《2001年考研数学二试题答案与解析》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2001年考研数学二试题答案与解析(13页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、NBF 辅导,真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导,全程包过,不过退款! QQ 客服:296312040 2001 年考研数学二试题分析 年考研数学二试题分析 (NBF 真题计划:公共课最准,专业课最全!) (NBF 真题计划:公共课最准,专业课最全!) 一、填空题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分) (1)2131lim2xxx xx+=+ 答答 应填 2.6 分析分析 解法 1 解法 1 2131lim2xxx xx+ + () ()()()2112 1lim 23112lim.622xxxxxxxx= + +=+解法解法 2 原式 111 2 32 1l
2、im21xxx x=+01112lim.6631xxx=+=+(2)设函数( )()2cos1xyyf xexye+= 由方程所确定,则曲线( )yf x=在点()0,1处的法线方程为 答答 应填 220.xy+= 分析分析 解解 对方程()2cos1xyexye+= 两边同时对x求导得 ()22sin0,xydydyexyyxdxdx+=将0,1xy=代入解得0 12,x ydy dx= = 故所求的法线方程为220.xy+= NBF 辅导,真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导,全程包过,不过退款! QQ 客服:296312040 (3)()32222sincosxxxdx+=答答
3、应填 8分析分析 这是对称区间上的定积分,一般都可利用积分性质而化简计算,所以 ()322222202sincos2sincosxxxdxxxdx+=()24202sinsin32.44 2 28xx dx=(4)过点1,02且满足关系式2arcsin1 1yyx x+= 的曲线方程为 答答 应填 1arcsin.2yxx= 分析分析 题目中把2arcsin1 1yyx x+= 称为“关系式”而不是方程,就是提醒考生还有更方便的解法,事实上,等式的左端等于()arcsin,yx关系式变成()arcsin1yx =,两边积分得 arcsin,yxxC=+ 再以110.22yC = 代入得 (5)
4、设方程123111111112axaxax=有无穷多个解,则a= 答答 应填 -2 分析分析 利用增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩, 且使其秩小于3的方法确定a的 值。 111111111111112222 0aaaaaaaa?+故当2a =时,增广矩阵的秩与系数矩阵的秩都等于2,从而原方程有无穷多 个解。 NBF 辅导,真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导,全程包过,不过退款! QQ 客服:296312040 二、选择题二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) (1)设( )11,0,1,xf xx=,则( )ff f x等于 (A)0 (B)1 (C)11,0,1,xx,(D
5、)1,1,1,xx0,答答 应选 B 分析分析 由于( )( )1,1,f xf f x=故因而 ( )1ff f x=(2)设当0x时,()()21cosln 1xx+是比sinnxx高阶的无穷小,而sinnxx是比()21xe高阶的无穷小,则正整数n等于 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 答 应选B 分析 这是无穷小比较的题,把题中的每个无穷小都用其等价无穷小代替,便可得到正确的答案,事实上当0x时,()()2411cosln 1,2xxx+1sin,nnxxx+221,xex故应选n=2. (3)曲线() ()2213yxx=的拐点个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 答
6、答 应选 C 分析分析 本题的曲线是对称于直线2x=的,所以,它或者没有拐点或者只有 2 个 拐点,因此 B、D 排除,又 ()()()4123 ,yxxx= 对导函数y应用罗尔中值定理,y有两个零点,从而知原曲线有两个拐点。也可直接求函数的二阶导数的零点,再判断在零点左右附近的二阶导数是否变号。 (4)已知函数( )f x在区间()1,1+内具有二阶导数,( )fx严格单调减少,且( )( )111,ff=则 (A)在()()1,11,1+和内均有( )f xx (C)在()1,1内,( )f xx NBF 辅导,真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导,全程包过,不过退款! QQ 客服
7、:296312040 (D)在()1,1内,( )f xx,在()1,1+内,( )f xx,所以选项( ) ( )AC、可以排除,此外由( )yf x=的图形可知,在0x部分( )fx有两个零点,在较小的零点左侧,( )yf x=单调增加,因此( )0fx 。由此可知( )B应排除。因此本题选( )D。 三、三、(本题满分 6 分) NBF 辅导,真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导,全程包过,不过退款! QQ 客服:296312040 求 ()22. 211dxxx+分析分析 这是一道常规的不定积分题,用换元法解即可。 解解 设2tan ,sec.xu dxudu= 原式()222
8、cos 2sincoscos2tan1duudu uuuu=+()22sin 1sin arctan sinarctan 1du u uCxC x=+ =+=+四、四、(本题满分6分) 求极限sinsinsinlim,sinx txtxt x记此极限为( )f x,求函数( )f x的间断点并指出其类型。 解解 因( )sinlimlnsinsinsin,txxt txxf xe= 而由洛必达法则得,cos sinsinlimlnlim,sinsinsincossintxtxt xtxtxtxxtx=故 ( )sin,x xf xe=由此表达式知()01,2,xxkk?= 及都是( )f x的
9、间断点。 由于( )sin00limlim,x xxxf xee = 所以( )0xf x= 是的可去(或第一类)间断点;而()1,2,xkk?= 均为第二类(或无穷)间断点。 五五、(本题满分8分) 设 ( )x=是抛物线yx=上任一点()(),1M x yx处的曲率半径,( )ss x=是该抛物线上介于点()1,1AM与之间的弧长,计算2223dd dsds的值。 (在直角坐标系下曲率公式为 ()3 221yk y= +) NBF 辅导,真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导,全程包过,不过退款! QQ 客服:296312040 分析分析 曲率半径( )x与弧长( )s xx都是的函
10、数,所以求22dd dsds与即参数方程求导。 解解 311,.24yyxx= 所以抛物线在点(),M x y处的曲率半径 ( )()()3 223 2 11141;2yxxky+=+ 抛物线上AM的弧长 ( )211111.4xxss xy dxdxx=+=+由参数方程求导公式得 ()1 21 24142 36,114dxddxxdsds dxx + = +221616,214114ddd dsdsdx dsxx dxx=+从而 ()223 223641369241ddxxdsdsx=+=+3 六、六、(本题满分7分) 设函数( )f x在)0 +,上可导,( )00f=,且其反函数为( )
11、,g x若 ( )( )( )20,.f xxg t dtx ef x=求 分析分析 等式两边求导,利用( )g f xx=便可解得( )f x 解解 等式两边对x求导得 ( )( )22.xxg f xfxxex e=+而( )g f xx=,故 NBF 辅导,真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导,全程包过,不过退款! QQ 客服:296312040 ( )22.xxxfxxex e=+ 当0x时,( )2,xxfxexe=+ 积分得 ( )()1.xf xxeC=+ 由于( )f x在0x=处右连续,故由 ( )( )() 0000limlim1,xxxff xxeC +=+得(
12、)()1,11.xCf xxe=+因此 七、七、(本题满分7分) 设函数( )( ),f xg x满足( )( )( )( )( )( ),2,00,02,xfxg xgxef xfg=且 求( )( )()20.11g xf xdxxx+分析分析 本题实质是分两部分:求( )f x;计算所求积分,第一部分是解微分方程;第二部分求积分2,先利用题设条件进行运算,最后再代入( )f x的式子得解。 解法解法1 由( )( )( )( )( )2,xfxg xfxgxef x=得 于是有 ( )( )( )( )2,00,02,xfxf xeff+=解之得 ( )sincos,xf xxxe=+
13、又 ( )( )()2011g xf xdxxx+( )()( )()( )()( )()( )( )( )( )202000111 1110.111g xxf xdx xfxxf xf xdxdxxf xfefx += +=+=+解法解法2 同解法1 ,得( )sincos,xf xxxe=+ NBF 辅导,真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导,全程包过,不过退款! QQ 客服:296312040 又 ( )( )()2011g xf xdxxx+( )( )( )( )( )( )( )( )( )00000001 111 1110111 1.1g xdxf x dxx g xfxdxf xdxxxx fg xg xfdxdxxx e =+=+=+ +=+八、八、(本题满分8分) 设L是一条平面曲线, 其上任意一点()(),0P x yx到坐标原点的距离, 恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点1,02(1) 试求曲线L的方程; (2) 求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图 形的面积最小。 分析分析 第一问显然是解微分方程的定解问题,其中关键是列出微分方程;第二 问是最值问题,关键是写出图形面积的表达式。 解 解 (1)设