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1、正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。,3. 正态分布（P44）,若A，B间真实距离为，测量值为X。X的概率密度会服从什么分布？,其中 ， 2 为实数， 0 ，则称X服从参数 为 , 2 的正态分布,记为 XN( , 2),若随机变量X 的概率密度为,正态分布的定义,(1) 单峰对称 密度曲线关于直线 x = 对称；,正态分布的特性：,-h,+h,(2) 单调与极值,x = 为 f (x) 的两个拐点的横坐标；,(3) 拐点,当x 时，f(x) 0.,f (x) 以 x 轴为渐近线,根据对密度函数的分析，可加深对正态分布的概率密度曲线图的
2、认识.,(4) 渐近线,(5) 与的取值对密度函数图像的影响越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻，,(5) 与的取值对密度函数图像的影响值的大小决定图像对称中心的位置，正态分布也称为高斯(Gauss)分布,正态分布的分布函数,正态分布由它的两个参数和唯一确定， 当和不同时，是不同的正态分布。,标准正态分布,下面我们介绍一种最重要的正态分布,标准正态分布(P45)参数0， 21的正态分布称为标准正态分布，记作 XN(0, 1),标准正态分布的密度函数和分布函数,讨论密度函数 图像的特点,密度函数表示为,分布函数表示为,标准正态分布的密度函数和分布函数,标准正态分布密度函数的性质,事实上 ,标准正态
3、分布密度函数的性质,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,定理1,三、服从正态分布随机变量的概率计算,证,Z 的分布函数为,则有,定理1,根据定理1, 就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,于是,若,若 XN(0,1),一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。(P247附录B),根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,如，若 X N（0，1）,（0.5)=,P1.32X2.43=,0.6915,0.9925-0.9066,(2.43) - (1.32)=,(1)当 x 0
4、时, (x)的值.,设随机变量 X N(0, 1) , PX-1.24=?,练习,解：PX1.76=? （2） P|X|1.76=1- (1.76)10.9608=0.0392,(2) P|X|1.55=P-1.55X1.55= (1.55)-(-1.55)= (1.55)-1-(1.55)= 2(1.55)-1=20.93941=0.8788,若随机变量 X N(0, 1) , 则,常用计算公式,(2)若 XN( , 2)，则应使用公式,设随机变量 X N(-1, 22) , P-2.4X2.4=?,练习,解：P-2.4X0,且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为0.5，则=（ ）,解：
5、二次方程无实根判别式=42-4X4又 P(X4)=0.5,x=4是正态分布的对称点,例 一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.,解: 设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,故,则YB(3 , p),其中,由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，X的取值几乎全部集中在-3,3区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,当XN(0,1)时，,P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826,P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544,P(|X| 3)=2 (3)
6、-1=0.9974,正态分布的3准则,将上述结论推广到一般的正态分布,这在统计学上称作“3 准则” .,N(0,1),当XN(,2)时，,(P47)例2-23 设 XN( , 2),求P -3 X3的值.如在质量控制中，常用标准指标值3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常.,标准正态分布的上侧分位数,设,若数 满足条件,常见上侧分位数与正态分布表的反查,设随机变量 X N(0, 1) , 若PXu0.025=0.025，求 u0.025,解：PXu0.025=1- (u0.025),(u0.025) 10.025=0.975 u0.025=1.96,解,P(
7、X h)0.01,或 P(X h) 0.99，,下面我们来求满足上式的最小的h .,看一个应用正态分布的例子:,例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01 以下来设计的.设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?,设车门高度为h cm,按设计要求,因为 XN(170,62),故 P(X0.99,因而 = 2.33,即 h=170+13.98 184,设计车门高度为 184厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01.,所以 .,这一节，我们介绍了连续型随机变量及三种重要分布.即均匀分布、指数分布、正态分布. 其中正态分布的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它
8、打交道.,后面第五章中，我们还将介绍为什么许多随机现象都近似服从正态分布 .,四、小结,2.4 随机变量函数的概率分布,问题的提出 离散型随机变量函数的概率分布 连续型随机变量函数的概率分布 小结,一、问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣.,求截面面积 A= 的分布.,比如，已知圆轴截面直径 d 的分布，,再比如 ，已知 t=t0 时刻噪声电压 V 的分布，,求功率 W=V2/R ( R 为电阻）的分布等.,一维随机变量函数的定义与实质,(P50) 设X一个随机变量，若 yg(x)是给定的一元实连续函数，则Yg(X)称为随机变量X的函数， Y也是一个随机变量。,当 X= x
9、 ，则 Y =g(x),设随机变量 X 的分布已知，Y=g (X) (设g(x) 是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,下面进行讨论.,这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.,二、离散型随机变量函数的概率分布,解：当 X 取值 1，2，5 时，Y 取对应值 5，7，13，,例1,设X的分布律为,求 Y= 2X + 3 的概率函数.,而且 X 取某值与Y 取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率.,故Y的概率函数为,一般地，若X是离散型随机变量，X 的分布律为,则 Y=g(X)的分布律为,中， （1）如果g ( x k) 有一些是相同的，应把它们及相应概率作适当合并
10、.,应当注意的是 Y=g(X)的分布律,（2）g ( x k) 的排列顺序必须为升序.,则 Y=X2 的分布律为：,例如：X的分布律为,求解Y=X2 的分布律：,2.公式法由Yg(X)，则PYg(xk)pk ， k1, 2, （其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）,1.表格法,X,Pk,Y=g(X),计算方法,1、一般方法(分布函数法)若X的密度函数为fX(x), - x + ,Y=g(X)为随机变量X的函数，则可先求Y的分布函数FY (y) PYyP g(X) y,然后再求Y的密度函数,此法也叫“ 直接变换法”,三、连续型随机变量函数的概率分布,解 设Y的分布函数为 FY(y)，,FY
11、(y)=P Y y = P (2X+8 y ),=P X = FX( ),讨论分布函数 FY(y),即y 8 时，,即8y 0 时,注意到 Y=X2 0 ，故当 y 0 时， .,解 设Y 和 X 的分布函数分别为 和 ，,若,则 Y=X2 的概率密度为：,求导可得,从上述两例中可以看到，在求P(Yy) 的过程中，关键的一步是设法从 g(X) y 中解出X, 从而得到与 g(X) y 等价的X 的不等式 .,例如，用 代替 2X+8 y ,用 代替 X2 y ,这样做是为了利用已知的X的分布，求出Y相应的概率.,这是求连续型随机变量函数的分布的一种常用方法.,关键步骤,例3 设随机变量X的概率
12、密度为,求 Y = sinX 的概率密度.,当 y 0 时,当 y 1时,故,解,注意到,解 当 0 y 1 时,例3 设随机变量 X 的概率密度为,求 Y = sinX 的概率密度.,=P(0 Xarcsiny),而,求导得:,下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度 .,其中，,x=h (y) 是 y=g (x) 的反函数 .,定理 设 X是一个取值于区间a,b，具有概率密度 fX(x)的连续型随机变量,又设y=g(x)处处可导且严格单调，则Y=g(X)是一个连续型随机变量，它的概率密度为,证：若X的概率密度为fX(x),y=g(x)关于x处处可导且是x的严格
13、单增函数,FY(y)=PYy=Pg(X)y=PXg-1(y) =FX(g-1(y) =FX(h(y),Y的概率密度为,则 当y时，Y的分布函数为,fY(y)=F (h(y)=fX(h(y) h (y),证：若X的概率密度为fX(x),y=g(x)关于x处处可导且是x的严格单减函数,FY(y)=PYy=Pg(X)y=PXg-1(y) =1-FX(g-1(y) =1-FX(h(y),Y的概率密度为,则 当y时，Y的分布函数为,fY(y)=F (h(y)=fX(h(y) h (y),若XfX(x), y=g(x)是单调可导函数，则,注： 1 只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数。 2 注意定义域的选择,其中h(y)为yg(x)的反函数.,此方法一般称为公式法：,解,结论：正态随机变量的线性变换Y=aX+b仍为正态随机变量.特别的,例 设XU(0,1),求Y=aX+b的概率密度.(a0),解: y=ax+b关于x严格单调,反函数为,故,而,故,小结,对于连续型随机变量，在求 Y= g (X) 的分布时，关键的一步是把事件 g(X) y 转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的分布来求 P g(X) y .,
