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1、1k0 22m m 1ma mb k 0 a b第34 届全国中学生物理竞赛决赛试题与参考解答 一 、 （35 分） 如图，质量分别为ma 、mb 的小球a 、b 放置在光滑绝缘水平面上，两球之间用一原长为l0 、劲度系数为k0 的绝缘轻弹簧连接。（1） t 0 时，弹簧处于原长，小球 a 有一沿两球连线向右的初速度v0 ，小球b 静止。若运动过程中弹簧始终处于弹性形变范围内，求两球在任一时刻t(t 0) 的速度。（2）若让两小球带等量同号电荷，系统平衡时弹簧长度为 L0 ，记静电力常量为 K 。求小球所带电荷量和两球与弹簧构成的系统做微振动的频率（极化电荷的影响可忽略） 。参考解答：（1）如
2、图， t 时刻弹簧的伸长量为u l l0有 d 2u dt2 式中 k0uma mbma mb为两小球的约化质量。由式知，弹簧的伸长量u 服从简谐振动的动力学方程，振动频率为f 2最后一步利用了式。t 时刻弹簧的伸长量u 的表达式为u Asin t B cost 式中 A 、B 为待定常量。t 0 时，弹簧处于原长，即 u(0) B 0将 B 0 代入式得a 相对于b 的速度为u Asin tv dra drb du A costadtdtdtt 0 时有k0 (L l )K00L va (0) v0 0 A 由式得va v0 cost 系统在运动过程中动量守恒小球 a 相对于地面的速度为ma
3、 v0 ma va mbvbva va vb 由式可得， t 时刻小球 a 和小球b 的速度分别为m(m m )k mv 1 b cos aab 0 t avmm m m m0aa b (m m )k abmv 1 cos bab 0 t a vm m m m0a b ab（2）若两球带等量同号电荷，电荷量为 q ，系统平衡时有q2K 2k0 (L0l0 )0由式得设t 时刻弹簧的长度为 L （见图 II） ，有q L0d 2 Lq2 dt2 k0 (L l0 ) K L2图 II令 x L L0 为t 时刻弹簧相对平衡时弹簧长度 L0 的伸长量，式可改写为d 2 xq2 x 2 dt2 k0
4、 x k0 (L0 l0 ) K L2 1 L 系统做微振动时有0 0 x因而x 2x x 2 1 L 1 2L O L 0 00 L01 23L 2l000 L 0k1 3L 2l m m 2 00 ab k 0 a bLm m0 L30L0利用上式，式可写为d 2 xq2 q2 x 2 dt2 k0 (L0 l0 ) K L2 k0 2K L3 x O L x 2 0 0 0 略去O L ，并利用或式，式可写为 0 d 2 xq2 3L 2l k 2K x 00 k x0dt20由式知， 3L0 2l0 0 ，系统的微振动服从简谐振动的动力学方程，振动频率为f 最后一步利用了式。评分参考：
5、第（1）问 24 分，式各 2 分；第（2）问 11 分，式各 2分，式 1 分，式各 2 分。二 、 （35 分）双星系统是一类重要的天文观测对象。假设某两星体均可视为质点，其质量分别为 M 和m ，一起围绕它们的质心做圆周运动，构成一双星系统，观测到该系统的转动周期为T0 。在某一时刻，M 星突然发生爆炸而失去质量M 。假设爆炸是瞬时的、相对于 M 星是各向同性的，因而爆炸后 M 星的残余体 M (M M M ) 星的瞬间速度与爆炸前瞬间 M 星的速度相同，且爆炸过程和抛射物质M 都对m 星没有影响。已知引力常量为G ，不考虑相对论效应。（1）求爆炸前 M 星和m 星之间的距离r0 ；（2
6、）若爆炸后 M 星和m 星仍然做周期运动，求该运动的周期T1 ；（3）若爆炸后 M 星和m 星最终能永远分开，求 M 、m 和M 三者应满足的条件。参考解答：（1）两体系统的相对运动相当于质量为 Mm M m的质点在固定力场中的运动，其运动方程是 2GM0rv2 GM1 0 G2M 2 2GM0r v2 r2v200 0 222 2Mm r GMm r其中 r 是两星体间的相对位矢。式可化为M mr3r G(M m) rr3由式可知，双星系统的相对运动可视为质点在质量为 M m 的固定等效引力源的引力场中的运动。爆炸前为圆周运动，其运动方程是G(M m) 2 2r2 T r0由式解得0 0 G
7、(M m)T 2 1/3 r 0 0 （2）爆炸前， m 星相对于 M 星的速度大小是42v 2r0 2 G(M m)T 2 1/30 2G(M m) 1/3 0TT42T00 0方向与两星体连线垂直。爆炸后，等效引力源的质量变为M M m M m M相对运动轨道从圆变成了椭圆、抛物线或双曲线。由爆炸刚刚完成时（取为初始时刻）两星体的位置和运动状态可知，两星体初始距离为r0 ，初始相对速度的大小为v0 ，其方向与两星体连线垂直，所以初始位置必定是椭圆、抛物线或双曲线的顶点。对于椭圆轨道，它是长轴的一个端点。设椭圆轨道长轴的另一个端点与等效引力源的距离为 r1 ，在 r1 处的速度（最小速度）为
8、vmin （理由见式） ，由角动量守恒和机械能守恒得r1v1 r0v0和v2GMv2GM1 0 2r12r0由式得 r1 满足方程 2GMvr 2GM r r v 0由式解得 r00 110 0 r1 a3 GMG(M m) r02rr v20(GM r v2 GM) 0 0r2GM r v20 02GM r v2 0 0 00 0另一解r0 可在式右端根号前取减号得到。由式可知r1 r0利用方程和韦达定理（或由式） ，椭圆的半长轴是r rGM G(M m)T 2 1/3M m M a 01 22GMr v2 r0 0 4M m 2M要使运行轨道为椭圆，应有由式得0 00 a 据开普勒第三定律
9、得M m 2M 0T1 2将式代入式得解法（二）爆炸前，设 M 星与m 星之间的相对运动的速度为v相对0 ，有v相对0 爆炸后瞬间， m 星的速度没有改变， M M 星与爆炸前的速度相等，设 M M 星与m 星之间的相对运动的速度为v相对 ，有v相对 v相对0爆炸后质心系的总动能为E 1 (M M )m v2质心系总能量为k2 M m M 相对E E G(M M )mr0对于椭圆轨道运动有E G(M M )m2 A式中T1 (M m)(M m M )2 (M m 2M )3T0k0 G(M m)r30 G(M m M )A3由开普勒第三定律有A M m M rM m 2M 0T0 2由式有T1
10、 2有 (M m)(M m M )2 1/ 2T1 (M m 2M )3T0 （3）根据式，当M (M m)/2 的时候，式不再成立，轨道不再是椭圆。所以若 M 星和m 星最终能永远分开，须满足 M (M m)/2由题意知联立式知，还须满足式即为所求的条件。M MM m评分参考：第（1）问 8 分，式各 2 分；第（2）问 23 分，式各 2 分，式 1 分，式各 2 分；解法（二）式各 2分；式各 3 分；式 2 分，式 3 分，式 2 分，式 3 分；第（3）问 4 分，式各 2 分。三 、 （35 分） 熟练的荡秋千的人能够通过在秋千板上适时站起和蹲下使秋千越荡越高。一质量为m 的人荡一
11、架底板和摆杆均为刚性的秋千，底板和摆杆的质量均可忽略，假定人的质量集中在其质心。人在秋千上每次完全站起时起质心距悬点O 的距离为l ，完全蹲下时此距离变为l d 。实际上，人在秋千上站起和蹲下过程都是在一段时间内完成的。作为一个简单的模型，假设人在第一个最高点 A 点从完全站立的姿势迅速完全下蹲，然后荡至最低点 B ，A 与 B 的高度差为h1 ；随后他在 B 点迅速完全站起（且最终径向速度为零） ，继而随秋千荡至第二个最高点C ，这一过程中该人质心运动的轨迹如图所示。此后人以同样的方式回荡，重复前述过程，荡向第 3、4 等最高点。假设人站起和蹲下的过程中，人与秋千的相互作用力始终与摆杆平行。
12、以最低点 B 为重力势能零点。（ 1 ） 假 定 在 始 终 完 全 蹲 下 和 始 终 完 全 站 立 过 程 中 没 有 机 械 能 损 失 ， 求 该 人 质 心 在A A B B C 各个阶段的机械能及其变化；（2） 假定在始终完全蹲下和始终完全站立过程中的机械能损失E 与过程前后高度差的绝对值h 的关 系分别为E k1mg(h0 h) ，0 k1 1，始终完全蹲下E k2 mg(h0 h) ，0 k2 1 ，始终完全站立这里， k1 、k2 、h0 和h0 是常量， g 是重力加速度的大小。求（i）相对于 B 点，第 n 个最高点的高度hn 与第n 1 个最高点的高度hn1 之间的关
13、系；（ii）hn 与h1 之间的关系式和hn1 hn 与h1 之间的关系式。参考解答：（1）假定在始终完全蹲下和始终完全站立过程中没有机械能损失。将人和秋千作为一个系统。人在 A 处位于完全站立状态，此时系统的机械能为U A K A VA 0 mgl(1 cos A ) d mgh1 式中，K A 0 和VA mgh1 分别是人在 A 处时系统的动能和重力势能， A 是秋千与竖直方向的夹角（以下使用类似记号）如图所示。 人在 A 处完全下蹲，在 A A过程中系统重力势能减少，（因受到摆底板的限制）动能仍然为零。人在 A 处时系统的机械能为 U A K A VA 0 mg(d l)(1 cos A ) mg l d (h d ) l1人在 B 仍处位于完全下蹲状态，在 A B 过程中系统机械能守恒
