2012广东高考数学理科试题及答案

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1、2012 广东高考数学理科试题信参考答案第 1 页共 11 页 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）数学（理科）一、选择题：（本大题共一、选择题：（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 4040 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）是符合题目要求的） 1. 设为虚数单位，则复数i 56i i A B C D65i65i65i 65i 2. 设集合，则1,2,3,4,5,6 ,1,2,4UM U C M A B C DU1

2、,3,53,5,62,4,6 3. 若向量，则(2,3),(4,7)BACA BC A B C D( 2, 4)(2,4)(6,10)( 6, 10) 4. 下列函数中，在区间上为增函数的是(0, ) A B C Dln(2)yx1yx 1 2 x y 1 yx x 5. 已知变量满足约束条件，则的最大值为, x y 2 1 1 y xy xy 3zxy A B C D121131 6. 某几何体的三视图如图 1 所示，它的体积为 A B 1245 C D5781 7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为 0 的概率是 A B 4 9 1 3 C D 2 9 1 9 8

3、. 对任意两个非零向量，定义,若向量满足，的夹角, = a,b| | 0aba,b ，且和都在集合中，则(0,) 4 a bb a| 2 n nZ a b = 2012 广东高考数学理科试题信参考答案第 2 页共 11 页 A B1 C D 1 2 3 2 5 2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 7 小题，考生作答小题，考生作答 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分。分。（一）必做题（一）必做题（913913 题）题） 9. 不等式的解集为。|2| 1xx 10.的展开式中的系数为。（用数 26 1 ()x x 3 x 字作答） 1

4、1. 已知递增的等差数列满足，则 n a 2 132 1,4aaa 。 n a 12. 曲线在点处的切线方程 3 3yxx(1,3) 为。 13. 执行如图 2 所示的程序框图，若输入的值为 8，则输出的值为。ns （二）选做题（二）选做题（14151415 题，考生只能从中选做一题）题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，曲线和参数方程分别为xOy 1 C 2 C 和，则曲线和() xt t yt 为参数 2cos () 2sin x y 为参数 1 C 的交点坐标为。 2 C 15. （几何证明选讲选做题）如图 3，圆的半径为 1，为圆O,

5、,A B C 周上的三点，满足，过点作圆的切线与的30ABCAOOC 延长线交于点，则。PPA 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，满分小题，满分 8080 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. （本小题满分 12 分）已知函数（其中）的最小正周期为( )2cos() 6 f xx 0,xR10 1）求的值； 2）设，求的值。 56516 ,0,(5),(5) 235617 ff cos() 2012 广东高考数学理科试题信参考答案第 3 页共 11 页 17. （本小题满分 13 分）某班 50 位学生

6、期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是：。40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 1）求图中 x 的值； 2）从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人，该 2 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的人数记为，求的数学期望。 18. （本小题满分 13 分）如图 5，在四棱锥中，底面为矩形，PABCDABCD ，点在线段上，PAABCD 平面EPCPCBDE 平面（1）证明：BDPAC 平面（2）若，求二面角的正切值。1,2PAADBPCA 19 （本小题满分 14 分）设数列的前项和为，满

7、足，且成等差数列。 n an n S 1* 1 221, n nn SanN 123 ,5,a aa （1）求的值； 1 a （2）求数列的通项公式； n a （3）证明：对一切正整数，有。n 12 1113 2 n aaa 2012 广东高考数学理科试题信参考答案第 4 页共 11 页 20. （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且椭xOy 22 22 :1(0) xy Cab ab 2 3 e 圆上的点到的距离的最大值为 3.C(0,2)Q （1）求椭圆的方程；C （2）在椭圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不C( , )M m n:1l mxny 22

8、 :1O xy 同的两点，且的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的的面积；若不存在，,A BAOBAOB 请说明理由。 21.（本小题满分 14 分）设，集合，1a 2 |0 ,|23(1)60AxR xBxRxa xaxDAB （1）求集合（用区间表示）；D （2）求函数在内的极值点。 32 ( )23(1)6f xxa xaxD 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案：数学（理科）参考答案： 18: DCAAB CDB 注：第 8 题解析：因为， |2 coscos |2 a ba a b b b

10、| 1xx|1 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. （本小题满分 12 分）已知函数（其中）的最小正周期为( )2cos() 6 f xx 0,xR10 （1）求的值；（2）设，求的值。 56516 ,0,(5),(5) 235617 ff cos() 解：（1）由题意，解得。 2 10 1 5 （2）由题，即，又，可得， 6 2cos() 25 16 2cos 17 3 sin 5 8 cos 17 ,0, 2 4 cos 5 15 sin 17 所以。 48315 cos()coscossinsin 517517 13 85

11、 17. （本小题满分 13 分）某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是：。40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 （1）求图中 x 的值；（2）从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人，该 2 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的人数记为，求的数学期望。解：（1）由题意： 2012 广东高考数学理科试题信参考答案第 6 页共 11 页，解得；(0.0540.01 0.006 3) 101x 0.018x （2）8090 分有人；90100 分有人。50 0.018

12、 10950 0.006 103 所有可能的取值为 0, 1, 2 2112 9933 222 121212 1291 (0); (1); (0) 222222 CC CC PPP CCC 故。 1291 012 222222 1 2 E 18. （本小题满分 13 分）如图 5，在四棱锥中，底面为矩形，PABCDABCD ，点在线段上，PAABCD 平面EPCPCBDE 平面（1）证明：BDPAC 平面（2）若，求二面角的正切值。1,2PAADBPCA （1）证明：，；，。PAABCD 平面PABDPCBDE 平面PCBD 又，。PAPCPBDPAC 平面（2）解：设交于，连结，由

13、题，所以即为二面角,AC BDOOE, PCBE PCOEBEO 的平面角。BPCA 由（1）知，所以四边形 ABCD 为正方形，BDAC 易得。 22 1 2, 1 83 2 OCACPCPAAC 由（1）知又，有，90OECPAC OCEPCA OECPAC: 故，。在中，。 OEOC PAPC 2 3 OC OEPA PC Rt BOEtan3 OB BEO OE 所以二面角的正切值为 3 BPCA 19 （本小题满分 14 分）设数列的前项和为，满足，且成等差数列。 n an n S 1* 1 221, n nn SanN 123 ,5,a aa （1）求的值； 1 a （2）求数列的通项公式； n a 2012 广东高考数学理科试题信参考答案第 7 页共 11 页（3）证明：对一切正整数，有。n 12 1113 2 n aaa 解：（1）由题，解得，故 2 12 3 123 213 221 2()21 2(5) aa aaa aaa 1 2 3 1 5 19 a a a 1 1.a （2）当时，； 1n 1 1a 当时，

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