弹性力学第六章 用有限单元法解平面问题

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1、第六章 用有限元法解平面问题,第五节 单元的结点力列阵与劲度列阵,第四节 单元的应变列阵和应力列阵,第三节 单元的位移模式与解答的收敛性,第二节 有限单元法的概念,第一节 基本量及基本方程的矩阵表示,概述,第六节 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵,第六章 用有限元法解平面问题,例题,第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程,第十节 计算实例,第九节 计算成果的整理,第八节 解题的具体步骤 单元的划分,第七节 结构的整体分析结点平衡方程组,习题的提示与答案,教学参考资料,第六章 用有限单元法解平面问题,概述 1.有限元法(Finite Element Method，简称FEM) 是弹力的

2、一种近似解法。首先将连续体变换为离散化结构，然后再应用结力方法或变分法进行求解。,FEM,2. FEM的特点（1）具有通用性和灵活性。,简史,3. FEM简史FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发 展和广泛应用的一种数值解法。1943年柯朗第一次在论文中提出了FEM的概念。,（2）对同一类问题，可以编制出通用程 序，应用计算机进行计算。 （3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。,1956年，特纳等人提出了FEM。20世纪50年代，平面问题的FEM建立， 并应用于工程问题。1960年提出了FEM的名称。20世纪60年代后，FEM应用于各种力学 问题和非线性问题，并得到迅速发展。197

3、0年后，FEM被引入我国，并很快地得 到应用和发展。,简史,导出方法,5. 本章介绍平面问题的FEM，仅叙述按位 移求解的方法。且一般都以平面应力问题来表示。,4. FEM的两种主要导出方法:应用结力方法导出。应用变分法导出。,6-1 基本量和基本方程的 矩阵表示,采用矩阵表示,可使公式统一、简洁，且便于编制程序。本章无特别指明，均表示为平面应力问题的公式。,面力 位移函数 应变 应力 结点位移列阵 结点力列阵,基本物理量：,体力,基本物理量,物理方程其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是,FEM中应用的方程：,几何方程,应用的方程,结点虚位移，对应的虚应变。在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡

4、微分方程，后者不再列出。,应用的方程,i,j,虚功方程,其中,以下来导出FEM。1. 结构离散化将连续体变换为离散化结构；,6-2 有限单元法的概念,FEM的概念，可以简述为：用方法求解弹力问题结力。即1. 将连续体变换为离散化结构。2.再应用结力方法进行求解。,FEM的概念,结力研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联系（图（a）。,弹力研究的对象，是连续体（图（b）)。,结构离散化,图 6-2,将连续体变换为离散化结构（图（c）：即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构成所谓离散化结构。,结构离散化,与 相比，两

5、者都是离散化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而图（c）的单元是三角形块体（注意：三角形单元内部仍是连续体）。,结构离散化,例如：将深梁划分为许多三角形单元，这 些单元仅在角点用铰连接起来。,图（c）,图（a）,2.应用结构力学方法(位移法)进行求解:,分析步骤如下：,结力法求解,仿照桁架的结力位移法，来求解图（c）的平面离散化结构。其中应注意，三角形单元内部仍是连续体，应按弹力方法进行分析。,（2) 应用插值公式, 由单元结点位 移 ，求单元的位移函数,（1）取各结点位移 为基 本未知量。然后对每个单元,分别求出各物理量,并均用 来表示。,结力法求解,这个插值公式称为单元的位移模式，表示为,（

6、5）应用虚功方程，由单元的应力 ，求出单元的结点力，表示为,（4）应用物理方程，由单元的应变 ，求 出单元的应力，表示为,（3）应用几何方程，由单元的位移函数d，求出单元的应变，表示为,结力法求解,结点对单元的作用力，作用于单元，称为结点力，以正标向为正。单元对结点的作用力，与 数值相同,方向相反，作用于结点。,结力法求解,（6）将每一单元中的各种外荷载，按虚功等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为,结力法求解,各单位移置到i 结点上的结点荷载其中 表示对围绕i 结点的单元求和；,结力法求解,(7) 对每一结点建立平衡方程。,各单元对i 结点的结点力,作用于结点i上的力有：,为已知值,

7、是用结点位移表示的值。 通过求解联立方程 ，得出各结点位移值，并从而求出各单元的应变和应力。,结力法求解,整体分析：建立结点平衡方程组，求解各结点的位移。,2.应用结构力学方法求解离散化结构,对单元进行分析：求出（1）单元的位移模式，（2）单元的应变和应力列阵，（3）单元的结点力列阵，（4）单元的结点荷载列阵。,1. 将连续体变换为离散化结构。,归纳起来，FEM分析的主要内容：,思考题 1. 桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三角形块体，在三角形内仍是作为连续体来分析的。试考虑后者在用结构力学方法求解时，将会遇到什么困难？ 2. 在平面问题中，是否也可以考虑其它的单元形状，如四边形单元？,FE

8、M是取结点位移 为基本未知数的。但其中每一个单元仍是连续体，所以按弹力公式求应变、应力时，必须首先解决：如何由单元的结点位移 来求出单元的位移函数 应用插值公式，可由 求出位移d。这个插值公式表示了单元中位移的分布形式，因此称为位移模式。,6-3 单元的位移模式与 解答的收敛性,位移模式,泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。三角形单元的位移模式，可取为插值公式 在结点 应等于结点位移值 由此可求出,三角形单元,其中 包含 将式 按未知数 归纳，可表示为或用矩阵表示为,三角形单元,N 称为形（态）函数矩阵。,三角形单元,A为三角形 的面积（图示坐标系中，按逆时针编号），,其中,三角形单元,三结

9、点三角形单元的位移模式，略去了二次以上的项，因而其误差量级是 且其中只包含了 的一次项，所以在单元中 的分布如图（a）所示， 的分布如图 所示。,三角形单元,(a),(b),(c),图 6-5,1,FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式为基础的。所以当单元趋于很小时，即 时，为了使FEM之解逼近于真解，即为了保证FEM收敛性,位移模式应满足下列条件：,收敛性条件,（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。（2）位移模式必须能反映单元的常量应变。因为当单元 时，单元中的位移和应 变都趋近于基本量刚体位移和常量位移。,收敛性条件,收敛性条件,可见刚体位移项在式（a）中均已反映。,与刚体位移相比，,

10、将式（a）写成,（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。即应尽可能反映原连续体的位移连续性。 在三角形单元内部，位移为连续；在两单元边界ij 上， 之间均为线性变化，也为连续。,对式（a）求应变，得,收敛性条件,可见常量应变也已反映。,为了保证FEM的收敛性，（1）和（2）是必要条件，而加上（3）就为充分条件。,收敛性条件,思考题 1. 应用泰勒级数公式来选取位移模式，为什么必须从低次项开始选取？2. 试考虑：将结构力学解法引入到求解连续体的问题时，位移模式的建立是一个关键性工作，它使得单元(连续体)内部的分析工作都有可能进行了。,6-4 单元的应变列阵和应力列阵,位移函数,其中，,单元中的位

11、移函数已用位移模式表示为,应用几何方程，求出单元的应变列阵 ：,应变,应变,S称为应力转换矩阵，写成分块形式为,再应用物理方程，求出单元的应力列阵：,B 称为应变矩阵，用分块矩阵表示，,对于线性位移模式，求导后得到的应变和应力，均成为常量，因此，称为常应变（应力）单元。应变和应力的误差量级是 其精度比位移低一阶，且相邻单元的应力是跳跃式的。,应力,思考题 1.如果在位移模式中取到泰勒级数中的二次幂项，略去 高阶小量，试考虑位移、应变和应力的误差量级。,6-5 单元的结点力列阵与 劲度矩阵,现在来考虑其中一个单元：,模型,图 6-7,在FEM中，首先将连续体变换为离散化结构的模型。,（2）单元与

12、周围的单元在边界上已没有联系，只在结点 互相联系。,（1）将作用于单元上的各种外荷载，按静力等效原则移置到结点上去，化为等效结点荷载。故单元内已没有外荷载。,假想将单元与结点i 切开，则,其数值与 相同，而方向相反。,结点力,以沿正坐标向为正。对单元而言，这是作 用于单元上的外力。单元作用于结点的力，为,结点作用于单元上的力，称为结点力，,按虚功方程，在虚位移上，外力的虚功等于 应力的虚功。,结点力,而其内部有应力作用，,考察已与结点切开后的单元 ，则此单元上作用有外力结点力 ，,应用虚功方程，求单元的结点力：,假设发生一组结点虚位移 则单元内 任一点（x,y）的虚位移为 单元内任一点（x,y

13、）的虚应变为代入虚功方程：在单元中，外力（结点 力 ）在虚位移（结点虚位移 ）上的 虚功，等于应力 在虚应变 上的虚功， 即,虚功方程,式(b)是由应力求结点力的一般公式。,因为 是独立的任意的虚位移，虚功方程对任意的 均应满足， 得出,其中 与 无关，故式(a) 成为,代入,(b),式（c）是由结点位移求结点力的一般公式，k 称为单元的劲度矩阵,其中,再将应力公式代入上式，得,单元劲度矩阵,对于三角形单元，B矩阵内均为常数， 有,代入B，D，得出k如书中（6-37）及（6-38）所示。,（1） 是66的方阵， 中每一个元素都表示发生单元结点位移时所引起的结点力。,（2）由反力互等定理， 所以

14、 是对称矩阵，以对角线为对称轴。,单元劲度矩阵k的性质：,（3）当单元作刚体平移时，如 ui=uj=um=1，三角形内不产生应力和应变，结点力也为0。,（4）由（3）可导出行列式| |=0。,（5） 的元素与 单元的形状和方位等 有关，但与单元的大小和刚体的平动及作 度转动无关。,因此, 中每一行（或列）的元素之和为零（其中第一、三、五元素之和或二、四、六元素之和也为0）。,例题（书中P.117页），以直角三角形单元为例，计算了应力转换矩阵S和单元劲度矩阵 。 从例题中可以看出，将单元边界上的应力向结点移置，化为作用于结点上的力，正好就是结点力。在FEM中，单元边界之间的联系和相互作用力，都向

15、结点简化，归结成为结点的铰结和结点力。思考题试求出书中例题的位移模式。,66 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵,在FEM中，与结力相似，须将作用于单元中的外荷载向结点移置，化为等效结点荷载，,（2）变形体静力等效原则在任意的虚位移上，使原荷载与移置荷载的虚功相等。刚体静力等效原则只从运动效应来考虑，得 出移置荷载不是唯一的解；变形体的静力等效原则考虑了变形效应，在一定的位移模式下，其结果是唯一的，且也满足了前者条件的。在FEM中，采用变形体的静力等效原则。,1. 移置原则 （1）刚体静力等效原则使原荷载与移置荷载的主矢量以及对同一点的主矩也相同。,移置原则,2. 集中力的移置公式 原荷载 作用于单元中任一 点 为单位厚度上的作用力；移置荷载 作用于结点 假设发生一组结点虚位移 ，则 点的虚位移为 使移置荷载的虚功等 于原荷载的虚功：,