《3.4.2基本不等式(第2学时)33》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.4.2基本不等式(第2学时)33（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 342 基本不等式（第 2 课时）33 *学习目标* 1 进一步理解基本不等式； 2 ab ab 2能用基本不等式求最值。 *要点精讲* 最值定理：若都是正数，且，则 , x yxySxyP 如果 P 是定值, 那么当 x=y 时，S 的值有最小值； 2 P 如果 S 是定值, 那么当 x=y 时，P 的值有最大值. 2 1 4 S 注意： 前提：“一正、二定、三相等” ，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意 1 选择恰当的公式； “和定 积最大，积定 和最小” ，可用来求最值； 2 均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。 3 *范例分析* 例
2、1求下列函数的最值，并说明当取何值时函数取到最值x （1） ； （2）； 3 12,(0)yxx x 3 12,(0)yxx x （3）， （4）。 1 ,(1) 1 yxx x 2 2 ,(1) 1 xx yx x 例 2求函数；的最小值。 2 2 5 1 x y x 2 2 5 4 x y x 变式：若不等式恒成立，则正数的取值范围是 。 2 2 11xcc c xc c 2 例 3 （1）已知正数 a、b 满足，求的最大值。23 22 aba b21 （2）设、，1 21 aa， 求证： 1 2 1 a * 2 Ra )( 2 2 1 1 2211 aa aa 21 2 21 4 )(
3、例 4 （1）若实数，且有，求出的最小值。0,ba1)(bababa （2）已知，且，求的最小值。, x yR1xy 23 u xy 变式：（1）已知，且，求证：。, a bRab 3322 abab 4 1 3 ab （2）已知：, 求证：。10 x 2 22 )( 1 ba x b x a 规律总结 1在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正各项均为正； 二定积或和为定值；三相等等号能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错 误. 有时要能“凑”均值不等式的模式。 2对于函数定义域内不含实数的类型的最值问题，)0, 0()(ba x b axxf a b 要会用函数的单调
4、性求解 3 *基础训练* 一、选择题 1若 a1,则 a+ 1 1 a 的最小值是（ ） A B a C 1 2 a a D 3 2已知，且 a + b = 3，则的最小值是( ).Rba, ba 22 A. 6 B. C. D.242262 当 x0,y0,且1 82 yx 则 xy 有（ ） A 最大值 64 B 最小值 2 1 C 最小值 64 1 D 最小值 64 4已知正实数满足，则的最大值为（ ）, a b 11 1 ab 2 2 b ab A、 B、 C、 D、 5 16 1 2 9 16 3 4 5若a,b,c0 且a(a+b+c)+bc=4-2,则 2a+b+c的最小值为（
5、）3 （A）-1 (B) +1 (C) 2+2 (D) 2-23333 二、填空题 6若 x0 , y0 , 且 5x+7y=20 , 则 xy 的最大值为 ; 7设且则的最小值是 ., Rba, 1ba 1 ab ab 6已知且 x+y=4，求的最小值。某学生给出如下解法：由 x+y=4 得， Ryx, yx 21 ，即，又因为，由得，即所xy24 2 11 xy xyyx 2 2 21 2 21 yx 求最小值为。请指出这位同学错误的原因 _。2 三、解答题 9 （1）如果正数满足，求的取值范围。, a b3ababab （2）已知均为正数，且有，求 的最小值。ba,12 ba ba 11
6、 4 10 （1）若有, 求函数的最小值。1x 1 12 2 x xx y （2）时，求函数的最小值 2 0 x x xx xf 2sin sin82cos1 )( 2 四、能力提高 11设，则三个数（ ）, ,a b cR 111 ,abc bca A、都大于 2 B、都小于 2 C、至少有一个大于 2 D、至少有一个不小于 2 12若、，求证：。ab R1ba 4 25 ) 1 )( 1 ( b b a a 342 基本不等式（求最值） 例 1 （1）因为，所以，0x 33 122 1212yxx xx 当且仅当，即时，； 3 12x x 1 2 x min 12y （2）因为，所以，0x
7、 33 ( 12 )2 ( 12 )12yxx xx 当且仅当，即时，； 3 12x x 1 2 x max 12y （3）因为，所以，10x 11 (1)12111 11 yxx xx 当且仅当，即时，； 1 1 1 x x 0x min 1y 5 （4）因为，所以，10x 4 131 1 yx x 当且仅当，即时，； 4 1 1 x x 1x min 1y 例 2解：令，则； 2 11tx 2 2 54 4 1 x yt t x 当，即时，；2t 3x min 4y 令，则在上单调递增， 2 42tx 2 2 51 4 x yt t x 2, 当，即时，。2t 0x min 5 2 y 变
8、式：令，则； 2 txcc 2 2 11xc yt t xc min 2,01 1 ,1 c yc c c 例 3 （1）因为，所以,0a b 解 1： 22 222 21 11 1212 222 ab ua bab 当且仅当即时取等号，故的最大值为。 22 21ab1a a b212 解 2： ； 22 222 2 12222 2 aa ua baa 解 3： 。 2 222 1222112ua baaa （2）因为、，1 21 aa，所以 1 2 1 a * 2 Ra 方法 1：左 1 1221221 12 1 ()()aaaa 右； 2 1 1221221 12 1 2 aaaa 2 1
9、2 12 () 4 方法 2：左 22 12 1212 21 aaa a 2 12 1212 21 2aaa a 右； 2 1212 21 12 2 aa 2 12 12 () 4 6 例 4解：（1）因为，所以，解得，,0a b 2 1 2 ab abab 22 2ab 当且仅当时，有最小值；12ab ba 22 2 （2）因为，且，所以, x yR1xy 方法 1：， 2323 552 6 yx uxy xyxy 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为。 23yx xy 62x u52 6 方法 2：， 23211 52 6 611 52 6 52 2 x u xxxx x x 当且仅当时
10、，等号成立。62x 方法 3：，得， 232 5 11 x u xxxx 2 120uxu x 由，得，当且仅当时，等号成立。 2 180uu 52 6u 62x 变式：（1）因为，所以由已知，, a bRab 22 aabbab 即，得， 2 0ababab1ab 又，得，解得。ab 2 2 ab ab 4 1 3 ab （2）因为，令，则10 x10yx 。 2222 22 aba yb x uxyab xyxy 2 22 2ababab *参考答案* 15 DBDCD； 5提示：若且 所以，, ,0a b c ()42 3,a abcbc 2 42 3aabacbc 22222 11 4
11、2 3(44422)(4442) 44 aabacbcaabacbcbcaabacbcbc 7 ，则()，选 D. 22 (2 32)(2)abc2abc2 32 6；7 ；提示：，所以的最小值是 20 7 17 4 2 1 24 ab tab 11 0 4 ytt t 。 17 4 8两个不等式中，等号不能同时取到 9解：（1）方法 1：，得；323ababab9ab 方法 2：由已知，114ab 11111ababab ，当且仅当取等号。 1152 459ab3ab （2），当且仅当取等号。 112 ()2332 2 ba uab abab 22 2 b 10解：（1）令，则，当且仅当取等号。10tx 1 32347yt t 2x （2）因为，当且仅当 2 0 x 22 2cos8sin ( )cot4tan4 2sin cos xx f xxx xx 取等号。 1 tan 2 x 11D提示：。 111 ()()()6abc bca 12证明：因为、，所以，ab R 1111 ()()2 ba ababab abababab 又，所以，1ba 2 1 24 ab ab 所以，即。 1115111517 24 161616164 abab ababab 4 25 ) 1 )( 1 ( b b a a 也可以由函数性质加以说明。nake
