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1、第三章第三章 导数及其应用导数及其应用3.1 3.1 导数导数3.2 3.2 用导数研究函数用导数研究函数3.3 3.3 应用应用两个问题 1.1.求变速直线运动的瞬时速度问题求变速直线运动的瞬时速度问题0sss 0s0在直线上引入坐标原点在直线上引入坐标原点 0 和单位长度和单位长度)(00tfs 设动点于时刻设动点于时刻 t 在数轴上的位置的坐标为在数轴上的位置的坐标为 s: )(tfs )(tfs )(00ttfss s 如图：一质点沿直线运动，求其在某一时刻如图：一质点沿直线运动，求其在某一时刻的速度的速度0t考虑质点在时段考虑质点在时段,00ttt 上的平均速度上的平均速度所花的时间
2、所花的时间经过的路程经过的路程 vts ttfttf )()(003.1 导数导数（1）若质点作匀速直线运动，则上述比值恒为一常数）若质点作匀速直线运动，则上述比值恒为一常数（2）若质点作非匀速直线运动，则上述比值与）若质点作非匀速直线运动，则上述比值与 t 有关有关0sss 0s0)(00tfs )(tfs )(00ttfss s 考虑质点在时段考虑质点在时段,00ttt 上的平均速度上的平均速度所花的时间所花的时间经过的路程经过的路程 vts ttfttf )()(00它仅为质点在它仅为质点在0t时刻速度的近似值。时刻速度的近似值。0|ttv tst 0limttfttft )()(lim
3、0000t，即为质点在，即为质点在时刻的（瞬时）速度。时刻的（瞬时）速度。0sss 0s0)(00tfs )(tfs )(00ttfss s 考虑质点在时段考虑质点在时段,00ttt 上的平均速度上的平均速度所花的时间所花的时间经过的路程经过的路程 vts ttfttf )()(000|ttv tst 0limttfttft )()(lim000若记若记,0ttt ,000ttttt 时时则当则当0|ttv tst 0lim 00)()(lim0tttftftt 点点P P处的切线处的切线LPQ T切线PT切点 2.2.曲线的切线问题曲线的切线问题 T0xxoxy )(xfy CNM如图如图,
4、 如果割线如果割线 MN 绕绕 点点 M 旋转而趋向极限位旋转而趋向极限位 置置 MT , 直线直线 MT 就称为就称为 曲线曲线 C 在点在点 M 处的处的切线切线.极限位置即极限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT tanlimtan0xxk . .)()(lim000xxxfxfxx 存在存在, 则称此极限为函数则称此极限为函数 y=f(x) 在点在点处的处的导数导数, 有时也称函数有时也称函数 y=f(x) 在点在点处处可导可导
5、. 可记为可记为定义定义 设函数设函数 y=f(x) 在点在点的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义, 如果如果3.1.1 导数的定义导数的定义0x0x00 0()()lim xf xxf x x 0x0|x xy 0x xdy dx 0()fx0x xdf dx 或或或或或或.)()(lim)(0000hxfhxfxf h （1 1）导数定义的两种常见形式）导数定义的两种常见形式.)()(lim)(00 0 0xxxfxfxf xx xxfxxf xyxf xx )()(limlim)(000000()xxh它它处的变化率处的变化率点导数是因变量在点点导数是因变量在点,0x（2 2）关于导数的
6、说明：）关于导数的说明：而变化的快而变化的快因变量随自变量的变化因变量随自变量的变化反映了反映了 慢程度慢程度( )yf xI 如如果果函函数数在在开开区区间间 内内的的每每点点 ,( ).f xI处处都都可可导导 就就称称函函数数在在开开区区间间 内内可可导导,( )xIf x 对对于于任任一一都都对对应应着着的的一一个个确确定定的的.( ).f x导导数数值值这这个个函函数数叫叫做做函函数数的的导导函函数数.)(),(,dxxdf dxdyxfy或或记作记作 注意注意: :.)()(00xxxfxf 变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度00)()(lim|00tttftfv ttt
7、t 其中，其中， s = f (t) 为关于时间为关于时间 t 的位置函数的位置函数 切线的斜率切线的斜率.)()(lim000xxxfxfk xx 其中，其中， y = f (x) 为曲线的方程。为曲线的方程。);()() 1 (xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxf xy 算比值算比值.lim)3( 0xyy x 求极限求极限由定义求导数步骤由定义求导数步骤: :例例1 1求函数求函数的导数的导数解解: : (1)(1)求增量求增量: : (2)(2)算比值算比值: : (3)(3)取极限取极限: : 2xy ()( )yf xxf x 222()2()xxxx xx 2y
8、xxx 00limlim(2)2 xxyyxxxx 例例2 2.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解：解：hxfhxfxf h)()(lim)( 0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即例例3 3.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解：解：hxhxx hsin)sin(lim)(sin 0 22sin )2cos(lim 0hh hx h .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 hhhxh2sin)2cos(2 lim 0 例例4 4.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解：
9、解：hxhxxnnhn )(lim)( 0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx1().nnxnx 即即更一般地更一般地1().()xxR ()x 例如例如,1121 2x 1.2 x 1()x 1 1( 1)x 21.x 1 2()x 1()x 1() xx 3 4()x 7 43 4x 例例5 5.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解：解：haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim 0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 例例6 6.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解：解：hxhxyaahlog)
10、(loglim 0 .ln1)(logaxxa 即即.1)(lnxx x xhxh ah1)1(log lim 0 hxahxh x)1(loglim10 .ln1 ax hxhaxh x)1(limlog10 (2) ( )nf xx 1(). ()xxR (1) ( )f xC ( )0.C (sin )cos .xx (3) ( )sinf xx (4) ( )cosf xx (cos )sin .xx (5)( )(0,1)xf xaaa()ln .xxaaa .)(xxee (6)log(0,1)ayx aa(log)1 ( ln ).axxa (ln )1.xx 基本初等函数求导公
11、式基本初等函数求导公式1().2xx 211().xx 2015/11/152-1 导数的概念19设设0()fx 存在存在, 求极限求极限000(2 )()lim? hf xhf x h 000()()lim? hf xf xh h 000()()lim? hf xhf xh h 02()fx 0()fx 0()()fx 2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:00 00()()()lim; xf xxf xfxx 函数函数)(xf在点在点0x处可导处可导 )(0xf 和和)(0xf 都都存在且相等存在且相等. 00 00()()()lim; xf xxf xfxx 如果如果)(xf在开区间在开区间 ba,内可导，且内可导，且)(af 及及)(bf 都存在，就说都存在，就说)(xf在闭区间在闭区间 ba,上可导上可导.的的讨论在点讨论在点设函数设函数0 00,),(),()(xxxxxxxxf xxfxxfxf x )()(lim)(0000xxxxx )()(lim000
