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1、第一章 集合与简易逻辑 问题一 集合中的创新问题 数学思维的创新是思维品质最高层次，以集合为背景的创新问题是近几年高考命题创新型 试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目 的，以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力 常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托 一、创新集合新定义 创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原 有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题 【例 1】若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所xA 1 A x 1 1, 0, 2,3 2 M 有非
2、空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A1 B3 C7 D31 【小试牛刀】 【2015 广东揭阳模拟】对于集合，定义函数对于两M 1, ( ) 1,xM, M xM fx 个集合，定义集合已知，,A B( )( )1 AB A Bx fxfx 2,4,6,8,10A ，则用列举法写出集合的结果为_1,2,4,8,12BA B 二、创新集合新运算 创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合 运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的 【例 2】 【2015 内蒙古北方重工业集团三中高三 12 月月考】如图所示的 Venn 图中
3、，是,A B 非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合若，ABxyR， ，则为( ) 2 2Ax yxx30 | x By yx ，AB A B2|0xx2|1xx C D1 |02xxx或1 |02xxx或 【小试牛刀】 【2015 安徽安庆一中、安师大附中联考】约定与是两个运算符号，其运 算法则如下：对任意实数a，b，有：ab，b(a2b21)设abab 2ab2，a，bZ，用列举法表示集合Ax|x2()ab ab b 三、创新集合新性质 创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结 合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题 【例 3】对于复数，若集合具有
4、性质“对任意，必有, , ,a b c d=, , ,Sa b c dxyS， ” ，则当Error!时，bcd等于( )xyS A1 B1 C0 Di 【小试牛刀】 【2015 湖北襄阳四中等四校高三下学期期中考试】已知集合M是由具有如下性 质的函数组成的集合：对于函数，在定义域内存在两个变量且时( )f x( )f x 12 ,x x 12 xx 有则下列函数； 1212 ()()f xf xxx( )(0) x f xex ln ( ) x f x x ；在集合 M 中的个数是( )f xx( )1sinf xx A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【迁移运用】 1 【2015 届广
5、东省汕头市澄海凤翔中学高三上学期第三次段考理科数学试卷】设整数，4n 集合令集合1,2,3,n 若 , , ,Sx y z x y zxyz yzx zxy且三条件恰有一个成立 和都在中，则下列选项正确的是（ ）, ,x y z, ,z w xS A， B，, ,y z wS, ,x y wS, ,y z wS, ,x y wS C， D，, ,y z wS, ,x y wS, ,y z wS, ,x y wS 2 【2014-2015 学年广东实验中学高二下学期期中文科数学试卷】设 S 为复数集 C 的非空子 集若对任意x,yS，都有xy,xy,xyS，则称 S 为封闭集。下列命题： 集合
6、Sabi|（a,b为整数，i为虚数单位）为封闭集；来源:学|科|网 若 S 为封闭集，则一定有0S； 封闭集一定是无限集； 若 S 为封闭集，则满足STC的任意集合T也是封闭集 上面命题中真命题共有哪些？（ ） A B C D来源:Zxxk.Com 3 【2015 届广东省揭阳市高中毕业班高考第一次模拟考试理科数学试卷】非空数集如果满A 足：；若对有，则称是“互倒集”.给出以下数集：0A,xA 1 A x A ； 2 |10xR xax 2 |410x xx ln1 |, ,1)(1, x y yxe xe .其中“互倒集”的个数是（ ） 2 2,0,1) 5 1 .1,2 xx xx x y
7、 y A4 B3 C2 D1 4 【2015 届广东省汕头市高三第一次模拟考试文科数学试卷】在整数集中，被除所得余5 数为的所有整数组成一个“类” ，记为，即，k k 5knk n ， ，给出如下四个结论：0k 1234 ； 20153 ； 22 ； 01234 整数，属于同一“类”的充要条件是“” ab 0ab 其中，正确结论的个数是（ ） A B C D1234 5 【2015 届山东省文登市高三上学期第一次考试理科数学试卷】对于任意两个正整数,m n 定义某种运算“”如下:当都为正偶数或正奇数 时,=;当中一个,m nmnmn,m n 为正偶数,另一个为正奇数时,=.则在此定义下,集合m
8、nmn( , )|Ma ba 中的元素个数是（ ）16b A.个 B.个 C.个 D.个18171615 6 【2015 届广东省中山一中等七校高三 12 月联考理科数学试卷】由无理数引发的数学危机一 直延续到 19 世纪.直到 1872 年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割” 来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理 数被认为“无理”的时代,也结束了持续 2000 多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金 分割,是指将有理数集划分为两个非空的子集与,且满足,QMNMN Q ,中的每一个元素都小于中的每一个元素,则称为戴德金分割.MN
9、 MN,M N 试判断,对于任一戴德金分割,下列选项中,不可能成立的是（ ）,M N A没有最大元素,有一个最小元素 MN B没有最大元素,也没有最小元素来源:学科网 ZXXKMN C有一个最大元素,有一个最小元素 MN D有一个最大元素,没有最小元素MN 7 【2014-2015 学年浙江省江山实验中学高二 4 月教学质检文科数学试卷】用表示非空( )n A 集合中的元素个数，定义若A ( )( ),( )( ) , ( )( ),( )( ) n An Bn An B A B n Bn An An B 当 当 ，设， 22 |140, |2014| 2013,Ax xaxaRBx xbxb
10、R |1Sb A B 则等于（ ）( )n S A4 B3 C2 D1 8 【2015 届福建省漳州市普通高中毕业班质量检查理科数学试卷】已知集合 12 , n x xx （n ，3n ），若数列 n x是等差数列，记集合 ,1, , ijij x xxxx xijn i j 的元素个数为 ，则 关于n的表达式为 9 【2015 届湖北省黄冈市高三上学期元月调研考试理科数学试卷】设集合 ，对的任意非空子集，定义中的最大元素，当 * 1,2,3, ()Mn nNMA( )f AA为 取遍的所有非空子集时，对应的的和为，则 ； 。AM( )f A n S 3 S n S 10 【2015 届北京市
11、海淀区高三下学期期中练习（一模）文科数学试卷】设全集 ，用的子集可表示由 0，1 组成的 6 位字符串，如：表示的是第1,2,3,4,5,6U= =U2,4 2 个字符为 1，第 4 个字符为 1，其余均为 0 的 6 位字符串 010100，并规定空集表示的字符 串为 000000 若，则表示的 6 位字符串为 ； ,3,6M 2 2 UM 若, 集合表示的字符串为 101001，则满足条件的集合的个数是 1,3A ABB 11 【2015 届湖南省益阳市高三四月调研考试理科数学试卷】已知为合数，且，k1100k 当的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为的“衍生质数” kk （1）若的“衍
12、生质数”为 2，则 ；kk （2）设集合，则集 |AP kP kk为的“ 衍生质数” |Bk P kk为的“ 衍生质数” 合中元素的个数是 AB 12 【2015 届安徽省江淮名校高三第二次联考理科数学试卷】已知集合 M=，对于任意实数对，存在实数对（x1，y2）使得( , )|( )x yyf x 11 ( ,)x yMM x1x2+y1y2=0 成立，则称集命 M 是：“孪生对点集” 。给出下列五个集合 1 ( , )Mx y y x ( , )|2 x Mx yye ( , )|sin Mx yyx 2 ( , )|1Mx yyx ( , )|1Mx yynx 其中不是“孪生对点集”的序
13、号是 。 13 【2014-2015 学年上海市金山中学高一上学期期末考试数学试卷】定义全集的子集的UA 特征函数为，这里表示在全集中的补集，那么对于集合 ACx Ax xf U A , 0 1 )( ， ACUAU ，下列所有正确说法的序号是 UBA、 （1） )()(xfxfBA BA （2）( )1( ) U AA fxfx （3） ( )( )( ) A BAB fxfxfx （4）( )( )( ) A BAB fxfxfx 14 【百强校 2015 届湖北省黄冈中学等八校高三 12 月联考理科数学试卷】以（0, m）间的整 数N）为分子，以 m 为分母组成分数集合 A1，其所有元素和为 a1；以间的mm, 1(), 0( 2 m 整数N）为分子，以为分母组成不属于集合 A1的分数集合 A2，其所有元素和mm, 1( 2 m 为 a2； ，依次类推以间的整数N）为分子，以为分母组成不属于), 0( n mmm, 1( n m A1，A2， ，的分数集合 An，其所有元素和为 an；则=_ 1n A n aaa 21 15 【2015 届上海市闸北区高三上学期期末练习理科数学试卷】对于集合，定义了一种运A 算“” ，使得集合中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都AeAAa
