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1、八 8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点试问：(1)在这三角形的中 心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库 仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题 8-1 图示(1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q为负电荷20220)33(4130cos412aqq aq解得 qq33(2)与三角形边长无关题 8-1 图 题 8-2 图8-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两 线夹角为 2,如题 8-2 图所示设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所 带的电
2、量 解: 如题 8-2 图示220)sin2(41sincoslqFTmgTe解得 tan4sin20mglq 8-3 根据点电荷场强公式2 04rqE ，当被考察的场点距源点电荷很近(r0)时，则场强 ，这是没有物理意义的，对此应如何理解?解: 02 04rrqE 仅对点电荷成立，当0r时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求 场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会 是无限大8-4 在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和-q则这两板之间有相互作用力f，有人说f=2 024dq ,又有人说，因为f=qE,SqE0 ，所以f
3、=Sq02试问这两种说法对吗?为什么? f到底应等于多少? 解: 题中的两种说法均不对第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强SqE0 看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的正确解答应为一个板的电场为SqE02 ，另一板受它的作用力Sq Sqqf02022 ，这是两板间相互作 用的电场力8-5 一电偶极子的电矩为l qp，场点到偶极子中心 O 点的距离为r,矢量r与l 的夹角为 ,(见题 8-5 图)，且lr 试证P点的场强E在r方向上的分量rE和垂直于r的分量E分别为rE=3 02cos rp , E=3 04sin rp 证: 如题 8-5 所示，将p 分解为与
4、r平行的分量sinp和垂直于r的分量sinp lr 场点P在r方向场强分量3 02cos rpEr垂直于r方向，即方向场强分量3 004sin rpE题 8-5 图 题 8-6 图8-6 长l=15.0cm的直导线 AB 上均匀地分布着线密度=5.0x10-9Cm-1的正电荷试求：(1)在导线的延长线上与导线 B 端相距1a=5.0cm 处P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2d=5.0cm 处Q点的场强 解： 如题 8-6 图所示(1)在带电直线上取线元xd，其上电量qd在P点产生场强为2 0)(d 41dxaxEP 2220)(d 4dxaxEEllPP212140lala
5、 )4(22 0lal 用15lcm，9100 . 51mC, 5 .12acm代入得21074. 6PE1CN方向水平向右(2)同理 2 22 0dd 41dxxEQ 方向如题 8-6 图所示由于对称性 lQxE0d，即QE 只有y分量， 2 2222 22 0dd dd 41d xxxEQy 22 4dd lQyQyEE 2223 2 22)d(dll xx2 22 0d42 ll以9100 . 51cmC, 15lcm,5d2cm代入得21096.14QyQEE1CN，方向沿y轴正向 8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为,求环心处O点的场强解: 如 8-7 图在圆上取Rdd
6、l 题 8-7 图 dddRlq，它在O点产生场强大小为2 04ddRRE 方向沿半径向外则 dsin4sindd0REExdcos4)cos(dd0REEy积分RREx0002dsin40dcos400REy REEx 02 ，方向沿x轴正向 8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为q(1)求这正方形轴线上离中心为 r处的场强E；(2)证明：在lr 处，它相当于点电荷q产生的场强E解: 如 8-8 图示，正方形一条边上电荷4q在P点产生物强PEd方向如图，大小为44coscosd 2 2 021 lrEP 22cos 2 21lrl12coscos 244d 2 22 2 0lr
7、llrEPPEd在垂直于平面上的分量cosddPEE 4244d 2 22 22 2 0lrrlrlrlE 题 8-8 图由于对称性，P点场强沿OP方向，大小为2)4(44d4 2 22 2 0lrlrlrEEP lq 4 2)4(42 22 2 0lrlrqrEP方向沿OP 8-9 (1)点电荷q位于一边长为 a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一 个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面 的电通量是多少?*(3)如题 8-9(3)图所示，在点电荷q的电场中取半径为 R 的圆平面q在该平面轴线上的A点处，求：通过圆平面的电通量(xRar
8、ctan )解: (1)由高斯定理0dqSE s立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等 各面电通量06qe (2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a2的立方体，使q处于边长a2的立方体中心，则边长a2的正方形上电通量06qe对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则024qe ，如果它包含q所在顶点则0e如题 8-9(a)图所示题 8-9(3)图题 8-9(a)图 题 8-9(b)图 题 8-9(c)图(3)通过半径为R的圆平面的电通量等于通过半径为22xR 的球冠面的电通量，球冠 面积*1)(2 2222 xRxxRS )(422 00 xRSq 02q 221 xRx
9、*关于球冠面积的计算：见题 8-9(c)图 0dsin2rrS 02dsin2 r)cos1 (22r8-10 均匀带电球壳内半径 6cm，外半径 10cm，电荷体密度为 2510Cm-3求距球心 5cm，8cm ,12cm 各点的场强解: 高斯定理0dqSE s,024qrE当5rcm时，0q,0E8rcm时，q34p3(r)3 内r 2 023434rrr E内 41048. 31CN， 方向沿半径向外12rcm 时,34q3(外r）内3r 4 2 0331010. 4434 rrr E内外1CN沿半径向外.8-11 半径为1R和2R(2R1R)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量
10、和- ,试求:(1)r1R；(2) 1Rr2R；(3) r2R处各点的场强解: 高斯定理0dqSE s取同轴圆柱形高斯面，侧面积rlS2则 rlESE S2d对(1) 1Rr 0, 0Eq(2) 21RrRlq rE02沿径向向外(3) 2Rr 0q 0E题 8-12 图8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1和2，试求空间各处 场强解: 如题 8-12 图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1与2，两面间， nE)(2121 01面外， nE)(2121 02面外， nE)(2121 0n：垂直于两平面由1面指为2面 8-13 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为
11、,若在球内挖去一块半径为rR的小球体，如题 8-13 图所示试求：两球心O与O点的场强，并证明小球空腔内的电场是 均匀的 解: 将此带电体看作带正电的均匀球与带电的均匀小球的组合，见题 8-13 图 (a)(1) 球在O点产生电场010E ，球在O点产生电场d4343 0320OOr E O点电场d33 030OOrE；(2) 在O产生电场d4d343 0301OOE 球在O产生电场002E O点电场 003EOO题 8-13 图(a) 题 8-13 图(b)(3)设空腔任一点P相对O的位矢为r，相对O点位矢为r(如题 8-13(b)图)则 03rEPO ，03rEOP, 00033)(3 d
12、OOrrEEEOPPOP腔内场强是均匀的 8-14 一电偶极子由q=1.010-6C的两个异号点电荷组成，两电荷距离 d=0.2cm，把这 电偶极子放在 1.0105NC-1的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力 矩解: 电偶极子p 在外场E 中受力矩EpM qlEpEMmax代入数字4536 max100 . 2100 . 1102100 . 1MmN8-15 两点电荷1q=1.510-8C，2q=3.010-8C，相距1r=42cm，要把它们之间的距离变为2r=25cm，需作多少功?解: 2221021 2 021 44ddrrrrqq rrqqrFA)11(21rr61055. 6
13、J外力需作的功 61055. 6AAJ题 8-16 图 8-16 如题 8-16 图所示，在A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，AB间距离为 2R，现将另一正试验点电荷0q从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的 功 解: 如题 8-16 图示041 OU0)(Rq Rq041 OU)3(Rq RqRq06 RqqUUqAo CO 006)(8-17 如题 8-17 图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷,两直导线的长度和 半圆环的半径都等于R试求环中心O点处的场强和电势解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取 ddRl 则ddRq
