《第三章 极小值原理及应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章 极小值原理及应用（96页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 极小值原理及应用,经典变分法缺陷：,1、应用前提：a 、控制量 u(t)的取值不受任何限制，没有任何不等式约束。,b 、 f、L、,等函数对其自变量有充分可微性。,2、实际控制要求：,a 、控制量u受不等式约束，如：,，i=1,2,3,b 、性能指标有时并不完全可微,如：燃料最优控制：,若采用经典变分：,若采用经典变分法：,不再适用，求不出解来,实际应为,极小值原理,若在容许控制范围内，J或H有极值且唯一，用极小值 原理与经典变分法，所得,结论一致。,一、极小值原理：时变系统,时变受控系统,，其中控制向量,，,为容许控制,域， U(t)是在,内取值的任何分段连续函数，为使状态向量由初始
2、,转移到末端,，,满足约束：,，,未定，,并使性能指标达,到极小值。,设,和,是如上J为最小的最优解，,为最优状态轨,为0的n维向量,，满足:,1、规范方程：,2、边界条件：,线，则必存在不,3、与,对应的哈密顿函数H取极小值。,即:设,为满足,状态方程和协状态方程的最优解。,在 中。把H仅看作U的函数，若J为最小，必要条,使得,仅看作U的函数时也取最小值。,极小值原理的证明：应用数学基础较多，有些书中用很大篇幅进行,二、极小值原理的意义：,1 、容许控制条件放宽,变分法：在整个控制域，对U没有约束,有时 计算不易。,极小值原理：H在U的约束闭集中取极小值。,变分法仅为极小值原理的一个特例。,
3、件为,证明，省略。,且即使U不受限制，,2、最优控制,使哈密顿函数H取极小值，极小值原理由此得名。,这一原理是苏联学者,“庞特里亚金”等人首先提出，而后加以证明得。,在证明过程中：,与H得符号与这里所定义的相反。,所以有的文献中也称为“极大值原理”。,3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。,4、 极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。,即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。,一般:对于实际系统 有最优解 有唯一解 最优解,三、几种边界条件得讨论：,上面所讨论的是,和,已知。,受约束，,自由的最一般,情况。若,和末端状态不同，只需改变极小值原理的边界条件即可。,1）,已知，
4、,边界条件为：,2),给定，,自由，,未给定，,边界条件：,确定,3),已知，,给定,末端受约束,边界条件为:,若,自由:外加:,四、例题分析 :设一阶系统状态方程：,x(0)=5,控制约束:,试求使性能指标:,为极小值的最优控制 及最优性能指标,解:定常系统,固定,末端自由问题,根据极小值原理,使H绝对极小相当于使J为极小,所以,由协状态方程:,由横截条件:,显然:当,时，,产生切换,所以,由x(0)=5代入,得,所以,令t=0.307可得0.307t1时x(t)的初始条件:,解得,所以,将,代入J可得:,例2:,求,a)对U没有约束b) |u|,解:a),0,解得:,b) |u|,由极小值
5、原理:,当t=1时,在0,1区间,所以,五、极小值原理中哈密顿函数H的性质讨论,用途：对于所求解的最优控制的验证，或帮助求解最优控制及,1、线性定常系统：,固定，,包括,(与末端状态无关),则:,常数 。,H中不显函t,自由，,沿最优控制轨线：,（与末端状态无关）,因为,中不显函t所以,常数,又因为,自由,2、对于时变系统：,固定:,自由:,，末端,若末端自由:,证明：见胡寿松P91页,第四节最小值原理在实际中的应用,几个典型例子： 1.时间最优控制问题 2.最小燃料消耗问题 3.最小能量控制问题 4.线性调节问题,介绍重点： 时间最优控制问题（其他求解思想与此类似）,一、时间最优控制问题,所
6、谓时间最优控制，就是把系统从初始状态转移到目标状态的时间作为性能指标，即使转移时间为最短。这也是发展得最早的最优控制问题之一。,1、问题提出（时变系统）已知受控系统 并设 f 和 B对X(t)和t 连续可微。,X：n1 状态向量u： r1 控制向量f ：n1 函数向量B：nr 函数值矩阵,控制向量约束条件:,末端状态： g：p 1维函数向量,目标函数： : 自由,问题：寻求最优控制u*(t)，使系统由初态到终态，目标函数J 为最小,应用最小值原理进行问题的求解,步骤： 列写哈密顿函数,由控制方程求u*(t),u有约束， H在u*上取得极小值，即：令 q:r 1维向量函数注： ,则有： j =1
7、，2r 最优控制u*(t)是使 为极小，则：,不定,可见：当 时， 有确定值，正常情况当 时， 不定， 奇异情况,t,+1,-1,u*(t),奇异,我们仅研究正常情况 u*(t)写成符号函数sgn 形式 则 j =1，2r 向量形式：u*(t)=-sgnq*(t)=-sgn ,根据规范方程：,及初始条件和横截条件：,可求得x*(t)及,求最优控制u*(t),砰一砰控制,2、砰一砰控制定理：要求控制量始终为最大或最小设u*(t)是上述问题提出的解，x*(t), 是相应的状态轨线和协状态轨线。若问题正常(非奇异)，则这是一个继电器控制方式，称为砰一砰控制,3、线性定常系统的最小时间控制问题的解法：
8、,如何确定最优控制u*(t)设线性定常系统的状态方程为：,其中，X：n 1维状态向量 u：控制变量A，B分别为n n，n 1矩阵 约束条件： 末端条件：,求 ，使系统状态从 转移到 所用时间最短，即使 为最小,问题的求解,首先列写哈密顿函数：,根据极小值原理分析可得：,有规范方程：,注： 为标量函数，题意要求,代入 得：,可见， 的值完全由 的符号决定但是， 的确定是不容易的。因为它还和系统的状态变量有关系。通常采用的方法是：,先设一个 ，求出 ，求出 ，判定 若为，则 即为所求；否则修正 重复上述过程,开关次数定理：设线性系统 是正常的（不存在非奇异问题），若矩阵A的特征值均为实数，假定时间
9、最优控制存在，并令其为则u*(t)的切换次数最多不超过（n-1）次，n为系统的维数。,以下将根据极小值定理，开关次数定理及相平于状态空间分析，求u*,例题分析1： 时间最优控制问题,求u*(t),解：对象为二阶线性系统双积分模型的时间最优控制（应用最普通最广泛的一种）,由规范方程：,则,由,C1，C2的取值要求：保证,由开关次数定理知：切换一次，设切换时间为ts，则令 为了求出ts，必须首先找出状态在 平面上的转移轨线。,ts,tf,由,设u=1，则,则：,如图(a)所示，为一组抛物线， 当K=0时经过原点pos,其中,t,s,p,0,X2,若u=-1，则,为一组抛物线，如图(b)，当K1=0
10、时过原点NOT,X1,X2,u=-1,N,T,o,显然：若 初始状态在NO或在PO上，可进一步转移到目标原点，称NOP为开关曲线,由题意假设 它落在u=-1相应抛物线组中的一条上，即AQB，这时在u=-1的作用下，状态由 沿AQB转移到B，进行切换，B位于PO上，一步可到达原点。,N,X2,o,p,X1,B,u=+1,u=-1,A1,1,因此，问题的解为: 先以u=-1控制到达Po曲线上的B点 以u=+1沿开关曲线Po到达原点从初始状态到达末端状态的轨迹为AQBO，即 u*=进而，可求出转移时间ts及最优时间把状态轨线控制序列分成若干段，逐步算出所需时间，最后相加。 求 及ts 在AQB段,u
11、=-1,切换次数为1,-1,+1,到达B点：t=ts,BO段：u=+1，,当 时， ，则,在B点应有：,联立求解： 即：,例题分析2：二阶积分系统的最小时间控制系统,最小时间控制问题：求u*(t),使系统由初态,转移到末端状态 的时间为最小，且满足,解：列写哈密顿函数：,求解协状态方程,设,，则：,确定控制序列： 显然，由知， 为一条直线，其形式有可能为4种,因此，u相应的控制序列为：-1，+1，-1， -1，+1 +1,-1,-1,u,u,u,u,+1,状态轨线：由知，u有4种可能的取值，其值为1，代入状态方程：,注：,利用上式，消去中间变量t，可导出x1和x2的关系为：,其在X1，X2平面
12、上为一组抛物线 如图：u=+1为实 u=-1为虚,X1,X2,B,A,u=+1,u=-1,确定开关曲线：使系统状态直接回到末端状态的曲线AO和BO 总的开关曲线：AOB 显然：,AOB将状态平面分为两部分 和,显然：,X1,X2,B,A,O,u=-1,确定最优控制作用u*u*与初始状态 有关,分析：若 位于BO上，则u*= +1；若 位于AO上，则u*= -1；若 位于 内，则u*= -1，+1；若 位于 内，则u*= +1，-1；,在开关曲线上为转折点,例3：升降机的快速降落问题：设有一升降机W，它的质量为1，升降机一方面 受重力g的作用，另一方面受控制器的作用力u(t)的作用，且 （Mg是
13、常数） 设x(t)为升降机离开地面的距离， 当t= 时， 离地面距离垂直运动速度 ,问题：求u*（t）,使升降机最快的到达地面，并且到达地面时的速度为零。 即：,最小， 自由,W,u,g,X(t),解：建立升降机系统的数学模型，F=ma即：,令：,即：,哈密顿函数：,显然，为了使H为最小，则,即：,不确定,协状态方程： 即： 常数,相应于 的4种可能，u*的取值有4种可能 +M，-M，+M,-M，-M，+M 因此，下面只研究u=M时升降机的状态轨线,设u=M，则状态方程为： /：是一组抛物线， 图中实线箭头表示状态运动的方向,在此族曲线中，只有 到达原点，,设u=-M，同理可得：如图虚线所示,只有 到达原点，,开关曲线,r将相平面分为两部分，在r下半部的记为 ，包括在r上半部的记位 ，包括,
