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1、数理统计,数理推断问题,参数估计,假设检验,点估计,区间估计,7 参数的假设检验,一、假设检验的基本概念与方法,1统计假设:对未知或不完全知道的总体作出一些假设.2假设检验:针对一个统计假设,利用一个样本观测值,通过一定的程序检验这个假设是否合理,从而决定接受或拒绝假设.3假设检验的两种情况:参数假设检验:总体分布类型已知但有一个或几个参数未知非参数假设检验:总体分布类型未知（总体分布假设检验）,例1 某车间用一台包装机包装糖果.包得的袋装糖果的重量是一个随机变量,它服从正态分布.当机器正常时,其均值为 .某日开工后为检验包装机是否正常,随机地抽取它包装的糖果9袋,称得净重为(kg):0.49
2、7,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.520,0.515,0.512问机器是否正常?,1.假设检测问题,以 表示这一天袋装糖果的重量,则 问题是根据样本值来判断 (正常)还是(不正常) 为此我们提出假设 称为原假设或零假设.与这个假设相对立的假设称为备择假设或对立假设. 于是问题转化为检验假设 是否为真(成立). 当 为真,则认为机器正常;否则认为机器不正常.,2.假设检验的思想方法,假设检验的基本原理:小概率原理,即概率很小的事件在一次试验中几乎不可能发生.在假设检验中,我们称这个小概率为显著性水平,用 表示,通常取为0.01,0.05或0.1.为了检验一个假设
3、 是否成立,我们先假设是成立的,如果根据这个假定,导致一个小概率事件的发生,从而说明原来的假设 是不正确的,因此我们拒绝假设 ,如果没有由此而导出不合理的结果,我们则不能拒绝 即接受假设 .,例1中由于样本均值 是总体均值 的无偏估计.因此, 应该比较小,于是 也应该比较小.如果 大于或等于某个常数时,我们就有理由怀疑原假设 的正确性,应该拒绝 .,在 成立的前提下 我们可以适当选取常数 当 时就拒绝 为了确定 的值,对于给定的显著性水平 ,令根据标准正态分布可得 其中 满足,若统计量 的观测值满足 则意味着概率为 的小概率事件发生了,根据小概率原理,我们拒绝假设 ,接受假设 ;若则接受假设
4、.,取 ， 查标准正态分布表得 又 , 因而 小概率事件居然发生了,这与小概率原理相矛盾, 故拒绝 即认为该天包装机工作不正常.,若取 ， 查标准正态分布表得 , 则 故不能拒绝 即认为该天包装机工作正常.注:1.检验结果与显著性水平有关, 不同时 结果可能就不同了; 2.接受 时并不意味着 一定对只是差异还 不够显著,不足以否定 .,构造小概率事件用的统计量称为检验统计量.若当检验统计量在某个区域取值时,拒绝原假设 ,则称该区域为拒绝域,拒绝域的边界点称为临界点.,3.两类错误,（1）第一类错误(“弃真”错误): 事实上是正确的但被我们拒绝了.（2）第二类错误(“取伪”错误): 事实上是不正
5、确的但被我们接受了.,犯两类错误的概率:即显著性水平,小概 率事件发生的概率注:1.在样本容量固定时,犯两类错误的概率不可能同时减小,即一类错误的概率减小导致另一类错误概率的增加;2.若要同时降低两类错误的概率,或要在 不变的条件下降低 需要增加样本容量. 在给定样本容量的情况下,一般来说,我们总是控制犯第一类错误的概率,而不考虑犯第二类错误的概率,这样的检验称为显著性检验.,4.假设检验的三种类型,双边检验:左边检验: 单边检验右边检验:,5.假设检验的基本步骤,（1）根据实际问题的要求,提出原假设 和备择假设 ; （2）选取适当的检验统计量,并在 成立的前提下确定统计量的分布; （3）给定
6、显著性水平 ,由检验统计量的分布表,找出临界值,从而确定拒绝域 ； （4）根据样本值计算统计量的具体值,若统计量的具体值落入拒绝域 时,则拒绝 ;否则接受 .,二、正态总体的假设检验,1.关于均值 的检验（1） 已知U检验法设 是来自总体 的一个样本,其中 为已知, 为未知,给定显著性水平 .利用U统计量检验其中 为已知常数称为U检验法,步骤如下： （1）提出原假设 （2）在 成立的条件下即 ,选用U统计量（3）确定 的拒绝域.给定显著性水平 ,令 .查正态分布表得临界值 ,使得,由此确定拒绝域为 ; （4）做判断.根据样本值计算统计量的具体值 ,并与临界值比较;若 ,则拒绝 ,此时认为均值
7、与 之间有显著差异;若 ,则接受 ,认为均值 与 无显著差异.,例2 某种产品质量 (单位:g),更新设备后从新生产的产品中随机抽取100个,测得样本均值 ,若方差没有变化,问更新设备后,产品的质量均值与原来产品的质量均值是否有显著差异?(取显著性水平 ),解 这是在方差( )已知的条件下,检验假设在 成立的条件下即 ,选用U统计量由 ,查正态分布表得 , 于是拒绝域为 ; 又由已知 , , , 得故拒绝 ,即认为更新设备后产品的质量均值与原 来产品的质量均值有显著差异.,例3 切割机在正常工作时,切割出的每段金属棒长 服从正态分布 ,今从生产出的一批产品中随机抽取10段进行测量,测得长度(单
8、位:mm)如下: 53.8,55.0,55.1,54.2,52.1,54.2,55.0,55.8,55.1,55.3 若方差不变,问该切割机工作是否正常?(取显著性水平 ),解 这是在方差( )已知的条件下,检验 假设 在 成立的条件下,选用U统计量,由 及 查正态分布表得 , 于是拒绝域为 ; 又由已知 , , , 得故接受 ,即认为该切割机工作正常.,（2） 未知t检验法设 是来自总体 的一个样本,其中 与 均未知,给定显著性水平.利用T统计量检验其中 为已知常数,称为t检验法,步骤如下： （1）提出原假设 （2）在 成立的条件下即 ,选用T统计量（3）确定 的拒绝域.给定显著性水平 ,令
9、 .查t分布表得临界值 ,由此确定拒绝域为 ; （4）做判断.根据样本值计算T统计量的具体值 ,并与临界值比较;若 ,则拒绝 ;若 ,则接受 .,例4 已知某种柴油发动机所使用的每升柴油运转时间 ,现从中随机抽取9台,测得每升柴油的运转时间(单位:min)如下: 28,28,27,30,31,31,29,27,30 按设计要求,平均每升柴油应运转30min,根据试验结果,能否说明该种柴油符合设计要求?(取显著性水平 ),解 这是在方差 未知的条件下,检验假设在 成立的条件下,选用T统计量,由于自由度 , 根据查t分布表得 于是拒绝域为 ; 由已知求得 , ,及已知 , 得故接受 ,即认为该种柴
10、油机符合设计要求.,2.关于方差 的检验 检验法设 是来自总体 的一个样本,其中 与 均未知,给定显著性水平.利用 统计量检验其中 为已知常数,称为 检验法,步骤如下： （1）提出原假设 （2）在 成立的条件下即 ,选用 统计量（3）确定 的拒绝域.给定显著性水平 ,由 及 .查 分布表得 与 ,于是拒绝域为; （4）利用样本值计算 的具体值,当 的具体值落入拒绝域中时就拒绝 ;否则就接受 .,例5 某无线电厂生产的一种高频管,其中一项指标服从正态分布 .现对生产设备进行了维修然后从一大批这种产品中随机抽取8只管子,测得该项指标数据如下: 68,43,70,65,55,56,60,72 问是否
11、可以认为设备维修后生产的高频管的该项指标的方差仍为82?(取显著性水平 ),解 这是在均值 未知的条件下,检验假设在 成立的条件下,选用 统计量,对于给定的显著水平 , 由查 分布表得 , 于是拒绝域为 ; 由已知求得 , ,及已知 得可知10.2012不在拒绝域内;因此接受 ,即可认为 设备维修后生产的高频管的该项指标的方差仍为82.,练习题,选择题： (1) 在假设检验问题中检验水平 的意义是_ （A）原假设成立,经检验被否定的概率 （B）原假设成立,经检验不能否定的概率 （C）原假设不成立,经检验被否定的概率 （D）原假设不成立,经检验不能否定的概率,(2) 下列说法中,不正确的是_ （A）进行假设检验时,选取的统计量一定是样本的函数 （B）进行假设检验时,选取的统计量可以包含总体分布中的已知参数 （C）进行假设检验时,选取的统计量不能包含总体分布中的任何参数 （D）进行假设检验时,选取的统计量可以由给定的样本值计算出来,
