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1、导数题型总结（解析版）导数题型总结（解析版）体型一体型一:关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2 变更主元；3 根分布；4 判别式法5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想” ，创建不等关系求出取值范围。注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令得到两个根；0)(xf第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实
2、质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0,=0,0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-（已知谁的范围就把谁作为主元） ；例 1：设函数在区间 D 上的导数为，在区间 D 上的导数为，若在区间 D( )yf x( )fx( )fx( )g x上，恒成立，则称函数在区间 D 上为“凸函数” ，已知实数 m 是常数，( )0g x ( )yf x4323( )1262xmxxf x （1）若在区间上为“凸函数” ，求 m 的取值范围；( )yf x0,3（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数” ，求的最2m
3、 m( )f x, a bba大值.解:由函数 得 4323( )1262xmxxf x 32 ( )332xmxfxx2( )3g xxmx（1） 在区间上为“凸函数” ，( )yf x0,3则 在区间0,3上恒成立 2( )30g xxmx解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max( )0gx (0)0302(3)09330gmgm 解法二：分离变量法： 当时, 恒成立,0x 2( )330g xxmx 当时, 恒成立03x2( )30g xxmx等价于的最大值（）恒成立，233xmxxx03x而（）是增函数，则3( )h xxx03xmax( )(3)2hxh2m(2)当时在区间上都
4、为“凸函数” 2m ( )f x, a b则等价于当时 恒成立 2m 2( )30g xxmx变更主元法再等价于在恒成立（视为关于 m 的一次函数最值问题）2( )30F mmxx2m 22( 2)023011(2)0230FxxxFxx 2ba -22例 2：设函数), 10(3231)(223Rbabxaaxxxf（）求函数 f（x）的单调区间和极值；（）若对任意的不等式恒成立，求 a 的取值范围. ,2, 1aax( )fxa（二次函数区间最值的例子）解：（）22( )433fxxaxaxaxa 01a令得的单调递增区间为（a,3a）, 0)( xf)(xf令得的单调递减区间为（，a）和
5、（3a，+）, 0)( xf)(xf当 x=a 时，极小值=当 x=3a 时，极大值=b. )(xf;433ba )(xf（）由|a，得：对任意的恒成立)(xf ,2, 1aax2243axaxaa 则等价于这个二次函数 的对称轴 ( )g xmaxmin( )( )gxagxa 22( )43g xxaxa2xa（放缩法）01,a12aaaa 即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。( )g x上是增函数. （9 分）22( )431,2g xxaxaaa、maxmin( )(2)21.( )(1)44.g xg aag xg aa 于是，对任意，不等式恒成立，
6、等价于2, 1aax(2)44,41.(1)215g aaaag aaa 、又, 10 a. 154 a点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系3aa( )f xa3a2xa1,2aa第三种：构造函数求最值题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型)()(xgxf0)()()(xgxfxh例 3；已知函数图象上一点处的切线斜率为，32( )f xxax(1, )Pb3326( )(1)3(0)2tg xxxtxt（）求的值；, a b（）当时，求的值域； 1,4x ( )f x（）当时，不等式恒成立，求实数 t 的取值范围。1,4x( )( )f xg x解：
7、（）， 解得 /2( )32fxxax/(1)3 1f ba 3 2a b （）由（）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减( )f x 1,00,22,4又 ( 1)4,(0)0,(2)4,(4)16ffff 的值域是( )f x 4,16（）令2( )( )( )(1)31,42th xf xg xxtxx 思路 1：要使恒成立，只需，即分离变量( )( )f xg x( )0h x 2(2 )26t xxx思路 2：二次函数区间最值二、参数问题题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法 1：转化为在给定区间上恒成立， 回归基础题型0)(0)(xfxf或解法 2：利用子区间
8、（即子集思想） ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b） ” ，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例 4：已知，函数Raxaxaxxf) 14(21 121)(23（）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；)()(xfxg)(xf（）如果函数是上的单调函数，求的取值范围)(xf),(a解：. ) 14() 1(41)(2axaxxf（） 是偶函数， . 此时， ( )fx1axxxf3121)(3341)(2xxf令，解得：. 0)( xf32x列表如下：x(,2)323(2,2)3
9、323(2,+)3)(xf +00+)(xf递增极大值递减极小值递增可知：的极大值为， 的极小值为. ( )f x34)32(f( )f x34)32(f（）函数是上的单调函数，)(xf),(，在给定区间 R 上恒成立判别式法21( )(1)(41)04fxxaxa则 解得：. 221(1)4(41)204aaaa ，02a综上，的取值范围是. a20 aa例 5、已知函数3211( )(2)(1) (0).32f xxa xa x a（I）求的单调区间；( )f x（II）若在0，1上单调递增，求 a 的取值范围。子集思想( )f x（I）2( )(2)1(1)(1).fxxa xaxxa
10、1、20,( )(1)0,afxx当时恒成立当且仅当时取“=”号，单调递增。 1x ( )(,)f x 在2、12120,( )0,1,1,afxxxaxx 当时由得且单调增区间：(, 1),(1,)a 单调增区间：( 1,1)aa-1-1( )f x（II）当 则是上述增区间的子集：( )0,1,f x在上单调递增0,11、时，单调递增 符合题意0a ( )(,)f x 在2、， 0,11,a10a 1a综上，a 的取值范围是0，1。 三、题型二：根的个数问题题 1 函数 f(x)与 g(x)（或与 x 轴）的交点=即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图” （即解导数不等式
11、）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” ；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组） ；主要看极大值和极小值与 0 的关系；第三步：解不等式（组）即可；例 6、已知函数，且在区间上为增函数23 2) 1( 31)(xkxxfkxxg31)()(xf), 2( （1）求实数的取值范围；k（2）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围)(xf)(xgk解：（1）由题意 在区间上为增函数，xkxxf) 1()(2)(xf), 2( 在区间上恒成立（分离变量法）0) 1()(2xkxxf), 2( 即恒成立，又，故的取值范围为 xk12x21k1kk
12、1k（2）设，31 2) 1( 3)()()(23 kxxkxxgxfxh) 1)() 1()(2xkxkxkxxh令得或由（1）知，0)( xhkx 1x1k当时，在 R 上递增，显然不合题意1k0) 1()(2xxh)(xh当时，随的变化情况如下表：1k)(xh)(xhxx),(kk) 1 ,(k1), 1 ( )(xh00)(xh极大值31 2623 kk极小值21k由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，021k)(xf)(xg0)(xh故需，即 ，解得031 2623 kk0)22)(1(2kkk 02212kkk31k综上，所求的取值范围为k31k根的个数知道，
13、部分根可求或已知。例 7、已知函数321( )22f xaxxxc（1）若1x 是( )f x的极值点且( )f x的图像过原点，求( )f x的极值；（2）若21( )2g xbxxd，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数( )g x的图像与函数( )f x的图像恒有含1x 的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。高 1 考 1资 1 源 2 网解：（1）( )f x的图像过原点，则 ，(0)00fc2( )32fxaxx又1x 是( )f x的极值点，则( 1)31 201faa 2( )32(32)(1)0fxxxxx3( )( 1)2fxf、222( )( )37fxf 、（2）设函数( )g x的图像与函数( )f x的图像恒存在含1x 的三个不同交点，等价于有含的三个根，即：( )( )f xg x1x 1( 1)( 1)(1)2fgdb 整理得：3221112(1)222xxxbxxb即：恒有含的三个不等实根3211(1)(1)022xbxxb1x （
