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1、中央民族大学数学与计算机学院,第十五讲,第五章线性微分方程组,一阶微分方程组的一般形式 一阶线性微分方程组的概念 解的存在性与唯一性关于齐次方程组(LH)的解的结构,一阶微分方程组的一般形式,含有n个未知函数的一阶微分方程组的一般形式为：,(1),一阶微分方程组的一般形式,方程组(1)在区间上的一个解，是这样的一组函数，它使得在区间上有下列恒等式成立,含有n个任意常数,的解：,一阶微分方程组的一般形式,称为(1)的通解. 如果通解满足如下方程组:,一阶微分方程组的一般形式,则称此方程组为(1)的通积分（或隐式通解）.,一阶微分方程组的一般形式,为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程
2、组(1).令n维向量函数,一阶微分方程组的一般形式,并定义：,相关定义：即，称一矩阵（包括作为特殊矩阵的向量）函数的导数（或积分，或极限）是指这样一个矩阵函数，它的各个元素是原矩阵的相应元素的导数（或积分，或极限）；称一矩阵（包括作为特殊矩阵的向量）函数序列是收敛（或在区间上一致收敛）的，指的是它的相应元素做成的函数序列是收敛（或在区间上一致收敛）的.,一阶微分方程组的一般形式,这样，则(1)可记成向量形式：,初始条件可记为：,初值问题可记为：,一阶微分方程组的一般形式,补充：向量Y和矩阵A的范数或模,对于向量Y和矩阵A：,我们定义：,称 和 分别为向量Y和矩阵A的范数或模.,一阶线性微分方程
3、组,本章我们研究一类具有特殊结构的方程，称为线性方程. 这类方程，虽然结构简单，但一般不能用初等积分法求得它的通解表达式. 然而，人们却可以直接根据方程的特点，从理论上推断它的通解结构. 如果在一阶微分方程组(1)中，函数 关于 是线性的，即(1)可以写成如下形式：,则称(2)为一阶线性微分方程组.总假设(2)的系数和 连续。,(2),一阶线性微分方程组,一阶线性微分方程组,为了方便，可把(2)写成向量和矩阵形式.为此记：,(2)就可以简记为：,（NH）,一阶线性微分方程组,如果在I上，,方程组(NH)变成,（LH）,我们把（LH）称为线性齐次方程组. 而当非齐次项,（NH）称为非齐次线性齐次
4、方程组.如果(LH)与 (NH)中A(x)相同，则称(LH)为(NH)的对应的齐次 方程组.,不都恒为零时，,解的存在性与唯一性,对于一个不能用初等积分法求解的微分方程，首要问题是，它是否有解？更明确地说，是否存在满足初始条件的解？进而还要问：满足初始条件的解是否唯一？这些问题得不到满意的回答，就很难再谈关于这一方程的其他问题的研究.,解的存在性与唯一性,定理5.1 如果(NH)中的 A(x),F(x)在区间I上连续，则对于任一 以及任意给定的n维 ,向量方程组(NH)的满足初始条件的解在区间I上存在且唯一. 证明分4步完成：1、把初值问题(NH)，化成下述等价的积分方程组：,（3）,解的存在
5、性与唯一性,2、用逐步逼近法构造皮卡向量序列，即函数向量序列：3、证明函数向量序列 于区间I内部一致收敛（即于区间I的任意有限闭子区间上一致收敛），且其极限向量函数是积分方程组（3）在区间I上的连续解向量.,解的存在性与唯一性,3、事实上，由数列与级数的关系可知，只须证明无穷向量级数于区间上一致收敛.,解的存在性与唯一性,用数学归纳法容易证明，对任意自然数m, 有,解的存在性与唯一性,4、最后证明唯一性，即证明：如果 上也是（3）连续解向量，则在区间I必有,。注：,把它代入右端,重复m次,(这种方法叫做迭代法),解的存在性与唯一性,注1、方程组（NH）的任何解向量都能延拓到整个区间上.注2、皮
6、卡迭代序列提供了近似求（NH）的初值问题的方法.,本节要点：,1一阶微分方程组解的存在唯一性定理及解的几何意义。2一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理及其特征：系数和非齐次项连续区间上整体存在。,关于方程组(LH)的解的结构,m个向量函数在区间I上线性相关(无关)。是m个定义在区间I上的n维向量函数.如果存在m个不全为零的常数 ，使得在区间上恒成立，则称这m个向量函数在区间I上线性相关；否则称它们在区间I上线性无关.,例1 向量函数,在任何区间(a, b)上是线性相关的.事实上取,有,关于方程组(LH)的解的结构,例2 向量函数,上线性无关.,在,关于方程组(LH)的解的结构,关于方程组(LH
7、)的解的结构,事实上，要使得,有,关于方程组(LH)的解的结构,区间I上列向量组线性相关与线性无关的判别准则，我们考察由这些列向量所组成的行列式,通常把它称为向量组的朗斯基(Wronski)行列式.,关于方程组(LH)的解的结构,定理5.3 如果向量组在区间I上线性相关，则它们的朗 斯基行列式 在上恒等于零. 注、对于一般的向量函数组,定理5.3的逆定理未必成立.例如向量函数,的朗斯基行列式恒等于零，但它们却是线性无关的.,关于方程组(LH)的解的结构,定理5.4 如果是 齐次线性方程组(LH)的n个线性无关解，则它的朗斯基行列式W(x)在上恒不为零，即,推论5.1 如果向量组的朗斯基行列式W
8、(x)在区间I上的某一点 处不等于零，即 ,则向量组在I上线性无关. 推论5.3 齐次线性方程组(LH)的n个解在其定义区间I上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式W(x)在上任一点不为零.,齐次微分方程组（LH）通解的结构,定理5.5 齐次线性方程组(LH) 在区间I上必存在 基本解组.,证明提示：取特殊的初始条件,(5.3.3),关于方程组(LH)的解的结构,由于它们所构成的朗斯基行列式,因而，由推论知 是（LH）在区 间上的基本解组.,关于方程组(LH)的解的结构,满足初始条件(5.3.3)的基本解组称为齐次线性方程组(LH)的标准基本解组.下面我们就可以给出齐 次线性方程组(LH)的
9、基本定理了.定理5.6（基本定理） 如果 是齐次线性方程组(LH) 在区间上的基本解组，则其线性组合是齐次线性方程组(LH)的通解,其中 为n个任意常数 。,关于方程组(LH)的解的结构,推论5.4 齐次线性方程组(LH)的线性无关解的个数 不能多于n个. 即，一阶线性齐次微分方程组(LH)的解的全体构成一 个n维线性空间.定理5.7 如果 是齐次线性方程组 (LH) 在区间 I上的n个解，则这 n个解的朗斯基行列式 与齐次线性方程组(LH)的系数有如下关系式这个关系式称为刘维尔(Liouville)公式.,本讲要点：,一阶线性齐次微分方程组的所有解构成一个线性空间 向量函数组和解组相关性判定 向量函数组、向量解组 线性相关 线性相关 线性无关 线性无关 齐次线性方程组通解基本定理5.6解空间是n维线性空间 刘维尔公式(5.3.6)解与系数关系,
