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1、集合知识点总结集合知识点总结一、集合的概念一、集合的概念教学目标：教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法教学重教学重点：集合中元素的 3 个性质，集合的 3 种表示方法，集合语言、集合思想的运用：（一）主要知识：（一）主要知识：1集合、子集、空集的概念； 2集合中元素的 3 个性质，集合的 3 种表示方法；3若有限集有 个元素，则的子集有个，真子集有，非AnA2n21n空子集有个，非空真子集有个21n22n二、集合的运算二、集合的运算教学目标：教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进
2、一步掌握集合问题的常规处理方法教学重点：教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用（一）主要知识：（一）主要知识：1交集、并集、全集、补集的概念； 2，；ABAABIABAABU3，()UUUC AC BCABIU()UUUC AC BCABUI（二）主要方法：（二）主要方法：1求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图数轴或文氏图的作用； 2含参数的问题含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论分类讨论时要防止在空集上出问题；3集合的化简集合的化简是实施运算的前提，等价转化等价转化常是顺利解题的关键考点要点总结与归纳考点要点总结与归纳一、集合有关概念一、集合有关概念1. 集合的概
3、念：能够确切指定的一些对象的全体。2. 集合是由元素组成的集合通常用大写字母 A、B、C，表示，元素常用小写字母 a、b、c，表示。3. 集合中元素的性质：确定性，互异性互异性，无序性。（1）确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝无模棱两可的情况。如：世界上最高的山（2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现一次。如：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合4. 元素与集合的关系（1）元素 a 是集合 A 中的元素，记做 aA，读作“a 属于集合 A” ；（
4、2）元素 a 不是集合 A 中的元素，记做 aA，读作“a 不属于集合A” 。5. 集合的表示方法：自然语言法，列举法，描述法，图示法。列举法，描述法，图示法。（1 1）自然语言法：）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于 2 且小于等于 8 的偶数构成的集合。（2 2）列举法：）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法，一般适用于元素个数不多的有限集，简单、明了，能够一目了然地知道集合中的元素是什么。注意事项：注意事项：元素间用逗号隔开；元素不能重复；元素之间不用考虑先后顺序；元素较多且有规律的集合的表示：0,1,2,3，100表示不大于 100 的自
5、然数构成的集合。（3 3）描述法：）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是xI | p(x).注意事项：注意事项：写清楚该集合中元素的代号；说明该集合中元素的性质；不能出现未被说明的字母；多层描述时，应当准确使用“且” 、“或” ；所有描述的内容都要写在集合符号内；语句力求简明、准确。（4 4）图示法：）图示法：主要包括 Venn 图（韦恩图） 、数轴上的区间等。韦恩图法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的方法，常用于直观表示集合间的关系。6. 集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集 ：不含任何元素的集合 例：x|x2=5 常用数
6、集及其记法：常用数集及其记法：（1）自然数集：又称为非负整数集，记做 N N；（2）正整数集：自然数集内排除 0 的集合，记做 N N+或 N N；（3）整数集：全体整数的集合，记做 Z Z（4）有理数集：全体有理数的集合，记做 Q Q（5）实数集：全体实数的集合，记做 R R二、集合间的基本关系二、集合间的基本关系7.子集子集的概念：A 中的任何一个元素都属于 B。记作：AB 任何一个集合是它本身的子集。AA 如果 AB, BC ,那么 AC8.空集空集：不含任何元素的集合叫做空集空集，记为 规定规定: : 空集是任何集合的子集； 空集是任何非空集合的真子集。9.相等集合：如果构成两个集合的
7、元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。如：且则 A=BABBA10. 真子集真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 真子集。记作：AB11. 集合间的基本关系 1.“1.“包含包含”关系关系子集子集注意：有两种可能（1）A 是 B 的一部分、 （2）A 与 B 是同一集BA 合。反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA2 2 “相等相等”关系关系：A=B (55，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”12.若有限集有 个元素，则的子集有个，真子集有，AnA2n21
8、n非空子集有个，非空真子集有个21n22n三、集合的运算三、集合的运算1、交集：交集： BxAx|xBA且2、并集：并集：|BxAxxBA或3、补集：补集：Axx|xACU且U运算类型交 集并 集补 集定 义由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集记作 AB（读作I“A 交 B” ） ，即AB=x|x AI，且 x B 核心词汇：共有共有由所有属于集合A 或属于集合 B的元素所组成的集合，叫做 A,B的并集记作：AB（读作AU并 B ） ，即 AB U=x|x A，或 xB)核心词汇：全部全部设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于 A 的元素
9、组成的集合，叫做 S 中子集A 的补集（或余集）记作，即ACSCSA=,|AxSxx且韦恩图示AB图 1AB图 2S AS A性 质AA=A IA=IAB=BAIIABAIABBIAA=AUA=AUAB=BAUUABUABBU(CuA) (CuB)I= Cu (AB)U(CuA) (CuB)U= Cu(AB)IA (CuA)=UUA (CuA)= I经典例题：经典例题：例一、例一、判断下列集合是否为同一个集合 -不是，一个是点集，一个是数集 1,2 ,1,2AB -不是，元素范围不|05 ,|05AxNxBxRx同-不是，一个是点集，一个是数|21 ,|21Ay yxBx yyx集-是，元素相
10、同，均是实数，与代|5 ,|5Ax xBy y表元素无关例二、例二、用适当的符号填空：； ； ； ； a a , a b a a a； 1,2,3 1,2,3,4应该注意的问题：应该注意的问题： 集合与元素之间是属于关系属于关系，集合与集合之间的是包含关系包含关系，两者不能混淆。例三例三、已知集合，0,1,2,4,5,7 ,1,4,6,8,9 ,4,7,9MNP则等于 【】 MNMPIUI1,4,7解：，故 1,4 ,4,7MNMP 1,4,7MNMP IUI例四、例四、若集合，且，则 【 或】21,3,1AxBxBAx 03解：依题，则，或，解出；BA2xx23x 0,1,3x 由于元素具有
11、互异性元素具有互异性，故舍去 1。例五、例五、集合,若,则 的值为 0,2,Aa21,Ba0,1,2,4,16AB Ua【4】 解：,0,2,Aa21,Ba0,1,2,4,16AB U2164aa4a 例六、例六、设集合，则 【1( , )1 ,1yUx y yxAx yxUC A 】0, 1解：表示平面上满足直线的无数点，其中1,1yAx yx11y x。0,1xy 又表示平面上满足直线上的全部点，故( , )1Ux y yx1yx补集为，这组有序数对。0, 1例七、例七、已知集合，若，则实数 的取14 ,AxxBx xaAB a值集合为 【】4a a 解：步骤：在数轴上画出已知集合；由确定
12、，应往左画（若为，则往右画） ，进而xaxa开始实验；得到初步试验结果；验证端点。试验得到：，当时，由于集合也不含有 4，故满足4a 4a A。AB 综上所述，。4a a 例八、例八、设集合，| 32Mmm Z| 13NnnZ则 【】MN I101 ，解：首先观察，两个集合均为数集，代表元素的不同不影响集合本身。其次范围均为整数，故，因此取交集后，得到的结果应为2, 1,0,1 ,1,0,1,2,3MN 。101 ，例九、例九、，若，| 13Axx |Bx xaAB I则实数 的取值范围是 【】a3a 解：步骤：在数轴上画出已知集合；由确定，应往左画（若为，则往右画） ，进而开始实xaxa验；
13、得到初步试验结果；验证端点。试验得到的结果为，验证端点，当时，由于集合不含有3a 3a A3，满足交集为。综上所述， 的取值范围是。a3a 注意：在画数轴时，要注意层次感和端点的虚实！注意：在画数轴时，要注意层次感和端点的虚实！例十例十、满足的集合为 【】11,2,3MM 1 , 1,2 , 1,3解：因为，因此中必须含有 1 这个元素。又知道1MM1,2,3M 故得到。 （不满足真子集的要求） 1 , 1,2 , 1,31,2,3例十一例十一、已知集合，且2220 ,0Ax xpxBx xxq，2,0,1AB 求实数的值。 【】, p q0,1qp解：观察集合，可知，又有，则。A0A2,0,
14、1AB 0B将 0 代入，得到，反解，得到或20xxq0q 20xx0x 1。由于，则。2,0,1AB 0,1B 2A 将代入，解得。2220xpx1p 例十二、例十二、已知集合，若，求 222 ,120ABx xaxa ABB实数 的取值范围。 【或】a4a 4a 解：当时，方程无解，解得或B 22120xaxa0 4a ；4a 当时，方程有一个解，同时将B 22120xaxa0 代入，解得；222120xaxa4a 综上所述 的取值范围为或。a4a 4a 练习题练习题1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合a，b，c 的真子集共有 个 。1已知集合，若，则tM, 3 , 11
