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1、第四章 根轨迹法,4-1 根轨迹法的基本概念 4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 4-3 参数根轨迹和多回路系统的根轨迹 4-4 正反馈回路和零度根轨迹 4-5 利用根轨迹分析系统的暂态响应 4-6 迟后系统的根轨迹 4-7 利用数字计算机求取系统的根轨迹,. 4-0 .,根轨迹法,闭环控制系统的全部性质由闭环极点描述，所以确定闭环极点在s平面上的位置尤为重要。设计控制系统时，我们总是希望通过调节系统参数，使闭环极点位于s平面适当的位置上。闭环极点即特征方程的根。欲求这些根，必须将特征多项式分解成因式，当特征多项式在三阶以上时，求取特征根就变的比较复杂，而当开环增益K变化时，分解多项式因子
2、就更难。为此，本章介绍的根轨迹法，即图解法可以方便地表示出特征方程的根与系统某一参数的全部关系。根轨迹法的基础是系统的传递函数，所以此法仅适用于线性系统。,研究背景，即与前面章节的关系：,. 4-1 .,4-1 根轨迹法的基本概念,根 - 系统闭环特征根.,求法：解析法：解系统微分方程 作图法：根据系统的开环零、极点，画出系统闭环根在S平面上随某参数变化的轨迹- 根轨迹,作用：判别系统稳定性、分析暂态性能,作图法优点：避免高阶系统求根困难；参数的影响一目了然,根轨迹法 - 利用图解法求系统的根轨迹并用于系统的分析与综合,根 轨 迹 法,例：已知单位反馈系统开环传递函数，求K1从0变化时，系统闭
3、 环根轨迹,当K1从0到无穷变化时，两根在根平面上的轨迹是两条连 续曲线 - 系统闭环根轨迹,解：系统闭环特征方程为：(s)=S2+8S+K1=0特征根为： S1,S2= - 4 ,根轨迹如下：,根 轨 迹 法,实 根-16，根轨迹进入复平面。即：此时系统阶跃响应会振荡（d不为零） ； K1越大振荡越厉害（小）、振荡频率越高（d大）,3、K1=16 时系统阶跃响应临界振荡,根 轨 迹 法,根轨迹提供的信息：,根轨迹可以提供有关系统性能的信息,. 4-3 .,闭环特征根的位置,根轨迹的暂态响应信息,当K1已知，还可以通过根轨迹确定此时系统闭环特征根的位置,在根平面上可以画出等 线、等 tr 线、
4、等 ts 线,用于分析轨迹的暂态响应,根轨迹法校正,零极点配置,根 轨 迹 法,根轨迹还可以进行系统性能的定量计算以及提供直观设计界面,. 4-4 .,4-1,一、 绘制根轨迹的基本条件,4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则,系统闭环特征方程为：,由于S是复数，所以(s)也是复数；上式两边的幅值和幅角应分别相等；从而，得到绘制根轨迹的两个基本条件：幅值条件和幅角条件,根 轨 迹 法,. 4-5 .,幅值条件,幅角条件,幅角应满足：,左例：幅值应满足：,绘制根轨迹的两个基本条件 :：幅值条件和幅角条件,根 轨 迹 法,. 4-6 .,规则二 根轨迹起始于开环极点，终止在开环零点,规则一 根轨迹
5、连续且对称于实轴,因为K1连续变化；系数为实数，有复根必共轭,根据绘制根轨迹的两个基本条件， 演绎出八条绘制根轨迹的基本规则；根据这些规则绘制根轨迹不必计算特征根而只要做简单的计算和判断。,以 K1 为参变量的根轨迹： 是K1 从0(起点)到(终点)变化时 系统闭环极点在根平面上的轨迹 起点和终点确定方法如下页：,二、 绘制根轨迹的基本规则,根 轨 迹 法,. 4-7 .,K1从0变化，根轨迹起点在K1=0处,根轨迹终点在K1= 处,根轨迹起始于开环极点 Pi,根轨迹终止在开环零点 Zj,根 轨 迹 法,. 4-8 .,不妨假设极点p1,p2,pm;分别终止在z1,z2,zm,n条轨迹从开环极
6、点出发，只能有m条终止在开环零点, nm, 另外 n-m 条应终止何处？,余下n-m条根轨迹将终止在无穷远处,那麽，余下n-m个极点只能是S,即：终止在无穷远处,例如，上一节的二阶系统例子,根 轨 迹 法,. 4-9 .,规则三 实轴上的根轨迹,例如，某系统开环零极点分布如图。现在要判断实轴上的某点Sa是不是根轨迹上的点,由幅角条件很容易得到实轴上的根轨迹：,各开环零、极点的幅角：,实轴上试验点右边的零、极点其幅角为180,幅角为零的零、极点在实轴上试验点左边,根 轨 迹 法,共轭零、极点的幅角其和为零,观察左边等式有如下结论：,要判断实轴上的 某点Sa是不是根轨迹上的点，只要计算一下它右边的
7、实轴上零极点的幅角和是否符合幅角条件,实轴上的某一点如果在根轨迹上，那麽，在它右边的零、极点总数 应为奇数个。,根 轨 迹 法, 规则三,设实轴上试验点右边有 M个零、N个极点，根据幅角条件则有：,M*180O - N* 180O = -(2K+1)180O,得 (M+ N)* 180O = -2(K+N)+1*180O,两边同时加上 2N* 180O,得 M+ N= 2q+1 即M+ N为奇数,由此可知，上图 中，实轴上的根 轨迹如右图,. 4-11 .,规则四 无穷远处根轨迹渐进线与实轴的夹角计算公式 规则五 无穷远处根轨迹渐进线与实轴的交点计算公式,证：,根 轨 迹 法,当nm 时, 有
8、n-m条根轨迹是趋向无穷远, 在无穷远处,根轨迹趋向一条直线,该直线 由它和实轴的夹角和交点确定,由幅角条件：,由于根Sa在无穷远处，所以，它到有限的零、极点的矢量相互平行，也就是说：各个矢量与实轴的夹角都是相等的，设为,则有,. 4-12 .,渐进线与实轴的交点：,记为：,又由于，在无穷远处：,分子除分母得：,多项式展开，得：,对比两式系数得：,. 4-13 .,根 轨 迹 法,. 4-14 .,例4-2：已知,试绘制根轨迹,规则三 实轴上的根轨迹,规则二 根轨迹起始于开环极点,规则四、五 渐进线与实轴的夹角、交点,p1= 0, p2 = 1, p3 = 2,01 , 2,解：根据规则,60
9、o,-60o,-180o,K1,K1,K1,三条渐进线如图,4-15,规则六 根轨迹的会合点与分离点,闭环特征根 S 随 K1 变化而改变，在 某个K1下根轨迹可能相交(相交处称会合或分离点) ，作为系统特征方程的解，在该处有重根， 因此，问题转换为求特征根的重根。,例：上例中用上式求分离点：,由规则三可知，-1.577处没有根轨迹，故舍去， 所以，分离点是 - 0.423,代入得：,根 轨 迹 法,或者，将-1.577代入F(s)=0, 可求出K1= - 0.385, 显然不合题意，舍去,4-16,综合例：,求以K1为参变量的系统根轨迹。,解：原式化为零极点形式,1、根轨迹起点：0 ， -2
10、.73 ， -1 j,2、实轴上根轨迹：0 -2.73,由特征方程为：,4、分离点：,求出重根为： S1、2 = - 2.07,分离点,-2.07,根 轨 迹 法,3、渐进线：,手算可用试探法，由上图，分离点在 -1.18 和 -2.73之间找；若求出的重根点在实轴上但不符合“实轴上根轨迹”的判断规则就要舍去,-1.18,复数极点附近根轨迹形态怎样？,在复数极点附近取一个试验点Sa，各零、极点到试验点Sa的矢量幅角和应满足幅角条件，当Sa点无限趋近该复数极点时，可求出根轨迹从该点出射方向。,上例中，为求根轨迹从P3点处的出射角， 在其附近找一个 实验点Sa，并认为该点在根轨迹上，则，它应满足幅
11、角条件：,4-17,根 轨 迹 法,规则七 根轨迹的出（入）射角,如果Sa无限靠近 P3,根轨迹的出（入）射角用下式求得:,根 轨 迹 法,75,-75,-2.07,-1.18,4-18,根 轨 迹 法,4-19,规则八 根轨迹与虚轴的交点,上例中当 K1 增大到某值后，根轨迹将进入根平面的右半面,在它与虚轴相交处，特征根是一对虚根 S= jn,因此，可以采用两种方法来求：,第一种方法，采用Roth判据,第二种方法，用S= j代入特征方程，令实部为零， 求出 K1 代入虚部得,根据上述规则已经可以画出大致的系统闭环根轨迹, 为更准确些还可以确定其特殊点的位置:根轨迹与虚轴的交点,4-20,在上
12、例中，采用第一种方法 其特征方程为：,ROTH阵列：,令： 5.46 - 0.75 k1 = 0得 k1 =7.27,由第三行组成方程：6.3S2+k1= 0得 S1、2 = j1.07,根据八条规则完成系统根轨迹如右,根 轨 迹 法,75,-75,-2.07,-1.18,画出根轨迹以后，可以确定根轨迹上 某个点处 k1的大小；还可以根据性能要求确定系统闭环极点的位置。,根据绘制根轨迹的幅值条件：,根 轨 迹 法,例如：确定k1的大小,将已知点到各零极点的距离按上式计算。,用根轨迹分析系统见后续章节。,4-21,4-3,（一） 参数根轨迹,4-22,例：,求以参数a为变量的根轨迹。,给定一个K
13、1值，就可以求以参数a为变量的根轨迹。,前面讨论了以K1为参变量的根轨迹的绘制， 也就是根轨迹是描述系统的每一个闭环特征根随参数K1从0变化的变化情况；实际上，根轨迹法还可 以绘制闭环 特征根随系统中某参数变化的轨迹 参数根轨迹,根 轨 迹 法,4-3 参数根轨迹和多回路系统的根轨迹,给定不同的K1值，就可以得到一簇以参数a为变量的根轨迹。,（二）多回路系统的根轨迹,方法同上，求出系统的闭环特征方程，重新组合成标准形式。,4-4 正反馈回路和零度根轨迹（略）,方法同上，不同的是幅角条件，就差一个符号。,根 轨 迹 法,4-23,4-5-1 系统性能的定量估算及定性分析,分析高阶系统的性能时往往
14、比较麻烦，所以经常利 用闭环主导极点的概念 ，也就是说求得的闭环零、极点 如果构成偶极子或非主导极点，就忽它们的存在，这样 系统的阶次必然下降。如果消去偶极子中的极点在s左 面，又不十分接近虚轴，在系统设计中可以消去这些极 点。如果消去的极点位于s右半平面，或虽在s左半平面 但却十分靠近虚轴，则不能简单消去，因为前者使系统 不稳定，后者使系统产生剧烈振荡。,系统闭环极点如果全部处在S平面的左半面，则系统稳定（绝对稳定）,根 轨 迹 法,4-5-2 利用根轨迹分析系统的暂态响应,利用根轨迹，可以确定给定参数下系统闭环极点在根平面上的位置，结合闭环零点来分析系统的暂态响应,设某高阶系统有一对共轭闭
15、环极点 Si = -zwnjwd 它对应的阶跃响应分量为：,各参数之间关系如图。,如果：Re(Si )= -zwn0,当t 时 该极点对应的阶跃响应分量将趋于零。,4-24,4-5-2 利用根轨迹分析系统的暂态响应,根 轨 迹 法,4-25,极点在虚轴上（临界状态），其实 部为零，阶跃响应分量呈等幅振荡,极点离实轴越远，wd越大，振荡频率越大,极点在负实轴上，wd=0,该极点对应的阶跃响应分量不会振荡（单调）,极点离实轴越远， wd 越大，振荡频率越大,极点离虚轴越远，|-zwn|越大，衰减越快，反之，极点离虚轴近，|-zwn|小，阶跃响应中该分量衰减就慢，对过渡过程的时间影响大。,极点在左半平面但不在负实轴上，wd0,该极点对应的阶跃响应分量会振荡, 因为 -zwn0,振荡幅值随时间衰减,当t 时该分量将趋于零,根 轨 迹 法,根平面上的等值线,根据二阶系统的性能指标公式,在根平面上可以画出一些等值线,如果不同的二阶系统,它们的极点具有相同的实部,它们的阶跃响应有相同的过渡过程时间,如图：Cosb= z 极点在该线上，其响应有相同的超调量,
