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1、1 专题专题 导数及其应用导数及其应用 考点精要考点精要 1了解导数概念的实际背景 2理解导数的几何意义 3了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数 的单调区间（其中多项式函数不超过三次） 4了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、 极小值（其中多项式函数一般不超过三次） ；会求闭区间上函数的最大值、最小 值（其中多项式函数一般不超过三次） 5会利用导数解决某些实际问题 热点解析热点解析 导数的几何意义及其应用，基本初等函数的导数公式及导数运算的四则运 算法则是高考的重点与热点，要会利用导数求曲线的切线，注意区分在某点处 的切线与过某点的曲
2、线的切线 求函数在点（x0，）处的切线方程或切线斜率；求函数的单调增)( 0 xf)(xf 区间或单调减区间；求函数在（a，b） 上的极值，求在a，b上的最大)(xf 值、最小值等等，在近几年高考试题中频频出现 知识梳理知识梳理 1一般地，函数 y=在 x=x0处的瞬时变化率是=( )f x 00 0 ()() lim x f xxf x x 我们称它为函数 y=在 x=x0处的导数导数，记作或 y|x=x0，即= 0 lim, x f x ( )f x 0 ()fx 0 ()fx 00 0 ()() lim x f xxf x x 2函数在 x=x0处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 k
3、=( )f x 00 0 ()() lim x f xxf x x 0 ()fx 3导函数= y=( )fx 0 ()( ) lim x f xxf x x 2 4c=0， （x1）=1， （x2）=2x， 2 11 xx 1 2 x x 5基本初等函数的导数公式： （1）若=c，则=0；（2）若=xn（n） ，则( )f x( )fx( )f x * =nxn1；( )fx （3）若=sinx，则=cosx；（4）若=cosx，则( )f x( )fx( )f x =sinx；( )fx （5）若=ax，则=axlna；（6）若=ex，则=ex；( )f x( )fx( )f x( )fx
4、（7）若=logax，则=；（8）若=lnx，则=；( )f x( )fx 1 lnxa ( )f x( )fx 1 x 6导数运算法则： （1） =（2） =+( )f x( )g x( )fx( )g x( )f x( )g x( )fx( )g x( )f x ；( )g x （3） 2 ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) f xfx g xf xg x g x g x 7.导数的应用体现在三个方面： （1）求曲线的切线：其方法是，先求函数在某点处的导数得切线斜率，再用点 斜式建立切线方程，后化为一般式 求曲线的切线时要注意两种不同的要求：一种是求“函数在某点处的切线”，
5、这个点就是切点；一种是求“函数过某点的切线”，则这个点可以是切点，也可 以不是切点。这两种要求的切线的求法有区别 （2）求函数的极大（小）值与最大（小值） 求可导函数的极值的步骤：)(xfy 求导数；这一步是基础，要求利用导数公式及运算法则正确地)(xfy 求出导函数)(x f 求方程=0 的根；这一步用到方程知识，注意=0 的根应在 y=)(x f )(x f 的定义域中)(xf 检验在方程=0 的根（又叫函数驻点）的左、右侧的符号是否)(x f )(x f 发生变化：如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 y=在)(x f )(xf 3 这个根处取得极大值；如果相反，在这个根的左侧
6、附近为负，右侧附近为)(x f 正，那么函数 y=在这个根处取得极小值)(xf 如果求闭区间a，b上函数的最值，则应在、及开区间)(af)(bf （a，b）内的极值中间作比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值 （3）研究函数的单调性 设函数 y=在某个区间 D 内可导，且，则在这个区间上为增函)(xf)(x f 0)(xf 数；若，则在这个区间上为减函数 （注意：这里=0 在 D 的)(x f 0)(xf)(x f 任意一个子区间内不能恒成立，否则，函数在这个子区间内为常函数，为水平 线段，不具有单调性） （4）不等式的恒成立问题与能成立（存在性）问题不等式的恒成立问题与能成立（存在性）问题
7、 不等式的恒成立问题不等式的恒成立问题 若若在在上恒成立，等价于上恒成立，等价于在在上的最小值上的最小值,xD( )f xmD( )f xD 成立，若成立，若在在上恒成立，等价于上恒成立，等价于在在上的最大上的最大 min ( )f xm,xD( )f xmD( )f xD 值值成立成立 max ( )f xm 对任意对任意，都有，都有成立的充要条件是成立的充要条件是 12 ,x xD 12 ()()f xg x maxmin ( )( )f xg x 不等式的能成立（存在性）问题不等式的能成立（存在性）问题 若若在在上能成立，等价于上能成立，等价于在在上的最大值上的最大值,xD( )f xm
8、D( )f xD 成立成立 m ( ) ax f xm 若若在在上能成立，等价于上能成立，等价于在在上的最小值上的最小值,xD( )f xmD( )f xD 成立。成立。 min ( )f xm 例题精讲: 例 1. 曲线 y=x ex+2x+1 在点（0,1）处的切线方程为_ 4 例 2. 有下列命题： x=0 是函数 y=x3的极值点 三次函数=ax3+bx2+cx+d 有极值点的充要条件是 b23ac0)(xf 奇函数=mx3+（m1）x2+48（m2）x+n 在区间（4，4）上是单调)(xf 函数 其中假命题的序号是_ 例 3. 已知函数=x3+bx2+cx+d 的图像过点 P（0，2
9、） ，且在点)(xf M（1，f（1） ）处的切线方程为 6xy+7=0 （1）求函数 y=的解析式；)(xf （2）求函数 y=的单调区间)(xf 例 4 （没有图像） 已知函数R）. a x ax xf( ln )( （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求 a 的)(xfy )1 (, 1 (f01 yx 值； om 5 （2）求函数的单调区间和极值；)(xf （3）当，且时，证明：1a1x . 1 )(xf 解：（I）函数( ) |0,f xx x 的定义域为 所以 2 1ln ( ). xa fx x 又曲线处的切线与直线平行，( )(1,(1)yf xf在点10xy 所以 4 分(1
10、)11,0.faa 即 （II）令 1 ( )0,. a fxxe 得 当 x 变化时，的变化情况如下表：( ),( )fxf x x 1 (0,) a e 1 a e 来 1 (,) a e ( )fx+0 ( )f x 极大值 由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是( )f x 1 (0,) a e 1 (,) a e 所以处取得极大值，9 分 1 ( ) a f xxe 在 11 ( )(). an f xf ee 极大值 （III）当 ln1 1,( ). x af x x 时 由于 ln1 1,( )1, x xf x x 要证 只需证明ln1.xx 令 11 ( )ln1,(
11、)1. x h xxxh x xx 则 6 因为，所以上单调递增，1x, 1)(, 0)( 在故xhxh 当即成立。, 0) 1 ()(,1hxhx时xx1ln 故当时，有1x . 1 )(, 1 1ln xf x x 即 13 分 例 5 18.（本小题共 14 分） 已知函数（）若，求函数的极值和单 1 ( )ln(0,)f xax aa x R 1a ( )f x 调区间； (II) 若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范 1,e 0 x 0 ()0f x a 围. 解：（I）因为，2 分 22 11 ( ) aax fx xxx 当， ，令，得 ，3 分 又的 1a 2 1
12、( ) x fx x ( )0fx 1x ( )f x 定义域为， (0,) ，随的变化情况如下表： ( )fx( )f x x x (0,1) 1 (1,) ( )fx 0 ( )f x 极小值Z 所以时，的极小值为 1 .5 分 的单调递增区间为，单调 1x ( )f x( )f x(1,) 递减区间为；6 分 (0,1) 7 （II）解法一：因为 ，且， 令，得到 22 11 ( ) aax fx xxx 0a ( )0fx ， 1 x a 在区间存在一点，使得成立，充要条件是在区间上 (0, e 0 x 0 ()0f x( )f x(0, e 的最小值小于 0 即可.7 分 （1）当，
13、即时，对成立，所以，在 1 0x a 0a ( )0fx (0,)x( )f x 区间上单调递减， (0, e 故在区间上的最小值为， ( )f x(0, e 11 ( )lnf eaea ee 由，得，即9 分 1 0a e 1 a e 1 (,)a e （2）当，即时， 若，则对成立，所 1 0x a 0a 1 e a ( )0fx (0, xe 以在区间上单调递减， 所以，在区间上的最小值为 ( )f x(0, e( )f x(0, e ， 11 ( )ln0f eaea ee 显然，在区间上的最小值小于 0 不成立11 分 ( )f x(0, e 若，即时，则有 1 0e a 1 a
14、e x 1 (0,) a 1 a 1 (, ) e a ( )fx 0 ( )f x 极小 Z 8 值 所以在区间上的最小值为，由 ( )f x(0, e 11 ( )lnfaa aa ， 11 ( )ln(1ln )0faaaa aa 得 ，解得，即.13 分 1ln0aae ( ,)ae 综上，由(1)（2）可知：符合题意.14 分 1 (,)( ,)ae e U 解法二：若在区间上存在一点，使得成立， 即， (0, e 0 x 0 ()0f x 0 0 1 ln0ax x 因为, 所以，只需7 分 0 0x 00 1ln0axx 令，只要在区间上的最小值小于 0 即可 ( )1lng xaxx ( )1lng xaxx (0, e 因为，令， ( )ln(ln1)g xaxaax( )(ln1)0g xax 得9 分 1 x e （1）当时： 0a x 1 (0, ) e 1 e 1 ( , e e ( )g x 0 ( )g x Z极大值 因为时，而， 1 (0, )x e ( )1ln0g xaxx ( )1ln1g ea
