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1、 BornBorn toto winwin 1 19961996 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分, ,把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).) (1) 设,则_. 2 lim()8 x x xa xa a (2) 设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面垂直,则此平面方程为428xyz _. (3) 微分方程的通解为_.22 x yyye (4) 函数在点处沿点指向点方向的方向导数 22 ln()uxyz(1,0
2、,1)AA(3, 2,2)B 为_. (5) 设是矩阵,且的秩,而,则_.A4 3A( )2r A 102 020 103 B ()r AB 二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,只有一只有一 项符合题目要求项符合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.).) (1) 已知为某函数的全微分,则等于 ( ) 2 () () xay dxydy xy a (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (2) 设有
3、二阶连续导数,且,则 ( )( )f x(0)0 f 0 ( ) lim1 | x fx x (A) 是的极大值 (0)f( )f x (B) 是的极小值 (0)f( )f x (C) 是曲线的拐点 (0,(0)f( )yf x (D) 不是的极值,也不是曲线的拐点 (0)f( )f x(0,(0)f( )yf x (3) 设,且收敛,常数,则级数0(1,2,) n anL 1 n n a (0,) 2 2 1 ( 1) ( tan) n n n na n ( ) (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与有关 BornBorn toto winwin 2 (4) 设有
4、连续的导数,且当( )f x(0)0f(0)0 f 22 0 ( )() ( ) x F xxtf t dt 0x 时,与是同阶无穷小,则等于 ( )( )F x k xk (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (5) 四阶行列式的值等于 ( ) 11 22 33 44 00 00 00 00 ab ab ba ba (A) (B) 12341 2 3 4 a a a abb b b 12341 2 3 4 a a a abb b b (C) (D) 121 2343 4 ()()a abba ab b 232 3141 4 ()()a ab ba abb 三、三、( (本题共本题共
5、 2 2 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1010 分分.).) (1) 求心形线的全长,其中是常数.(1 cos )ra0a (2) 设,试证数列极限存在,并求此极限. 1 10x 1 6(1,2,) nn xxn L n x 四、四、( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 6 6 分分, ,满分满分 1212 分分.).) (1) 计算曲面积分,其中为有向曲面,其(2) S xz dydzzdxdy S 22(0 1)zxyz 法向量与轴正向的夹角为锐角.z (2) 设变换可把方程化简为,求常数,其 2 ,uxy uxay 222 22 60 zzz
6、 xx yy 2 0 z u v a 中有二阶连续的偏导数.( , )zz x y 五、五、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 求级数的和. 2 2 1 (1)2n n n 六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 设对任意,曲线上点处的切线在轴上的截距等于0x ( )yf x( ,( )x f xy ,求的一般表达式. 0 1 ( ) x f t dt x ( )f x 七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) BornBorn toto winwin 3 设在上具有二阶导数,且满足条件,其中都是非( )f x0,1|( )|f xa|( )|fxb, a b 负
7、常数,是(0,1)内任一点,证明.c|( )| 2 2 b fca 八、八、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 设,其中是阶单位矩阵,是维非零列向量,是的转置,证明： T AEEnn T (1) 的充要条件是；(2) 当时,是不可逆矩阵. 2 AA1 T 1 T A 九、九、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 已知二次型的秩为 2. 222 123123121323 ( ,)55266f x x xxxcxx xx xx x (1) 求参数及此二次型对应矩阵的特征值；c (2) 指出方程表示何种二次曲面. 123 ( ,)1f x x x 十、填空题十、填空题( (本题共本题共
8、 2 2 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 6 6 分分.).) (1) 设工厂和工厂的产品的次品率分别为 1%和 2%,现从由和的产品分别占 60%ABAB 和 40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属生产的概率是A _. (2) 设、是两个相互独立且均服从正态分布的随机变量,则随机变量 2 1 (0,() ) 2 N 的数学期望_.()E 十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分.).) 设、是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布律为, 1 3 Pi =1,2,3,又设,.imax( , )X min( , )Y (1) 写出二维随机
9、变量的分布律：(, )X Y X Y123 1 2 3 BornBorn toto winwin 4 (2) 求随机变量的数学期望.X()E X 19961996 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分, ,把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).) (1)【答案】ln2 【解析】这是型未定式求极限.1 方法一：方法一： , 3 3 23 lim()lim(1) x aax x ax a xx xaa xaxa 令,则当
10、时, 3a t xa x 0t 则 , 1 3 0 3 lim(1)lim(1) x a at xt a te xa 即 . 33 limlim 3 1 2 lim() xx axa xa x a x xa eee xa 由题设有,得. 3 8 a e 1 ln8ln2 3 a BornBorn toto winwin 5 方法二：方法二：, 2 2 2 3 () 22 2 1lim 1 1 2 limlimlim 1 1 lim 1 x xa x a x a x a xxa xxx a a x aa a xaexx x e a xae a a x x x 由题设有,得. 3 8 a e 1
11、ln8ln2 3 a (2)【答案】2230xyz 【解析】方法一：方法一：所求平面过原点与,其法向量；O 0(6, 3,2) M 0 6, 3,2nOM ruuuuu r 平面垂直于已知平面,它们的法向量也互相垂直：；428xyz 0 4, 1,2nn ru u r 由此, . 00 /632446 412 ijk nOMnijk ruuuuu ru u rrrr 取,则所求的平面方程为.223nijk rrrr 2230xyz 方法二：方法二：所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点的向 0(6, 3,2) M 量,另一是平面的法向量)平行的平面, 0 6, 3,2OM u
12、uuuu r 428xyz 0 4, 1,2n u u r 即 ,即 .6320 412 xyz 2230xyz (3)【答案】 12 (cossin1) x e cxcx 【解析】微分方程所对应的齐次微分方程的特征方程为22 x yyye ,解之得.故对应齐次微分方程的解为. 2 220rr 1,2 1ri 12 (cossin ) x ye CxCx 由于非齐次项不是特征根,设所给非齐次方程的特解为,代入,1 x e *( )x yxae 得(也不难直接看出),故所求通解为 22 x yyye1a *( )x yxe . 1212 (cossin )(cossin1) xxx ye CxC
13、xee CxCx 【相关知识点】 二阶线性非齐次方程解的结构：设是二阶线性非齐次方程 *( ) yx 的一个特解.是与之对应的齐次方程( )( )( )yP x yQ x yf x( )Y x BornBorn toto winwin 6 的通解,则是非齐次方程的通解.( )( )0yP x yQ x y * ( )( )yY xyx 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解 ,可用特征方程法求解：即中的、均是常数,方( )Y x( )( )0yP x yQ x y( )P x( )Q x 程变为.其特征方程写为,在复数域内解出两个特征根0ypyqy 2 0r
14、prq ； 12 ,r r 分三种情况： (1) 两个不相等的实数根,则通解为 12 ,r r 12 12 ; rxr x yC eC e (2) 两个相等的实数根,则通解为 12 rr 1 12 ; rx yCC x e (3) 一对共轭复根,则通解为其中 1,2 ri 12 cossin. x yeCxCx 为常数. 12 ,C C 对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解,可用待( )( )( )yP x yQ x yf x *( ) yx 定系数法,有结论如下： 如果则二阶常系数线性非齐次方程具有形如( )( ), x m f xP x e *( ) ( ) kx m yxx Qx e 的特解,其中
