：AB
13、=CD，AD=CB，O为AC任一点，过O作直线分别交AB、CD的延长线于F、E，求证：E=F.,提示：由条件易证ABCCDA 从而得知BACDCA ，即：ABCD.,知识梳理：,1：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？,2：全等三角形有哪些性质？,3：三角形全等的判定方法有哪些？,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。,（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （2）：全等三角形的周长相等、面积相等。 （3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。,SSS、SAS、ASA、AAS、HL(RT),总结提高,学习全等三角形应注意以下几个问题：,（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；,（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；,（3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；,（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”,
