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1、NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 2001 年考研数学二试题分析 年考研数学二试题分析 (NBF 真题计划：公共课最准，专业课最全!) (NBF 真题计划：公共课最准，专业课最全!) 一、填空题一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分) （1）2131lim2xxx xx+=+ 答答 应填 2.6 分析分析 解法 1 解法 1 2131lim2xxx xx+ + () ()()()2112 1lim 23112lim.622xxxxxxxx= + +=+解法解法 2 原式 111 2 32 1l
2、im21xxx x=+01112lim.6631xxx=+=+（2）设函数( )()2cos1xyyf xexye+= 由方程所确定，则曲线( )yf x=在点()0,1处的法线方程为 答答 应填 220.xy+= 分析分析 解解 对方程()2cos1xyexye+= 两边同时对x求导得 ()22sin0,xydydyexyyxdxdx+=将0,1xy=代入解得0 12,x ydy dx= = 故所求的法线方程为220.xy+= NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 （3）()32222sincosxxxdx+=答答
3、应填 8分析分析 这是对称区间上的定积分，一般都可利用积分性质而化简计算，所以 ()322222202sincos2sincosxxxdxxxdx+=()24202sinsin32.44 2 28xx dx=（4）过点1,02且满足关系式2arcsin1 1yyx x+= 的曲线方程为 答答 应填 1arcsin.2yxx= 分析分析 题目中把2arcsin1 1yyx x+= 称为“关系式”而不是方程，就是提醒考生还有更方便的解法，事实上，等式的左端等于()arcsin,yx关系式变成()arcsin1yx =，两边积分得 arcsin,yxxC=+ 再以110.22yC = 代入得 （5）
4、设方程123111111112axaxax=有无穷多个解，则a= 答答 应填 -2 分析分析 利用增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩， 且使其秩小于3的方法确定a的 值。 111111111111112222 0aaaaaaaa?+故当2a =时，增广矩阵的秩与系数矩阵的秩都等于2，从而原方程有无穷多 个解。 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 二、选择题二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分) （1）设( )11,0,1,xf xx=，则( )ff f x等于 （A）0 （B）1 （C）11,0,1,xx，（D
5、）1,1,1,xx0，答答 应选 B 分析分析 由于( )( )1,1,f xf f x=故因而 ( )1ff f x=（2）设当0x时，()()21cosln 1xx+是比sinnxx高阶的无穷小，而sinnxx是比()21xe高阶的无穷小，则正整数n等于 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 答 应选B 分析 这是无穷小比较的题，把题中的每个无穷小都用其等价无穷小代替，便可得到正确的答案，事实上当0x时，()()2411cosln 1,2xxx+1sin,nnxxx+221,xex故应选n=2. （3）曲线() ()2213yxx=的拐点个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 答
6、答 应选 C 分析分析 本题的曲线是对称于直线2x=的，所以，它或者没有拐点或者只有 2 个 拐点，因此 B、D 排除，又 ()()()4123 ,yxxx= 对导函数y应用罗尔中值定理，y有两个零点，从而知原曲线有两个拐点。也可直接求函数的二阶导数的零点，再判断在零点左右附近的二阶导数是否变号。 （4）已知函数( )f x在区间()1,1+内具有二阶导数，( )fx严格单调减少，且( )( )111,ff=则 （A）在()()1,11,1+和内均有( )f xx （C）在()1,1内，( )f xx NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服
7、：296312040 （D）在()1,1内，( )f xx，在()1,1+内，( )f xx，所以选项( ) ( )AC、可以排除，此外由( )yf x=的图形可知，在0x部分( )fx有两个零点，在较小的零点左侧，( )yf x=单调增加，因此( )0fx 。由此可知( )B应排除。因此本题选( )D。 三、三、（本题满分 6 分） NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 求 ()22. 211dxxx+分析分析 这是一道常规的不定积分题，用换元法解即可。 解解 设2tan ,sec.xu dxudu= 原式()222
8、cos 2sincoscos2tan1duudu uuuu=+()22sin 1sin arctan sinarctan 1du u uCxC x=+ =+=+四、四、（本题满分6分） 求极限sinsinsinlim,sinx txtxt x记此极限为( )f x，求函数( )f x的间断点并指出其类型。 解解 因( )sinlimlnsinsinsin,txxt txxf xe= 而由洛必达法则得，cos sinsinlimlnlim,sinsinsincossintxtxt xtxtxtxxtx=故 ( )sin,x xf xe=由此表达式知()01,2,xxkk?= 及都是( )f x的
9、间断点。 由于( )sin00limlim,x xxxf xee = 所以( )0xf x= 是的可去（或第一类）间断点；而()1,2,xkk?= 均为第二类（或无穷）间断点。 五五、（本题满分8分） 设 ( )x=是抛物线yx=上任一点()(),1M x yx处的曲率半径，( )ss x=是该抛物线上介于点()1,1AM与之间的弧长，计算2223dd dsds的值。 （在直角坐标系下曲率公式为 ()3 221yk y= +） NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 分析分析 曲率半径( )x与弧长( )s xx都是的函
10、数，所以求22dd dsds与即参数方程求导。 解解 311,.24yyxx= 所以抛物线在点(),M x y处的曲率半径 ( )()()3 223 2 11141;2yxxky+=+ 抛物线上AM的弧长 ( )211111.4xxss xy dxdxx=+=+由参数方程求导公式得 ()1 21 24142 36,114dxddxxdsds dxx + = +221616,214114ddd dsdsdx dsxx dxx=+从而 ()223 223641369241ddxxdsdsx=+=+3 六、六、（本题满分7分） 设函数( )f x在)0 +，上可导，( )00f=，且其反函数为( )
11、,g x若 ( )( )( )20,.f xxg t dtx ef x=求 分析分析 等式两边求导，利用( )g f xx=便可解得( )f x 解解 等式两边对x求导得 ( )( )22.xxg f xfxxex e=+而( )g f xx=，故 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 ( )22.xxxfxxex e=+ 当0x时，( )2,xxfxexe=+ 积分得 ( )()1.xf xxeC=+ 由于( )f x在0x=处右连续，故由 ( )( )() 0000limlim1,xxxff xxeC +=+得(
12、)()1,11.xCf xxe=+因此 七、七、（本题满分7分） 设函数( )( ),f xg x满足( )( )( )( )( )( ),2,00,02,xfxg xgxef xfg=且 求( )( )()20.11g xf xdxxx+分析分析 本题实质是分两部分：求( )f x；计算所求积分，第一部分是解微分方程；第二部分求积分2，先利用题设条件进行运算，最后再代入( )f x的式子得解。 解法解法1 由( )( )( )( )( )2,xfxg xfxgxef x=得 于是有 ( )( )( )( )2,00,02,xfxf xeff+=解之得 ( )sincos,xf xxxe=+
13、又 ( )( )()2011g xf xdxxx+( )()( )()( )()( )()( )( )( )( )202000111 1110.111g xxf xdx xfxxf xf xdxdxxf xfefx += +=+=+解法解法2 同解法1 ，得( )sincos,xf xxxe=+ NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 又 ( )( )()2011g xf xdxxx+( )( )( )( )( )( )( )( )( )00000001 111 1110111 1.1g xdxf x dxx g xfxdxf xdxxxx fg xg xfdxdxxx e =+=+=+ +=+八、八、（本题满分8分） 设L是一条平面曲线， 其上任意一点()(),0P x yx到坐标原点的距离， 恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点1,02（1） 试求曲线L的方程； （2） 求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图 形的面积最小。 分析分析 第一问显然是解微分方程的定解问题，其中关键是列出微分方程；第二 问是最值问题，关键是写出图形面积的表达式。 解 解 （1）设
