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1、第 1 页（共 25 页） 高中数学组卷平面向量高中数学组卷平面向量 1 一选择题（共一选择题（共 18 小题）小题） 1 （2011漳浦县校级模拟）设向量 与 的夹角为 ，定义 与 的“向量积”：是一 个向量，它的模|sin，若，则| |=（ ） ABC2D4 2 （2011温州校级模拟）点 O 是ABC 所在平面上一点，若，则AOC 的面积与ABC 的面积之比为（ ） ABCD 3 （2010上虞市模拟）给定向量且满足，若对任意向量 满足 ，则的最大值与最小值之差为（ ） A2B1CD 4 （2010东城区模拟）在ABC 所在平面上有一点 P，满足，则PBC 与 ABC 面积之比是（ ）
2、ABCD 5 （2010海淀区校级模拟）非零向量若点 B 关于所在直线的对称点为 B1，则向量+为（ ） ABCD 6若函数 y=f（x）图象上存在三点 A、B、C，使，则称此函数有“中位点”，下列 函数y=cosx，y=|x1|，y=x3+sinx2，y=cosx+x2中，没有“中位点”的函数个数为 （ ） A1B2C3D4 7 （2012临海市校级模拟）称为两个向量 、 间的“距离”若向 量 、 满足：；对任意的 tR，恒有 则（ ） 第 2 页（共 25 页） ABCD 8 （2011上海）设 A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的 5 个不同点，则使 = 成立的点 M 的个数为（
3、） A0B1C5D10 9 （2011上海）设 A1，A2，A3，A4 是平面上给定的 4 个不同点，则使 成立的点 M 的个数为（ ） A0B1C2D4 10 （2007天津）设两个向量和， 其中 ，m， 为实数若，则的取值范围是（ ） A6，1B4，8C （，1D1，6 11 （2007浙江）若非零向量 ， 满足| |=| |，则（ ） A|2 | 2 |B|2 | 2 |C|2 |2 |D|2 |2 | 12 （2005浙江）已知向量 ，| |=1，对任意 tR，恒有| t | |，则（ ） A B （ ）C （ ）D （ + ）（ ） 13 （2005黑龙江）点 P 在平面上作匀速直线
4、运动，速度向量 =（4，3） （即点 P 的运动 方向与 v 相同，且每秒移动的距离为| |个单位设开始时点 P 的坐标为（10，10） ，则 5 秒后点 P 的坐标为（ ） A （2，4） B （30，25）C （10，5）D （5，10） 14 （2016平度市模拟）已知，则=（ ） A9B3C1D2 15 （2016枣庄一模）设 D 为ABC 所在平面内一点，=+，若 =（R） ，则 =（ ） A2B3C2D3 16 （2016 春衡阳校级月考）、为基底向量，已知向量=k，=2， =33，若 A、B、D 三点共线，则 k 的值是（ ） 第 3 页（共 25 页） A2B3C2D3 17
5、（2016 春简阳市校级月考）已知点 O，N 在ABC 所在的平面内，且|=|=|， += ，则点 O，N 依次是ABC 的（ ） A外心，内心B外心，重心C重心，外心D重心，内心 18 （2015朝阳区模拟）已知向量，| |=1，对任意 tR，恒有| t | |，则（ ） A B （ ）C （ ）D （ + ）（ ） 二填空题（共二填空题（共 9 小题）小题） 19 （2009湖南）如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若 =x+y，则 x= ，y= 20 （2006湖南）如图，OMAB，点 P 在由射线 OM，线段 OB 及 AB 的延长线围成的区 域内（不含边界）运动，且，则
6、x 的取值范围是 ；当 时，y 的取值范围是 21 （2013安徽模拟）已知 O 是直线 AB 外一点，平面 OAB 上一点 C 满足 是线段 AB 和 OC 的交点，则= 22 （2013新余二模）如图矩形 ORTM 内放置 5 个大小相同的边长为 1 的正方形，其中 A，B，C，D 都在矩形的边上，若向量，则 x2+y2= 第 4 页（共 25 页） 23 （2010江阴市校级模拟）已知点 O 在ABC 内部，且有，则OAB 与OBC 的面积之比为 24 （2010南安市校级模拟）已知单位向量 ， 满足：（k0） ， 则|的最大值为 25 （2010聊城二模）已知 D 为三角形 ABC 的
7、边 BC 的中点，点 P 满足 ，则实数 的值为 26 （2007江西）如图，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N，若=m，=n，则 m+n 的值为 27 （2005安徽）ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H， ，则实数 m= 三解答题（共三解答题（共 3 小题）小题） 28 （2008上海）在直角坐标平面 xOy 上的一列点 A1（1，a1） ，A2（2，a2） ， ，An（n，an） ，简记为An、若由构成的数列bn满足 bn+1bn，n=1，2，其中为方向与 y 轴正方向相同的单位向量，则称An为 T 点列，
8、 （1）判断， ，是否为 T 点列，并说明理由； （2）若An为 T 点列，且点 A2在点 A1的右上方、任取其中连续三点 Ak、Ak+1、Ak+2， 判断AkAk+1Ak+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形） ，并予以证明； （3）若An为 T 点列，正整数 1mnpq 满足 m+q=n+p，求证： 29 （2007 秋朝阳区期末）设动点 M 的坐标为（x，y） （x、yR） ，向量 =（x2，y） ， =（x+2，y） ，且|a|+|b|=8， （I）求动点 M（x，y）的轨迹 C 的方程； 第 5 页（共 25 页） （）过点 N（0，2）作直线 l 与曲线 C 交于 A、B
9、两点，若（O 为坐标原点） ，是否存在直线 l，使得四边形 OAPB 为矩形，若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，请 说明理由 30 （2005安徽）已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦 点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点，与 =（3，1）共线 （）求椭圆的离心率； （）设 M 为椭圆上任意一点，且，证明 2+2为定 值 第 6 页（共 25 页） 高中数学组卷平面向量高中数学组卷平面向量 1 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 18 小题）小题） 1 （2011漳浦县校级模拟）设向量 与 的夹角为 ，定义 与 的“向量积”
10、：是一 个向量，它的模|sin，若，则| |=（ ） ABC2D4 【分析】先求向量 a 和向量 b 的夹角，然后利用所给公式求解即可 【解答】解：cos=，（0，） ， ， |ab|=|a|b|sin= 故选 C 【点评】本题考查向量的模，是创新题，是中档题 2 （2011温州校级模拟）点 O 是ABC 所在平面上一点，若，则AOC 的面积与ABC 的面积之比为（ ） ABCD 【分析】根据题意，以 OA、OB 为一组邻边作OADB，连接 OD 与 AB 交于点 E，易得 AB 的中点为 E，由平行四边形法则易得+=2 将已知的向量等式变形，可得=，分析可得 O 的 AB 边的中线 OE 上
11、，且 O 为 OE 的 中点；依次分析AOC 的面积与ADC 的面积之比以及ADC 的面积与ABC 的面积之比， 即可得答案 【解答】解：根据题意，以 OA、OB 为一组邻边作OADB，连接 OD 与 AB 交于点 E， 由平行四边形的性质易得 AB 的中点为 E， 由平行四边形法则易得+=2 又由，可得， 则=， 则 O 的 AB 边的中线 OE 上，且 O 为 OE 的中点， O 为 OE 的中点，AOC 的面积与AEC 的面积之比为 1：2， E 为 AB 的中点，AEC 的面积与ABC 的面积之比为 1：2， 则AOC 的面积与ABC 的面积之比为 1：4， 故选 C 第 7 页（共
12、25 页） 【点评】本题考查向量的运算法则：关键是分析出 O 为 AE 的中点 3 （2010上虞市模拟）给定向量且满足，若对任意向量 满足 ，则的最大值与最小值之差为（ ） A2B1CD 【分析】令 = 可得 ，由| + |=| |=1，当 时，把 展开化简可得| |=1，故的最大值为 1，最小值为 0 【解答】解：对任意向量 满足，当 = 时， =0，故 ，由向量加减法的几何意义得| + |=1 由 可得， （ + ）+=0，= （ + ） ， =| | + |=| |，| |=1， 又| |0，故的最大值与最小值之差为 10=1， 故选：B 【点评】本题考查向量的模的定义，向量加减法的几
13、何意义，两个向量垂直的条件，属于 基础题 4 （2010东城区模拟）在ABC 所在平面上有一点 P，满足，则PBC 与 ABC 面积之比是（ ） ABCD 【分析】根据点所满足的条件知，P 是三角形的重心，根据重心的特点，得到两个三角形 的高之比，而两个三角形底边相同，所以得到结果 【解答】解：， P 是三角形的重心， P 到顶点的距离是到对边距离的 2 倍， PBC 与ABC 底边相同， PBC 与ABC 面积之比是 第 8 页（共 25 页） 故选 A 【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用 向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题
14、，三角函数问题，本题 把条件等式中的一个向量移项以后，就是用一组基底来表示向量 5 （2010海淀区校级模拟）非零向量若点 B 关于所在直线的对称点为 B1，则向量+为（ ） ABCD 【分析】容易知道，由平行四边形法则向量+的方向与向量的方向相同，因此只 需要求得与向量方向相同的单位向量以及向量在向量方向上的投影，即 可得到向量+ 【解答】解：如图由题意点 B 关于所在直线的对称点为 B1， 所以BOA=B1OA， 所以又由平行四边形法则知：+=， 且向量的方向与向量的方向相同， 由数量积的概念，向量在向量方向上的投影是 OM=， 又设与向量方向相同的单位向量为：， 所以向量=2=2= 故应
15、选：A 【点评】本题考查向量加法的平行四边形法则，向量的数量积的概念，向量的模的概念 第 9 页（共 25 页） 6若函数 y=f（x）图象上存在三点 A、B、C，使，则称此函数有“中位点”，下列 函数y=cosx，y=|x1|，y=x3+sinx2，y=cosx+x2中，没有“中位点”的函数个数为 （ ） A1B2C3D4 【分析】函数 y=f（x）图象上存在三点 A、B、C，使，则称此函数有“中位点”， 我们可以根据“中位点”的定义，对题目中的四个函数逐一进行判断即可得到答案 【解答】解：若函数 y=f（x）图象上存在三点 A、B、C， 使，则称此函数有“中位点”， 此时函数图象上必然有三点共线， 函数 y=cosx 的图象上（0，1） ， （，
