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1、高等数学 （微积分）教案第 1 页 共 24 页【教学内容教学内容】3.1 微分中值定理 洛必塔法则 【教学目的教学目的】通过学习，使学生了解罗尔定理、拉格朗日中值定理，使学生掌握洛必塔法则【教学重点教学重点】微分中值定理 洛必塔法则及其应用【教学难点教学难点】定理的应用 洛必达法则的应用【教学时数教学时数】4 学时【教学过程教学过程】一、组织教学，引入新课本章将在导数概念的基础上建立微分学中一些基本定理中值定理，利用这些定理使我们可以应用导数来研究函数以及曲线的某些性态，并应用这些知识解决一些实际问题。如果当时,和都趋于零或都趋于无穷大，那么极限可能存0xx )(xf( )g x0( )li
2、m( )xx xf x g x 在，也可能不存在，通常称这类极限为待定型，并分别简记为型或型.下面我们将00 讨论一种求待定型极限的方法洛必塔法则.二、讲授新课（一）罗尔定理1、定理、定理：若函数满足下列条件：)(xf（1）在闭区间上连续；,ba（2）在开区间内可导；),(ba（3）)()(bfaf则在内至少存在一点使得),(ba)(ba0)(f2、定理的几何意义、定理的几何意义如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于轴的切线，且两端点处的纵坐标相等，Ox那么其上至少有一条平行于轴的切线。Ox高等数学 （微积分）教案第 2 页 共 24 页说明：（1）定理中的不唯一（2）定理中的 三个条件是充分
3、但不必要的（2）若定理的三个条件不全满足的话，则定理的结论也可能成立，也可能不成立.高等数学 （微积分）教案第 3 页 共 24 页【例例 1】验证函数在区间上满足罗尔定理的三个条件，并求出满足21)(xxf 1 , 1的点。0)(f解：由于在内连续且可导，21)(xxf),(故它在上连续， 1 , 1在内可导，) 1 , 1(，即0) 1 (, 0) 1(ff) 1 () 1(ff因此，满足罗尔定理的三个条件。)(xf而，令得。xxf2)(0)( xf) 1 , 1(0x即时00)(f（二）拉格朗日中值定理（二）拉格朗日中值定理1、定理、定理 如果函数满足)(xf（1）在闭区间a b上连续
4、（2）在开区间(a b)内可导 那么在(a b)内至少有一点 (ab) 使得 ( )( )( )f bf afba证明：作一个辅助函数：)()()()()(axabafbfxfxF显然，在上连续，在上可导，)(xF,ba),(ba又，)()()()()()(afaaabafbfafaF)()()()()()(afababafbfbfbF所以 ( )( )F aF b由罗尔中值定理，在内至少存在一点,使得。 ),(ba0)(F又abafbfxfxF)()()()(所以 或 。0)()()(abafbffabafbff)()()(说明：（1）罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例（2）设在点处有一个增量
5、，得到点，在以和为端点的区间上xxxxxxx高等数学 （微积分）教案第 4 页 共 24 页应用拉格朗日中值定理，有 xxxfxfxxf)()()() 10(即，准确地表达了和这两个增量间的关系，故该xxxfy)(yx定理又称为微分中值定理。2、定理的几何意义、定理的几何意义若函数在a b上连续，在(a b)内可导.则在(a b)内至少有一点，曲线)(xfy 在该点的切线斜率与弦 AB 的斜率相等，即)(xfy ( )( )( )f bf afba3、拉格朗日中值定理的推论、拉格朗日中值定理的推论.推论：如果在开区间(a b)内，恒有,则在(a b)内恒等于常数.0)( xf)(xf证明：在中
6、任取两点、，使，I1x2x12xx则在区间上，满足拉格朗日中值定理的条件.)(xfx12,x x从而存在一点，使得12,x x2121()()( )()f xf xfxx又在上，则。 I0)( xf( )0f所以，即.21()()0f xf x21()()f xf x可见，在上的每一点都有：.)(xfI12( )()()f xf xf xC【例例 2】 验证函数在区间0,2是否满足拉格朗日定理的条件，xxxf3)(3若满足，求出使定理成立的的值高等数学 （微积分）教案第 5 页 共 24 页解： 显然在区间0,2上连续，在(0,2)内可导，定理条件满足.xxxf3)(3又，所以有33)(2xx
7、f)(02)0()2(fff又 代入上式得., 33)(, 0)0(, 2)2(2fff)2 , 0(32【例例 3】若函数在内具有二阶导数，且，其中)(xf),(ba)()()(321xfxfxf，证明在内至少有一点，使得.bxxxa321),(21xx0)( f【例例 4】证明（）.2arccosarcsinxx11x证明：令，xxxfarccosarcsin)(0 1111)( 22 xxxf由推论知，由得，。( )f xC2)0(f2arccosarcsinxx（三）洛必塔法则（三）洛必塔法则定理；设函数和满足：)(xf( )g x(1) 当时和的极限为 0；0xx )(xf( )g
8、x(2) 在点的某个去心邻域内,及都存在，且；0x)(xf ( )g x( )0g x(3) 存在(或为).0( )lim( )xxfx g x 则00( )( )limlim( )( )xxxxf xfx g xg x说明：(1)若时, 仍为型，且仍满足条件,则可继续使用0xx 0( )lim( )xxfx g x 00(2)对于时的型及或时的型，也有相应的洛必塔法则.x 00 0xx x (3)适用于型、型、型、型、型、型及型00 00100 A(4)若不存在或使用几次后出现循环，则不可使用该法则0( )lim( )xxfx g x （四）洛必塔法则应用（四）洛必塔法则应用1、型及型 00
9、 高等数学 （微积分）教案第 6 页 共 24 页【例例 1】 求xxxsincos1lim 0解解: 所求极限为型，由洛必达法则得00.0cossinlim)(sin)cos1 (limsincos1lim 000xx xx xxxxx【例例 2】 求xxxxxxsincoslim 0解解: 所求极限为型，由洛必达法则得00=xxxxxxsincoslim 0xxxxxcos1sincos1lim 0xxxxxxsincossinsinlim 0 )sincos2(lim 0xxxx = xxxxsincoslim2 0=2+1=3注 1：运用洛必达法则时，能简化的要进行简化，每次应用前要检
10、查是否仍为待定型.【例例 3】 求) 1(612lim 0xxxxeexe解解: ) 1(612lim 0xxxxeexe=xxxxxxeeexe1lim) 1(612lim 00=1622lim 0xxxxxeexee=61 612lim 0xx【例例 4】求xxxxsin1sin lim20解解: 所求极限为型，运用罗必达法则得00不存在，但不能因此认为原极限一定不存在.xxxxxxxxxcos1cos1sin2 lim)(sin)1sin( lim 020 高等数学 （微积分）教案第 7 页 共 24 页事实上0011sinlimsinlim)1sin)(sin(limsin1sin l
11、im 00020 xxxx xxxx xxxxxxx注 2：并不是型都能使用洛必达法则求极限00【例例 5】 求xxx1arctan2lim解解: 所求极限为型，由洛必达法则得00xxx1arctan2lim11lim111lim )1()arctan2( lim2222 xxxxxxxxx【例例 6】 求xxx2lnlim 解解: 所求极限为型，由洛必达法则得011lim2lnlim21ln2limlnlim2 x xxxxxxxxxx2、其它待定型（）00,1 ,0 ,0它们总可以通过适当的变换为型或型，然后再运用洛必达法则.00 （1）型0【例例 7】 求xx xlnlim20解解： 所
12、求极限为型,故可化为:00lim21 2limlnlimlnlim203102020 xxx xxxx xxxx一般的,有0, 0lnlim 0 xx x（2） 型【例例 8】 求)1 sin1(lim 0xxx 解解：这是型，这就是型，故可用洛必达法则.xxxx xxxxsinsinlim)1 sin1(lim 00 00原式0sincos2sinlimcossincos1lim 00 xxxx xxxxxx高等数学 （微积分）教案第 8 页 共 24 页（3）型、型、型0010利用可化为型,再化为或型)(ln)()(ln)()()(xfxFxfxFeexfxF000 【例例 9】求xxx2
13、0)(sinlim 解解: 这是型00xxxxxxxxeex1sinln20sinln2020limlim)(sinlim 10)sincos2(limsincos2lim 020eeexxxxxxxxx【例例 10】求xxxln10)(cotlim 解解: 这是型.01 ln1ln(cot ) ln(cot )lnln000lim(cot )limlimxx xxxxxxxee 2001( csc)cotlim11lim1cossinxxxxx xxxeee 高等数学 （微积分）教案第 9 页 共 24 页【教学内容教学内容】3.2 函数的单调性及其极值 3.3 函数最大值与最小值【教学目的教学目的】掌握函数的单调性与极值的判别方法，会求函数的最大最小值【教学重点教学重点】函数的单调性与极值的判别【教学难点教学难点】函数的极值的判别【教学时数教学时数】4 学时【教学过程教学过程】一、组织教学，引入新课第一章已经给出函数在某个区间内单调性的定义，但直接用定义判别函数的单调性通常是比较困难的.从函数的图形可以看出，函数的单调增减性在几何上表现为曲线沿轴正)(xfy x方向的上升或下降. 如果函数在区间上单调增加，从图 3-3-1中可以看出曲线)(xfI)(a各点的切线的倾斜角都是锐角，其斜率，即. 如果函数在区间0tan0)( xf)(xf上单调减少，从图 3-3-1中可以看到曲
