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1、专题5 平面向量,第1节 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理 第2节 平面向量的数量积及其应用,目录,600分基础 考点考法考点28 平面向量的基本概念及线性运算考点29 平面向量的基本定理及坐标运算,第1节 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理,考点28 平面向量的基本概念及线性运算,1向量的有关概念大小向量方向,特殊向量,零向量单位向量平行（共线）向量相等向量相反向量,考点28 平面向量的基本概念及线性运算,模,考点28 平面向量的基本概念及线性运算,2向量的线性运算,加法减法数乘,考点28 平面向量的基本概念及线性运算,考点28 平面向量的基本概念及线性运算,3向量的三角形
2、公式,4.向量共线定理向量,考点28 平面向量的基本概念及线性运算,考法1 平面向量的有关概念,考法2 平面向量的线性运算,平面向量的基本概念及线性运算,考点28,考点28 平面向量的基本概念及线性运算,1.正确理解向量的概念（1）两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小；（2）大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征与几何特征；（3）向量可以自由平移,任一组平行向量都可以移到同一直线上.2.正确理解共线向量与平行向量共线向量就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,当然向量所在直线可以平行,也可以重合,其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的
3、含义.【注意】（1）零向量与任何向量共线;（2）共线向量不一定是相等向量,但相等向量一定是共线向量,考点28,考法1,平面向量的有关概念,考点28 平面向量的基本概念及线性运算,考点28,考法1,平面向量的有关概念,考点28 平面向量的基本概念及线性运算,1.简单运算2.用已知向量表示未知向量3.已知运算结果求参数的值4.向量线性运算的几何意义,考点28,考法2,平面向量的线性运算,应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可.注意加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”；减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”；数乘运算的结果仍是一个向量，运算过
4、程可类比实数运算.,结合图形中各向量的位置关系，将未知向量表示为两个向量的和或差，再将这两个向量逐步分解为可以用已知向量表示的形式，整理即可.,结合图形，利用向量的线性运算将向量表示出来，利用向量相等确定参数的值.,根据向量加法的法则可知，在ABC中，（D为BC边中点），反之也成立.在平行四边形中，共起点的两个向量的和与差分别是两条对角线表示的向量，注意向量的方向.,考点28 平面向量的基本概念及线性运算,考点28,考法2,平面向量的线性运算,考点28 平面向量的基本概念及线性运算,考点28,考法2,平面向量的线性运算,考点28 平面向量的基本概念及线性运算,考点29 平面向量的基本定理及坐标
5、运算,1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e1+2e2.我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底应注意的是,基底的选择并不唯一,只要两个向量不共线,都可作为一组基底. 2.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i, j作为基底,对平面内任一向量a,有且仅有一对实数x,y,使得axiyj,则实数对(x,y)叫做向量a的直角坐标,记作a(x,y),其中x,y分别叫做a在x轴，y轴上的坐标,相等向量的坐标相同,坐标相同的向量是相等向量,3.平面向
6、量的坐标运算,考点29 平面向量的基本定理及坐标运算,考法3 平面向量基本定理的应用,考法4 平面向量的共线问题,平面向量的基本定理及坐标运算,考点29,考法5 平面向量的坐标表示与运算,考点29 平面向量的基本定理及坐标运算,1.基底的选择 （1）一组基底有两个向量； （2）这两个向量不共线.,考点29,考法3,平面向量基本定理的应用,2.用基底表示其他向量 主要有以下三种方法： 方法一：通过观察图形直接寻求向量之间的关系. 方法二：采用方程思想. 方法三：建立坐标系,根据向量的坐标运算求解.,第一步,观察待求向量所在的三角形或平行四边形,利用三角形法则或平行四边形法则先将待求向量表示成两个
7、(或多个)相关向量a,b（或a,b,c,）的和或差； 第二步,把向量a,b（或a,b,c,）分别进行分解,直到用基底表示出向量a,b（或a,b,c,） ； 第三步,将a,b（或a,b,c,）代入第一步中的式子,从而得到结果,考点29 平面向量的基本定理及坐标运算,1.基底的选择 （1）一组基底有两个向量； （2）这两个向量不共线.,考点29,考法3,平面向量基本定理的应用,2.用基底表示其他向量 主要有以下三种方法： 方法一：通过观察图形直接寻求向量之间的关系. 方法二：采用方程思想. 方法三：建立坐标系,根据向量的坐标运算求解.,第一步,把待求向量看作未知量； 第二步,列出方程组； 第三步,
8、用解方程组的方法求解待求向量,考点29 平面向量的基本定理及坐标运算,1.基底的选择 （1）一组基底有两个向量； （2）这两个向量不共线.,考点29,考法3,平面向量基本定理的应用,2.用基底表示其他向量 主要有以下三种方法： 方法一：通过观察图形直接寻求向量之间的关系. 方法二：采用方程思想. 方法三：建立坐标系,根据向量的坐标运算求解.,第一步,建立适当的直角坐标系； 第二步,把基底e1,e2,待求向量m的坐标分别表示出来； 第三步,设m=xe1+ye2； 第四步,根据向量e1,e2,m的坐标列出相应的方程组,求出x,y,问题即可得解,考点29 平面向量的基本定理及坐标运算,1.基底的选择
9、 （1）一组基底有两个向量； （2）这两个向量不共线.,考点29,考法3,平面向量基本定理的应用,2.用基底表示其他向量 主要有以下三种方法： 方法一：通过观察图形直接寻求向量之间的关系. 方法二：采用方程思想. 方法三：建立坐标系,根据向量的坐标运算求解.,第一步,选择一组基底； 第二步,运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式； 第三步,通过向量的运算来证明共线或其他几何相关问题,3.解决几何相关问题,考点29 平面向量的基本定理及坐标运算,考点29,考法3,平面向量基本定理的应用,考点29 平面向量的基本定理及坐标运算,(1)对于向量a（a0）,b,若存在实数,使得ba,则向量a
10、与b共线(平行) (2)若向量a(x1,y1),b(x2,y2),则x1y2x2y10 ab (3)对于向量a,b,则abab a与b共线若已知向量共线求参数值，则可依据已知条件与上述依据的对应性，选择合适的依据列方程，通过解方程求解.,考点29,考法4,平面向量的共线问题,证明向量共线(或平行)的主要方法和已知两向量共线求参数值的依据：,考点29 平面向量的基本定理及坐标运算,考点29,考法4,平面向量的共线问题,考点29 平面向量的基本定理及坐标运算,考点29,考法5,平面向量坐标表示与运算,1.求平面向量的坐标 (1)平移法:将向量的起点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标； (2)用表
11、示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 2.平面向量的坐标运算 主要依据相关公式计算即可,考点29 平面向量的基本定理及坐标运算,考点29,考法5,平面向量的坐标表示与运算,考点29 平面向量的基本定理及坐标运算,考点29,考法5,平面向量的坐标表示与运算,考点29 平面向量的基本定理及坐标运算,考点29,考法5,平面向量的坐标表示与运算,考点29 平面向量的基本定理及坐标运算,目录,600分基础 考点考法考点30 平面向量的数量积考点31 平面向量的应用 700分基础 考点考法综合问题8 平面向量数量积与其他知识的综合应用,第2节 平面向量的数量积及其应用,考点30 平面向量的数量积,一、平
12、面向量数量积的基本概念 1.向量的夹角,2.数量积的定义,3.投影,4.数量积的几何意义,数量积是个数值，可正可负可为零,考点30 平面向量的数量积,考点30 平面向量的数量积,二、平面向量数量积的性质与运算律,三、平面向量数量积的坐标表示,考点30 平面向量的数量积,考法1 平面向量的数量积运算,考法2 平面向量的垂直问题,平面向量的数量积,考点30,考点30 平面向量的数量积,考点30,考法1,平面向量的数量积运算,1.利用坐标计算数量积 第一步,根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标,求解过程要注意方程思想的应用； 第二步,根据数量积的坐标公式进行运算即可 2.根据定义计算数量积 求
13、向量 a,b的数量积ab,有以下两种思路： (1)若两个向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同,需要通过平移使它们的起点重合,然后再计算. (2)根据图形之间的关系,用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a,b,然后再根据平面向量的数量积的定义和性质进行计算求解 3.根据数量积求参数的值 若已知两平面向量的数量积，则根据坐标公式或定义列出含有参数的数量积的等式，再解方程即可.,考点30 平面向量的数量积,考点30,考法1,平面向量的数量积运算,考点30 平面向量的数量积,考点30,考法1,平面向量的数量积运算,考点30 平面向量的数量积,考点3
14、0,考法1,平面向量的数量积运算,考点30 平面向量的数量积,考点30,考法1,平面向量的数量积运算,考点30 平面向量的数量积,考点30,考法2,平面向量的垂直问题,1.利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题 第一,计算出这两个向量的坐标； 第二,根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可2.已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数,考点30 平面向量的数量积,考点30,考法2,平面向量的垂直问题,考点30 平面向量的数量积,考点31 平面向量的应用,1.长度,2.夹角,考点31 平面向量的应用,考法3 平面向量的
15、模的相关问题,考法4 求平面向量的夹角,平面向量的应用,考点31,考点31 平面向量的应用,求解平面向量的模的相关问题,借助模的相关公式列出关系式求解即可.解题过程中应掌握以下方法和结论： （1）要掌握向量模的两种计算公式 （2）要掌握平面向量的一些简单的几何意义 （3）求解向量（或和向量）的模的取值范围时，可以通过有关坐标公式构造函数求解，也可以转化为基底表示的问题，或应用定义直接求解.,考点31,考法3,平面向量的模的相关问题,a为定值,则说明当表示向量的有向线段的起点确定后,其终点在以起点为圆心，以|a|为半径的圆上运动； 若a+b=a-b,则说明向量ab；若(a+b)(a-b)=0,则
16、说明a=b等.,考点31 平面向量的应用,考点31,考法3,平面向量的模的相关问题,考点31 平面向量的应用,考点31,考法3,平面向量的模的相关问题,考点31 平面向量的应用,考点31,考法3,平面向量的模的相关问题,考点31 平面向量的应用,考点31,考法3,平面向量的模的相关问题,考点31 平面向量的应用,求解两个非零向量之间的夹角的步骤： 第一步，由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积； 第二步，分别求出这两个向量的模；,考点31,考法4,求平面向量的夹角,第三步，根据公式 求解出这两个向量夹角的余弦值； 第四步，根据两个向量夹角的范围是0,及其夹角的余弦值,求出这两个向量的夹角,【注意】(1)向量a,b的夹角为锐角ab0且向量a,b不共线； (2)向量a,b的夹角为钝角ab0且向量a,b不共线,
