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1、第6讲：实体几何造型基础,第六章：实体几何造型基础,线框模型 实体几何的定义 三维实体表示的数据模型,实体造型（Solid Modeling）,几何造型技术 第一代：手工绘制工程图 第二代：二维计算机绘图 第三代：三维线架系统 第四代：曲面造型 第五代：实体造型,物体的性质： 具有一定的形状（刚性） 具有确定的封闭的边界（封闭性） 内部连通的三维点集（连通性） 空间有限（有限性） 可以进行运算（可运算性） 满足以上性质的物体称为有效物体或几何形体,形体的定义和存储模型,三维空间中的物体是一个内部连通的三维点集，是由其内部的点集及紧紧包着这些点的表皮组成的。,实体造型系统的发展,60年代初期 7
2、0年代初期 英国剑桥大学的BUILD-1系统 德国柏林工业大学的COMPAC系统 日本北海道大学的TIPS-1系统 美国罗切斯特大学的PADL-1、PADL-2系统等 5年后推出BUILD-2系统,实体造型系统的发展,早期系统的特点： 用多面体表示形体，不支持精确的曲面表示 1978年，英国Shape Data公司，ROMULUS系统，首次引入精确的二次曲面方法用于精确表示几何形体 1980年，Evans & Sutherland开始将ROMULUS投放市场 80年代末，NURBS曲线曲面设计方法，不仅能对已有的曲线曲面（如Bezier方法、B样条方法等）进行统一表示，还能精确表示二次曲线曲面
3、。,实体造型系统的发展,国际标准化组织 将NURBS作为定义工业产品形状的唯一数学方法 。 最有代表性的两个几何造型系统 Parasolid：1985年，Shape Data公司 ACIS： 1990年，美国Spatial Technology公司 目前，许多流行的商用CAD/CAM软件，如Unigraphics、Solidedge、Solidwork、MDT等，都在Parasolid或ACIS基础上开发。,形体的基本概念,实体的定义,（a）带有悬挂边、孤立边、孤立点的二维物体,（b）物体的内部,（c）物体内部的闭包,实体的定义,正则形体与非正则形体： 要保证几何造型的可靠性和可加工性，形体上
4、任意一点的足够小的邻域在拓扑上必须是一个等价的封闭圆，即该点的邻域在二维空间中是一个单连通域 点至少和三个面（或三条边）邻接，不允许存在孤立点 边只有两个邻面，不允许存在悬边 面是形体表面的一部分，不允许存在悬面,实体的定义,点point：它是0维几何元素、分端点、交点、切点和孤立点等。但在形体定义中一般不允许存在孤立点。 边border：边是一维几何元素，是两个邻面（正则形体）或多个邻面（非正则形体）的交界。直线边由其端点（起点和终点）定界；曲线边由一系列型值点或控制点表示，也可用显式、隐式方程表示。,实体的定义,面face：面是二维几何元素，是形体上一个有限、非零的区域，由一个外环和若干个
5、内环界定其范围。一个面可以无内环，但必须有一个且只有一个外环。面有方向性，一般用其外法矢方向作为该面的正向。若一个面的外法矢向外，此面为正向面；反之，为反向面。区分正向面和反向面在面面求交、交线分类、真实图形显示等方面都很重要。在几何造型中常分平面、二次面、双三次参数曲面等形式。,实体的定义,环ring：环是有序、有向边（直线段或曲线段）组成的面的封闭边界。环中的边不能相交，相邻两条边共享一个端点。环有内外之分，确定面的最大外边界的环称之为外环，通常其边按逆时针方向排序。而把确定面中内孔或凸台边界的环称之为内环，其边相应外环排序方向相反，通常按顺时针方向排序。基于这种定义，在面上沿一个环前进，
6、其左侧总在面内，右侧总在面外。,实体的定义,环ring：,实体的定义,实体的定义,莫比乌斯带：单侧曲面,体body：体是维几何元素，由封闭表面围成的空间，也是欧氏空间R3中非空、有界的封闭子集，其边界是有限面的并集。 要求形体上任意一点的足够小的邻域在拓扑上应是一个等价的封闭圆，即围绕该点的形体邻域在二维空间中可构成一个单连通域。我们把满足这个定义的形体称之为正则形体。,实体的定义,体素：体素是可以用有限个尺寸参数定位和定形的体，常用三种定义形式。 从实际形体中选择出来，可用一些确定的尺寸参数控制其最终位置和形状的一组单元，如长方体、圆柱体、圆锥体、圆环体、球体等。 由参数定义的一条（或一组）
7、截面轮廓线沿一条（或一组）空间参数曲线作扫描运动而产生的形体。 用代数半空间定义的形体，在此半空间中点集可定义为： (x , y , z ) | f( x, y, z ) 0 。此处的 f 应是不可约多项式，多项式系数可以是形状参数，半空间定义法只适用正则形。,实体的定义,上述定义中我们知道几何元素中有两种重要信息：其一是几何信息，用以表示几何元素性质和度量关系，如位置、大小、方向等；其二是拓扑信息，用以表示几何元素之间的连接关系。形体要由几何信息和拓扑信息定义，通常采用六层结构。,实体的定义,三维实体的表示,模型分类,三维实体表示的数据模型,形体表示模型,分解表示,边界表示,构造表示,四叉树
8、、八叉树等方法,基本图形,扫描表示,构造实体几何表示,特征表示,三维实体的表示,线框模型表面模型实体模型,-物体的骨架,-物体的皮肤,-”有血有肉”的物体模型,形体表示成一组轮廓线的集合，只需建立三维线段表 数据结构简单、处理速度快 所构成的图形含义不确切，与形体之间不存在一一对应关系，有二义性 不便进行光照或消隐处理，不适合真实感显示和数控加工,线框模型,三维实体的表示,-物体的骨架,数据结构： 顶点表 V1 V2 V3 xyz坐标 边表 E1 E2 E3 起点 终点,表面模型,三维实体的表示,-物体的皮肤,将形体表示成一组表面的集合，形体与其表面一一对应，避免了二义性 能够满足真实感显示和
9、数控加工等需求 只有面的信息，形体信息不完整 无法计算和分析物体的整体性质（如体积、重心等） ，限制了在工程分析方面的应用,数据结构： 顶点表 V1 V2 V3 xyz坐标 边表 E1 E2 E3 起点 终点 面表 F1 F2 F3 边号,实体模型,三维实体的表示,-”有血有肉”的物体模型,用来描述实体，主要用于CAD/CAM 包含了描述一个实体所需的较多信息，如几何信息、拓扑信息 表示完整而无歧义,数据结构 顶点表 V1 V2 V3 xyz坐标 边表 E1 E2 E3 起点 终点 环表 F1 F2 F3 边号（按右手法则）,过程模型,三维实体的表示,包括-随机插值模型、迭代函数系统、 L系统
10、、粒子系统、复变函数迭代等,以一个过程和相应的控制参数描述 以一个数据文件和一段代码的形式存在,描述形体的信息： Geometry 几何信息Topology 拓扑信息,欧拉公式与欧拉运算,描述形体的几何元素（顶点、边、面）之间的连接关系， 形成物体边界表示的“骨架”,描述形体的几何元素性质和度量关系， 如位置、大小、方向、尺寸、形状等信息 犹如附着在“骨架”上的肌肉,欧拉公式与欧拉运算,欧拉特征 设表面s由一个平面模型给出，且v,e,f分别表示其顶点、边和小面的个数，那么v-e+f是一个常数，它与s划分形成平面模型的方式无关。该常数称为Euler特征。,v e + f = 2,欧拉公式,欧拉物
11、体 满足欧拉公式的物体 欧拉运算 增加或者删除面、边和顶点以生成新的欧拉物体的过程,欧拉公式与欧拉运算,欧拉运算时，必须要保证欧拉公式和下述条件成立，才能够保证形体的拓扑有效性。 面单连通，没有孔，且被单条边环围住； 实体的补集是单连通，没有洞穿过它； 边完全与两个面邻接，且每端以一个顶点结束； 顶点至少是三条边的汇合点。,欧拉公式与欧拉运算,欧拉公式与欧拉运算,广义欧拉公式,v e + f r = 2 ( s h ),r: 多面体表面上内孔数 s: 相互分离的多面体数 h: 贯穿多面体的孔洞数,v=24,e=36,f=15 r=3,s=1,h=1,数据模型边界表示,Boundary Repr
12、esentation，也称BR表示或BRep表示 最成熟、无二义性 物体的边界与物体一一对应 实体的边界是表面的并集 表面的边界是边的并集,数据模型边界表示,用于表示物体边界的有 平面多边形 曲面片,平面多面体 表面由平面多边形组成的多面体,曲面体 由曲面片组成的物体,数据模型边界表示,在边界表示的数据结构中，比较著名的有： 半边数据结构 辐射边数据结构 翼边数据结构 1972年由美国斯坦福大学B.G.Baumgart等人提出 是以边为核心来组织数据的一种数据结构,数据模型边界表示,缺点 数据结构及其维护数据结构的程序复杂 需大量的存储空间 有效性难以保证,优点 精确表示物体 表示覆盖域大，表
13、示能力强 容易确定几何元素间的连接关系，几何变换容易 显式表示点、边、面等几何元素，绘制速度快,数据模型分解表示,空间位置枚举表示 选择一个立方体空间，将其均匀划分,用三维数组CIJK表示物体，数组中的元素与单位小立方体一一对应,数据模型分解表示,优点 可以表示任何物体 容易实现物体间的集合运算 容易计算物体的整体性质，如体积等 缺点 是物体的非精确表示 占用大量的存储空间，如1024*1024*1024 = 1G bits 没有边界信息，不适于图形显示 对物体进行几何变换困难，如非90度的旋转变换,数据模型分解表示,八叉树（octrees）表示 自适应分割,数据模型分解表示,八叉树建立过程
14、八叉树的根节点对应整个物体空间 如果它完全被物体占据，将该节点标记为F(Full)，算法结束； 如果它内部没有物体，将该节点标记为E(Empty)，算法结束； 如果它被物体部分占据，将该节点标记为P(Partial)，并将它分割成8个子立方体，对每一个子立方体进行同样的处理,数据模型分解表示,优点 可以表示任何物体,数据结构简单 容易实现物体间的集合运算 容易计算物体的整体性质，如体积等 较空间位置枚举表示占用的存贮空间少 缺点 是物体的非精确表示 没有边界信息，不适于图形显示 对物体进行几何变换困难,数据模型分解表示,单元分解（cell decomposition）表示 多种体素,数据模型分
15、解表示,三种空间分割方法的比较 空间位置枚举表示-同样大小立方体 八叉树表示-不同大小的立方体单元分解表示-多种体素,数据模型分解表示,优点 表示简单 容易实现几何变换 基本体素可以按需选择，表示范围较广 可以精确表示物体 缺点 物体的表示不唯一 物体的有效性难以保证,数据模型构造实体几何表示,构造实体几何表示 constructive solid gemetry，简称CSG 采用单一的“建筑块”形式的实体造型方法，由两个物体的正则集合操作生成新的物体 并（union） 交（intersection） 差（difference）,数据模型构造实体几何表示,普通的集合运算会产生悬边、悬面等低于三
16、维的形体,正则集合运算保证集合运算的结果仍是一个正则形体即丢弃悬边、悬面等,构造实体几何CSG,Union (并运算),Subtraction (减运算),构造实体几何CSG,Intersection（交运算）,构造实体几何CSG,Cut（删减）,数据模型构造实体几何表示,将物体表示成一棵二叉树，称为CSG树 叶节点-基本体素，如立方体、圆柱体、圆环、锥体、球体等 中间节点-并、交、差正则集合运算,数据模型构造实体几何表示,优点 表示简单、直观，无二义性 数据量比较小，内部数据的管理比较容易 形体形状容易被修改 可用作图形输入的一种手段 容易计算物体的整体性质 物体的有效性自动得到保证 缺点 表示物体的CSG树不唯一 受体素种类和对体素操作种类的限制，CSG方法表示形体的覆盖域有较大的局限性 形体的边界几何元素（点、边、面）隐含地表示在CSG中，因此，显示与绘制CSG表示的形体需要较长的时间 求交计算麻烦,
