《概率论和数理统计 等可能概型 古典概型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论和数理统计 等可能概型 古典概型（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、等可能概型,二、典型例题,三、几何概率,四、小结,第四节 等可能概型(古典概型),1. 定义,一、等可能概型(古典概型),设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成， A 为 E 的任意一个事件，且包含 m 个样本点，则事 件 A 出现的概率记为:,2. 古典概型中事件概率的计算公式,称此为概率的古典定义.,3. 古典概型的基本模型:摸球模型,(1) 无放回地摸球,问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率.,解,基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为,(2) 有放回地摸球,问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸
2、球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率.,解,第1次摸球,6种,第1次摸到黑球,4种,第3次摸到红球,基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为,课堂练习,1 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的 概率.,4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型,(1)杯子容量无限,问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.,4个球放到3个杯子的所有放法,因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为,(2) 每个杯子只能放一个球,问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能 放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率.,
3、解,第1至第4个杯子各放一个球的概率为,2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率.,课堂练习,1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.,解,二、典型例题,例2,一只口袋装有6只球,其中4只白球、2只,红球.,从袋中取球两次,(a) 第一次取一只球,放回袋中,抽样.,(b) 第一次取一球不放回袋中,余的球中再取一球,(1) 取到的两只球都是白球的概率;,(2) 取到的两只球颜色相同的概率;,种取球方式:,试分别就上面两种情况求,考虑两,观察其颜色后,第二次从
4、剩,这种取球方式叫做不放回抽样.,每次随机地取一只,这种取球方式叫做放回,搅匀后再取一球.,(3) 取到的两只球中至少有一只是白球的概率.,(a) 放回抽样的情况.,解,事件“取到的两只球都是白球”,“取到的两只球都,都是红球”,“取到的两只球中至少有一只是白球”.,在袋中依次取两只球，,每一种取法为一个基本,事件,显然此时样本空间中仅包含有限个元素,且,由对称性知每个基本事件发生的可能性相同,因而,可利用(4.1)式来计算事件的概率.,第一次从袋中取球有6只球可供抽取,第二次,也有6只球可供抽取.,由组合法的乘法原理,一共有,对于,由于第一次共有4只白球可供抽取,第,二次也有4只白球可供抽取
5、,则由乘法原理总共有,同理,于是,得,(b) 不放回抽样.,由读者自己完成.,例3,试求每个盒子至多有一只球的概率(盒子容量不限).,解,因每一只,故共有,而每个盒子,不同放法.,因而所求的概率为,说明：许多问题和本例有相同数学模型.,生日问题,假设每人的生日在一年365天中任一天是等可,能的,即都等于1/365,他们的生日各不相同的概率为,因而,生日问题,我们利用软件包进行数值计算计算可得下述结果:,64 个人的班级里，生日各不相同的概率为,至少有2人生日相同的概率为,在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法 共有,于是所求的概率为,解,在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有,例5
6、,袋中取一只球,(1) 作放回抽样;,(2) 作不放回抽样,解,(1) 放回抽样的情况,显然有,(2) 不放回抽样的情况.,各人取一只球,每种取法是,一个基本事件.,且由于对称性知每个基本事件,发生的可能性相同.,是白球,共有,种取法,故根据,(4.1)式得到,尽管,取球的先后次序不同,各人取到白球的概率是一样,的,大家机会相同,(例如在购买福利彩票时,各人得,奖的机会是一样的).,另外值得注意的是放回抽样与,例6 在12000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少 ?,设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件 “取到的数能被8整除”，则所求概率
7、为,解,于是所求概率为,例7 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是优秀生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少?,解,15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:,(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有,因此所求概率为,(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种,对于每一种分法,其余12名新生的分法有,因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有,因此所求概率为,例8 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是
8、有规定的.,假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的.,解,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,故一周内接待 12 次来访共有,小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从而可知接待时间是有规定的.,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,周二,周四,12 次接待都是在周二和周四进行的共有,故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为,定义 当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量 (长度、 面积、体积) 相同的子区域是等可能的，则事件 A 的概率可定义为,说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概型.,三、几何概型,那
9、么,两人会面的充要条件为,例7 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( tT ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵 连.求甲、乙两人能会面的概率.,会面问题,解,故所求的概率为,若以 x, y 表示平面 上点的坐标 ,则有,例8 甲、乙两人约定在下午1 时到2 时之间到某 站乘公共汽车 , 又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为 1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙约定 (1) 见车就乘; (2) 最多等一辆 车. 求甲、乙同乘一车的概率. 假定甲
10、、乙两人到达车站的时 刻是互相不牵连的，且每人在 1 时到 2 时的任何时刻到达车 站是等可能的.,见车就乘 的概率为,设 x, y 分别为 甲、乙两人到达的时刻,则有,解,蒲丰投针试验,例9 1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(a0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为b( ba )的针,试求 针与某一平行直线相交的概率.,解,蒲丰资料,由投掷的任意性可知, 这是一个几何概型问题.,蒲丰投针试验的应用及意义,历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1),利用蒙特卡罗(Monte Carlo)法进行计算机模拟.,单击图形播放/暂停 ESC键退出,最简单的随机现象,古典概型,古典概率,几何概型,试验结果 连续无穷,四、小结,蒲丰资料,Born: 7 Sept. 1707 in Montbard, Cte dOr, France Died: 16 Apr. 1788 in Paris, France,Georges Louis Leclerc Comte de Buffon,
