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1、2006 年考研数学三真题一、填空题（16 小题，每小题 4 分，共 24 分。 ）(1) 。lim ( + 1)( 1)=【答案】1。【解析】【方法一】记因为且= ( + 1)( 1), lim 2= lim 2 + 1 2= 1, 故。lim 2 + 1= lim (2 + 22 + 1) 1= 1, lim = 1【方法二】而lim ( + 1)( 1)= lim ( 1) + 1, 为有界变量，则lim + 1= lim ln(1 +1 )= 0(无穷小量)，( 1)原式。= 0= 1综上所述，本题正确答案是 。1【考点】高等数学函数、极限、连续极限的四则运算(2)设函数在的某领域内可
2、导，且则() = 2()= (),(2)= 1, 。(2)=【答案】。23【解析】本题主要考查复合函数求导。由知()= ()()= ()()= () ()= 2()()= 2() 2()= 23()(2)= 23(2)= 23。综上所述，本题正确答案是。23【考点】高等数学一元函数微分学复合函数的导数(3)设函数可微，且则在点处的全()(0)=1 2, = (42 2)(1,2)微分 。|(1,2)=【答案】4 2。【解析】因为 |(1,2)= (42 2) 8|(1,2)= 4, |(1,2)= (42 2)( 2)|(1,2)= 2所以。|(1,2)= |(1,2) + |(1,2) =
3、4 2综上所述，本题正确答案是4 2。【考点】高等数学多元函数微积分学偏导数、全微分(4)设矩阵， 为二阶单位矩阵，矩阵 满足， =21 1 2 = + 2则_。|=【答案】2。【解析】 = + 2( )= 2|( )|=|2| |= 22= 4因为，所以。| |=|11 1 1|= 2|= 2综上所述，本题正确答案是 。2【考点】线性代数行列式行列式的概念和基本性质线性代数矩阵矩阵的线性运算(5)设随机变量 与 相互独立，且均服从区间上的均匀分布，0,3则_。, 1=【答案】 。1 9【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。事件又根据, 1= 1, 1= 1 1
4、, 相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出, 1=1 31 3=1 9。综上所述，本题正确答案是 。1 9【考点】概率论多维随机变量的分布二维随机变量的分布(6)设总体 的概率密度为()=1 2|( 0,() 0在点处的增量，与分别为在点处对应的增量与微0()0分，若，则 0(A) (B)0 (0)+ (0), 0，即(0+ ) (0) (0) 0, 00 | 2| 2(C) (D)1 2【答案】A。【解析】由于 与 的分布不同，不能直接判断和| 1| | 2| 2(1 2) 1, (1 1) (1 2), 1 11 2, 1 0, 0, (I)()=lim + (,);(II)lim 0+(
5、)【解析】本题主要考查洛必达法则和等价无穷小的替换。(I)在求时 为固定的正数，则lim + (,)lim + 1 + =1 ,lim + =lim + (等价无穷小的替换)= 则。()=lim + (,)=1 1 (II)=lim 0+()lim 0+(1 1 )+ lim 0+ = lim 0+ + = lim 0+ 2+ (等价无穷小替换)= lim 0+11 + 2 12+ (洛必达法则)。= lim 0+ 21 + 2 2+ = 【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的比较、洛必达法则(16)（本题满分 7 分）计算二重积分其中 是由直线 2 , 所围成的平面区域。 = , = 1
6、, = 0【解析】画出二重积分，将二重积分化为累次积分即可。积分区域如左图，因为根号下的函数为关于 的一次函数，先 后积分较容易，所以：2 =1002 =2 31 0(2 )3 2|0。=2 31 02 =2 9【考点】高等数学多元函数微积分学二重积分的计算(17)（本题满分 10 分）证明：当时，0 + 2 + = 011【解析】本题可构造函数，利用函数的单调性来证明。设()= + 2 + 0,则()= + 2 + = + ()= = ()= 0 (0,)因此，在上单调增，当时，()0,0 ()即 。 + 2 + + 2 + 【考点】高等数学函数、极限、连续基本初等函数的性质(18)（本题满
7、分 8 分）在坐标平面上，连续曲线 过点其上任意点0(0,1), 处的切线斜率与直线的斜率之差等于(,)( 0)。(常数 0)(I)求 的方程；(II)当 与直线所围成的平面图形的面积为 时，确定 的值。 = 8 3【解析】本题需要利用导数的几何意义建立微分方程，用定积分计算图形的面积。(I)设曲线 的方程为则由题设可得这是一阶 = (), = , 线性微分方程，其中代入通解公式得()=1 ,()= , = 1 (1 + )= ( + )= 2+ ,又所以(1)= 0, = ,故曲线 的方程为 = 2 ( 0)。(II) 与直线所围成平面图形如下图所示，所以： = ( 0) =20 (2 )
8、= 20(2 2)故=4 3 =8 3, = 2。【考点】高等数学函数、极限、连续基本初等函数的性质高等数学常微分方程与差分方程一阶线性微分方程(19)求幂级数的收敛域及和函数 = 1( 1) 12 + 1 (2 1)()。【解析】因为幂级数缺项，按函数项技术收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数。记则()=( 1) 12 + 1 (2 1), lim | + 1()()|= |( 1)2 + 3 ( + 1)(2 + 1)( 1) 12 + 1 (2 1)|=|2,所以即时，所给幂级数收敛；当时,所给幂级|2 1数发散；当时，所给幂级数为均收敛，故所 =
9、1( 1) 1 (2 1),( 1) (2 1)给幂级数的收敛域 1,1.在内，( 1,1),()= = 1( 1) 12 + 1 (2 1)= 2 = 1( 1) 12 (2)(2 1)= 21()而, 1()= = 1( 1) 12 1 2 11()= = 1( 1) 12 2=11 + 2,102 = 所以 1() 1(0)=0 1() =011 + 2 = , 又于是同理 1(0)= 0, 1()= , 1() 1(0)=0 1() =0= |001 + 2 = 1 2ln(1 + 2),又所以1(0)= 0, 1()= 1 2ln(1 + 2),故()= 22 ln(1 + 2), ( 1,1).由于所给幂级数在处都收敛，且 = 1在处连续，所以在()= 22 ln(1 + 2) = 1()成立，即 = 1()= 22 ln(1 + 2), 1,1。【考点】高等数学无穷级数理幂级数及其收敛域、幂级数的和函数(20)（本题满分 13 分）设四维向量组1 = (1 + ,1,1,1),2= (2,2 + ,2
