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1、2018/10/14,数字信号处理,3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例,第3章 离散傅里叶变换(DFT),2018/10/14,数字信号处理,3.1 离散傅里叶变换的定义,3.1.1 DFT的定义设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为,X(k)的离散傅里叶逆变换为,2018/10/14,数字信号处理,式中， ， N称为DFT变换区间长度NM， 通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。 下面证明IDFTX(k)的唯一性。把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有,M为
2、整数,M为整数,2018/10/14,数字信号处理,例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT 设变换区间N=8， 则,所以， 在变换区间上满足下式：IDFTX(k)=x(n), 0nN-1 由此可见， (3.1.2)式定义的离散傅里叶变换是唯一的。,2018/10/14,数字信号处理,设变换区间N=16， 则,2018/10/14,数字信号处理,3.1.2 DFT和Z变换的关系设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：,比较上面二式可得关系式,2018/10/14,数字信号处理,图 3.1.1 X(k)与X(e j)的关系,2018/10/14,数字信号
3、处理,3.1.3 DFT的隐含周期性前面定义的DFT变换对中， x(n)与X(k)均为有限长序列， 但由于WknN的周期性， 使(3.1.1)式和(3.1.2)式中的X(k)隐含周期性， 且周期均为N。 对任意整数m， 总有,均为整数,所以(3.1.1)式中， X(k)满足,同理可证明(3.1.2)式中 x(n+mN)=x(n),2018/10/14,数字信号处理,实际上， 任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列， 而x(n)则是 的一个周期， 即,为了以后叙述方便， 将(3.1.5)式用如下形式表示：,2018/10/14,数字信号处理,图 3.1.2
4、有限长序列及其周期延拓,2018/10/14,数字信号处理,式中x(n)N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， (n)N表示n对N求余， 即如果n=MN+n1， 0n1N-1， M为整数，则 (n)N=n1例如，,则有,所得结果附合图2.1.2所示的周期延拓规律。,2018/10/14,数字信号处理,如果x(n)的长度为N， 且 (n)=x(n)N， 则可写出 (n)的离散傅里叶级数表示为,(3.1.8),(3.1.9),式中,(3.1.10),2018/10/14,数字信号处理,3.2 离散傅里叶变换的基本性质,3.2.1 线性性质如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列， 长度分别为N
5、1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中a、 b为常数， 即N=maxN1, N2， 则y(n)的N点DFT为Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2k, 0kN-1(3.2.1)其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。,2018/10/14,数字信号处理,3.2.2 循环移位性质1. 序列的循环移位设x(n)为有限长序列， 长度为N， 则x(n)的循环移位定义为y(n)=x(n+m)NRN(N) (3.2.2),2018/10/14,数字信号处理,图 3.2.1 循环移位过程示意图,2018/10/14,数字信号处理,2. 时域循环移位定理设x(
6、n) 是长度为N的有限长序列， y(n)为x(n)的循环移位， 即y(n)=x(n+m)NRN(n)则Y(k)=DFTy(n)=W-km NX(k) (3.2.3)其中X(k)=DFTx(n), 0kN-1。,2018/10/14,数字信号处理,证明：,令n+m=n， 则有,2018/10/14,数字信号处理,由于上式中求和项x(n)NWknN以N为周期， 所以对其在任一周期上的求和结果相同。 将上式的求和区间改在主值区则得,3. 频域循环移位定理如果X(k)=DFTx(n), 0kN-1Y(k)=X(k+l)NRN(k) 则 y(n)=IDFTY(k)=WnlNx(n) (3.2.4),20
7、18/10/14,数字信号处理,3.2.3 循环卷积定理有限长序列x1(n)和x2(n)， 长度分别为N1和N2， N=max N1, N2 。 x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为：X1(k)=DFTx1(n)X2(k)=DFTx2(b)如果X(k)=X1(k)X2(k) 则,(3.2.5),2018/10/14,数字信号处理,一般称(3.2.5)式所表示的运算为x1(n)与x2(n)的循环卷积。 下面先证明(3.2.5)式， 再说明其计算方法。 证明： 直接对(3.2.5)式两边进行DFT,令n-m=n， 则有,2018/10/14,数字信号处理,因为上式中x2(n)NW knN， 以
8、N为周期， 所以对其在任一个周期上求和的结果不变。 因此,循环卷积过程中， 要求对x2(m)循环反转， 循环移位， 特别是两个N长的序理的循环卷积长度仍为N。 显然与一般的线性卷积不同， 故称之为循环卷积， 记为,2018/10/14,数字信号处理,由于,所以,即循环卷积亦满足交换律。,2018/10/14,数字信号处理,作为习题请读者证明频域循环卷积定理： 如果 x(n)=x1(n)x2(n)则,(3.2.6),X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(n),0kN-1,2018/10/14,数字信号处理,3.2.4 复共轭序列的DFT设x*(n)是x(n)的复共轭序列， 长度为
9、NX(k)=DFTx(n)则DFTx*(n)=X*(N-k), 0kN-1 (3.2.7)且X(N)=X(0),2018/10/14,数字信号处理,证明： 根据DFT的唯一性， 只要证明(3.2.7)式右边等于左边即可。,又由X(k)的隐含周期性有X(N)=X(0)用同样的方法可以证明DFTx*(N-n)=X*(k) (3.2.8),2018/10/14,数字信号处理,图3.2.2 循环卷积过程示意图,2018/10/14,数字信号处理,3.2.5 DFT的共轭对称性1. 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列为了区别于傅里叶变换中所定义的共轭对称(或共轭反对称)序列， 下面用xep(n)和xop
10、(n)分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列， 则二者满足如下定义式： xep(n)=x*ep(N-n), 0nN-1 (3.2.9)xop(n)=-x*op(N-m), 0nN-1 (3.2.10),当N为偶数时， 将上式中的n换成N/2-n可得到,2018/10/14,数字信号处理,上式更清楚地说明了有很长序列共轭对称性的含义。 如图3.2.3所示。 图中*表示对应点为序列取共轭后的值。,2018/10/14,数字信号处理,图 3.2.3 共轭对称与共轭反对称序列示意图,2018/10/14,数字信号处理,如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样， 任何有限长序列x(n)都
11、可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和， 即x(n)=xep(n)+xop(n), 0nN-1 (3.2.11)将上式中的n换成N-n， 并取复共轭， 再将(3.2.9)式和(3.2.10)式代入得到x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n)=xep(n)-xop(n) (3.2.12)xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n) (3.2.13)xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n) (3.2.14),2018/10/14,数字信号处理,2. DFT的共轭对称性(1) 如果x(n)=xr(n)+jxi(n)其中xr=Rex(n)=1/2x(n)+x*(n)jxi(n)
12、=jImx(n)=1/2x(n)-x*(n) 由(3.2.7)式和(3.2.13)式可得DFTxr(n)=1/2DFTx(n)+x*(n)=1/2X(k)+X*(N-k)=Xep(k),2018/10/14,数字信号处理,由(3.2.7)式和(3.2.14)式得DFTjxi(n)=1/2DFTx(n)-x*(n)=1/2X(k)-X*(N-k)=Xop(k)由DFT的线性性质即可得X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k) (3.2.16)其中Xep(k)=DFTxr(n) , X(k)的共轭对称分量Xop(k)=DFTjxi(n) , X(k)的共轭反对称分量,2018/10/14
13、,数字信号处理,(2) 如果x(n)=xep(n)+rop(n)， 0nN-1 (3.2.17)其中xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n), x(n)的共轭对称分量xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n) , x(n)的共轭反对称分量由(3.2.8)式得DFTxep(n)=1/2DFTx(n)+x*(N-n)=1/2X(k)+X*(k)=ReX(k),2018/10/14,数字信号处理,DFTxop(n)=1/2DFTx(n)-x*(N-n)=1/2X(k)-X*(k)=jImX(k)因此X(k)=DFTx(n)=XR(k)+jXI(k)(3.2.18)其中 XR(k)=ReX(k)
14、=DFTxep(n)jXI(k)=jImX(k)=DFTxop(n),2018/10/14,数字信号处理,设x(n)是长度为N的实序列， 且X(k)=DFTx(n)， 则(1) X(k)=X*(N-k),0kN-1 (3.2.19)(2) 如果 x(n)=x(N-m)则X(k)实偶对称， 即X(k)=X(N-k) (3.2.20)(3) 如果x(n)=-x(N-n)， 则X(k)纯虚奇对称， 即X(k)=-X(N-k) (3.2.21),2018/10/14,数字信号处理,利用DFT的共轭对称性， 通过计算一个N点DFT， 可以得到两个不同实序列的N点DFT， 设x1(n)和x2(n)为两个实序列， 构成新序列x(n)如下 ： x(n)=x1(n)+jx2(n)对x(n)进行DFT， 得到X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k),2018/10/14,数字信号处理,
