管理统计学第4章 数据特征描述

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1、第 4 章 数据分布特征的测度,PowerPoint,第 4 章 数据分布特征的测度,4.1 集中趋势的测度 4.2 离散程度的测度 4.3 偏态与峰态的测度,学习目标,1. 集中趋势各测度值的计算方法 2. 集中趋势各测度值的特点及应用场合 3. 离散程度各测度值的计算方法 4. 离散程度各测度值的特点及应用场合 偏态与峰态的测度方法 用Excel计算描述统计量并进行分析,数据分布的特征,数据分布特征的测度,4.1 集中趋势的测度,一. 分类数据：众数 二. 顺序数据：中位数和分位数 三. 数值型数据：均值 四. 众数、中位数和均值的比较,数据分布特征的和测度 (本节位置),集中趋势 (Ce

2、ntral tendency),一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值 不同类型的数据用不同的集中趋势测度值 低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据,分类数据：众数,众数 (mode),出现次数最多的变量值 不受极端值的影响 一组数据可能没有众数或有几个众数 主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据,众数 (不唯一性),无众数 原始数据: 10 5 9 12 6 8,一个众数 原始数据: 6 5 9 8 5 5,多于一个众数 原始数据: 25 28 28 36 42 42,分类数据的众数 (例题分

3、析),解：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值在所调查的50人中，购买可口可乐的人数最多，为15人，占总被调查人数的30%，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即 Mo可口可乐,顺序数据的众数 (例题分析),解：这里的数据为顺序数据。变量为“回答类别”甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即Mo不满意,顺序数据：中位数和分位数,中位数 (median),排序后处于中间位置上的值,不受极端值的影响 主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据 各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即,中位数 (位置的确定),原始数据：,

4、顺序数据：,顺序数据的中位数 (例题分析),解：中位数的位置为 300/2150从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中。因此Me=一般,数值型数据的中位数 (9个数据的算例),【例】：9个家庭的人均月收入数据 原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,中位数 1080,数值型数据的中位数 (10个数据的算例),【例】：10个家庭的人均月收入数据 排 序: 660 750 780 850 960 1080

5、1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,四分位数 (quartile),排序后处于25%和75%位置上的值,不受极端值的影响 主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据,四分位数 (位置的确定),原始数据：,顺序数据：,顺序数据的四分位数 (例题分析),解：QL位置= (300)/4 =75QU位置 =(3300)/4=225从累计频数看， QL在“不满意”这一组别中； QU在“一般”这一组别中。因此QL = 不满意QU = 一般,数值型数据的四分位数 (9个数据的算例),【例】：9个家庭的人均月收入数据 原始数据: 1500

6、750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,数值型数据的四分位数 (10个数据的算例),【例】：10个家庭的人均月收入数据 排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,数值型数据：均值,均值 (mean),集中趋势的最常用测度值 一组数据的均衡点所在 体现了数据的必然性特征 易受极端值的影响 用于数值型数据，不能用于分类数据

7、和顺序数据,简单均值与加权均值 (simple mean / weighted mean),设一组数据为： x1 ，x2 ， ，xn 各组的组中值为：M1 ，M2 ， ，Mk 相应的频数为： f1 ， f2 ， ，fk,简单均值,加权均值,已改至此！,加权均值 (例题分析),加权均值 (权数对均值的影响),甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下甲组： 考试成绩（x ）: 0 20 100人数分布（f ）：1 1 8乙组： 考试成绩（x）: 0 20 100人数分布（f ）：8 1 1,均值 (数学性质),1. 各变量值与均值的离差之和等于零,2. 各变量值与均值的离差平方和最小

8、,调和平均数 (harmonic mean),均值的另一种表现形式 易受极端值的影响 计算公式为,原来只是计算时使用了不同的数据！,调和平均数 (例题分析),【例】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格,几何平均数 (geometric mean),n 个变量值乘积的 n 次方根 适用于对比率数据的平均 主要用于计算平均增长率 计算公式为,5. 可看作是均值的一种变形,几何平均数 (例题分析),【例】某水泥生产企业1999年的水泥产量为100万吨，2000年与1999年相比增长率为9%，2001年与2000年相比增长率为16%，2002年与2001年相比增长率为

9、20%。求各年的年平均增长率。,年平均增长率114.91%-1=14.91%,几何平均数 (例题分析),【例】一位投资者购持有一种股票，在2000、2001、2002和2003年收益率分别为4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。计算该投资者在这四年内的平均收益率,算术平均：,几何平均：,众数、中位数和均值的比较,众数、中位数和均值的关系,众数、中位数和均值的特点和应用,众数 不受极端值影响 具有不唯一性 数据分布偏斜程度较大时应用 中位数 不受极端值影响 数据分布偏斜程度较大时应用 均值 易受极端值影响 数学性质优良 数据对称分布或接近对称分布时应用,数据类型与集中趋势测度值,4.2 离散

10、程度的测度,分类数据：异众比率 顺序数据：四分位差 数值型数据：方差及标准差 相对位置的测量：标准分数 相对离散程度：离散系数,数据的特征和测度 (本节位置),离中趋势,数据分布的另一个重要特征 反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度） 从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度 不同类型的数据有不同的离散程度测度值,分类数据：异众比率,异众比率 (variation ratio),1. 对分类数据离散程度的测度 2. 非众数组的频数占总频数的比率 3. 计算公式为,4. 用于衡量众数的代表性,异众比率 (例题分析),解：在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%，异众比率比较大。

11、因此，用“可口可乐”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好,顺序数据：四分位差,四分位差 (quartile deviation),对顺序数据离散程度的测度 也称为内距或四分间距 上四分位数与下四分位数之差QD = QU QL 反映了中间50%数据的离散程度 不受极端值的影响 用于衡量中位数的代表性,四分位差 (例题分析),解：设非常不满意为1,不满意为2, 一般为3, 满意为 4, 非常满意为5 已知QL = 不满意 = 2QU = 一般 = 3 四分位差： QD = QU = QL= 3 2 = 1,数值型数据：方差和标准差,极差 (range),一组数据的最大值与最小值之差 离散

12、程度的最简单测度值 易受极端值影响 未考虑数据的分布,R = max(xi) - min(xi),计算公式为,平均差 (mean deviation),各变量值与其均值离差绝对值的平均数 能全面反映一组数据的离散程度 数学性质较差，实际中应用较少,计算公式为,未分组数据,组距分组数据,平均差 (例题分析),平均差 (例题分析),含义：每一天的销售量平均数相比，平均相差17台,方差和标准差 (variance and standard deviation),数据离散程度的最常用测度值 反映了各变量值与均值的平均差异 根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准

13、差,样本方差和标准差 (simple variance and standard deviation),未分组数据：,组距分组数据：,未分组数据：,组距分组数据：,方差的计算公式,标准差的计算公式,样本方差 自由度(degree of freedom),一组数据中可以自由取值的数据的个数 当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后，只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值 例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2

14、，而不能取其他值 样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差s2去估计总体方差2时， s2是2的无偏估计量,样本标准差 (例题分析),样本标准差 (例题分析),含义：每一天的销售量与平均数相比，平均相差21.58台,相对位置的测量：标准分数,标准分数 (standard score),1. 也称标准化值 2. 对某一个值在一组数据中相对位置的度量 3. 可用于判断一组数据是否有离群点 4. 用于对变量的标准化处理 5. 计算公式为,标准分数 (性质),均值等于02. 方差等于1,标准分数 (性质),z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变

15、一个数据在改组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是将该组数据变为均值为0，标准差为1。,标准化值 (例题分析),经验法则,经验法则表明：当一组数据对称分布时 约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内 约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内 约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内,切比雪夫不等式 (Chebyshevs inequality ),如果一组数据不是对称分布，经验法则就不再使用，这时可使用切比雪夫不等式，它对任何分布形状的数据都适用 切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是“所占比例至少和多少” 对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有 的数据落在k个标准差之内。其中k是大于1的任意值，但不一定是整数,