《玩转函数第9招--反函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《玩转函数第9招--反函数（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、共 4 页 第 1 页玩转函数第九招 第 9 招：玩转反函数【理论探讨】反函数定义：只有满足，函数才有反函数. 例：无yx 唯一)(xfy 2xy 反函数. 函数的反函数记为，习惯上记为. 在同一坐标系，)(xfy )(1yfx)(1xfy 函数与它的反函数的图象关于对称.)(xfy )(1xfyxy 注：一般地，的反函数. 是先的反函数，在左移三3)f(x3)(xf13)(xf1f(x)个单位.是先左移三个单位，在的反函数.3)f(x)f(x说明（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个值，都有唯一的y值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立.即函数单调是函数有反函数的x一
2、个充分非必要条件.偶函数只有有反函数；周期函数一定不存在反函( )0(0)f xx数。如函数在区间1, 2上存在反函数的充要条件是223yxaxA、 B、 C、 D、 （答：,1a 2,a1,2a,1a 2,D） （2）求反函数的步骤：反求 ；互换 、；注明反函数的xxy 定义域（原来函数的值域） 。 原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数 的反函数，分三步：逆解、交换、定义域（确定原函数的值域，并作为反函数的定义域）. 注意函数的反函数不是，而是。(1)yf x1(1)yfx1( ) 1yfx如设.求的反函数（答：） )0()1()(2xxxxf)(xf)
3、(1xf11( )(1)1fxxx （3）反函数的性质： 反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如单调递增函数满足条件= x ，其中 0 ，若的反函数)(xf)3(axfa)(xf的定义域为 ，则的定义域是_（答：4,7）.)(1xf aa4,1)(xf函数的图象与其反函数的图象关于直线对称，( )yf x1( )yfxyx注意函数的图象与的图象相同。一般地，如果函数( )yf x1( )xfy有反函数，且，那么. 这就是说点（）在函数图象上，那么点)(xfy baf)(abf)(1ba,)(xfy （）在函数的图象上.ab,)(1xfy如（1）已知函数的图象过点(1
4、,1),那么的反函数的图象一定经过点( )yf x4fx_（答：（1,3） ） ；共 4 页 第 2 页（2）已知函数，若函数与的图象关于直线132)(xxxf( )yg x) 1(1xfy对称，求的值（答：） ； xy (3)g7 2 。1( )( )f abfba注.若函数存在反函数,则其反函数为,并不是)(bkxfy)(11bxfky,而函数是的反函数.)(1bkxfy)(1bkxfy)(1bxfky如（1）已知函数，则方程的解_（答：1） ；)24(log)(3xxf4)(1xfx（2）设函数 f(x)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数，f (4)0，则1( )fx （答：2）1
5、(4)f互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如已知是上的增函数，点在它的图象上，是它的反函数， f xR1,1 ,1,3AB 1fx那么不等式的解集为_（答：（2,8） ） ；1 2log1fx设的定义域为 A，值域为 B，则有，( )f x1( )()f fxx xB1 ( )ff xx，但。()xA11( ) ( )f fxff x【好题训练】1（福建理） 、函数 y=(x1)的反函数是21xxA.y= (x0) B.y= (x0) D. .y= (x0)xx212 xx212 2（广东） 、函数的反函数的图像与轴交于点（如图 2 所示） ，( )yf x1( )yfxy(0,
6、2)P则方程在上的根是( ) A.4 B.3 ( )0f x 1,4x C. 2 D.13（全国 1 理） 、已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则xye yf xyxA B22()xfxexR2ln2 ln (0)fxx xAC D22()xfxexR2lnln2(0)fxxx4若函数+1 的反函数是，则函数的图象大致是（ xxf2)()(1xf)(1xfy）xy12431( )yfxO图 2共 4 页 第 3 页A B C D5、函数 y=f (x)的反函数 f -1(x)= (xR 且 x-3)，则 y=f (x)的图象（ ） 。xx 321（A）关于点(2, 3)对称 （B）关于点
7、(-2, -3)对称（C）关于直线 y=3 对称 （D）关于直线 x=-2 对称6.已知函数的定义域为 R，它的反函数为，如果与)(xfy )(1xfy)(1axfy互为反函数且奎屯王新敞新疆 （为非零常数）则的值为 （ ）)(axfyaaf)(a)0(fA、 B、 0 C、 tx D、 aaa2 7若 f(x)和 g(x)都是定义在 R 上的函数，且均存在反函数，则函数 fg(x)的反函数为( )Af1g1(x)Bf1g(x)Cg1f1(x)Dg1f(x)8. 函数 f(x)的定义域为1，1，值域为3，3，其反函数为 f1(x)，则 f1(3x2)的（ ）A定义域为，值域为1，1B定义域为，
8、值域为3，335,31 1 ,31C定义域为，值域为1，1D定义域为，值域为3，3 1 ,3135,319、设函数的图象向左平移 2 个单位，) 12(),()(1xfyxfxfy现将函数的反函数为再关于 x 轴对称后，所对应的函数的反函数是（ ）A、 B、 C、 D、13() 2fxy13() 2fxy 13() 2fxy 13() 2fxy10设，则函数的图象为（ ）) 1(32) 1(2xxxxf)(1xfA B C D11.如果函数的反函数是，则下列等式中正确的是 （ (1)yf x 1(1)yfx 共 4 页 第 4 页） （A）（B）( )(1)f xf x ( )(1)1f xf
9、 x （C）（D）( )(1)1f xf x ( )(1)f xf x 12已知函数的反函数为，则的定义域为（ 24)(xxf214)(xxf)(xf） A （2，0）B1，2C2，0D0，213.已知反函数，则实数 m 的取值范围是 （ ）存在mxxxf214)(A B C D )21,()21,(),21()21,(),21()21,(14、设定义域、值域均为的函数的反函数为，且R)(xfy )(1xfy，则的值为（ ）A、2 B、0 2)()(xfxf)3() 1(11xfxfC、2 D、42 x15 已知函数的定义域为，它的反函数为，如果与互为反函数，)(xfR)(1xf)(1axf)(axf且（为非零常数） ，则的值为 aaf)(a)2( af16设函数 f(x)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数,f (4)0，1( )fx则 .1(4)f17（江西理） 、设 f（x）log3（x6）的反函数为 f1（x） ，若f1（m）6f1（n）627 则 f（mn）_ 答案1 2 3 4 5B6D7C 8 9 10 11B12 13D 14 15 16 17
