全等三角形几种类型(总结)

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1、全等三角形与角平分线全等三角形与角平分线全等图形：全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形全等多边形：全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角全等多边形的对应边、对应角分别相等如下图，两个全等的五边形，记作：五边形五边形ABCDEA B C D E这里符号“”表示全等，读作“全等于” AB CDEED CBA全等三角形：全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面

2、积均相等全等三角形的概念与表示：全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角全等符号为“”全等三角形的性质：全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3)有公共边的，公共边常是对应边(4)有公共角的，公共角常是对应角(5)有对顶角的，对顶角常是对应角全等三角形的判定方法：全等三角形的判

3、定方法： (1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等判定三角形全等的基本思路：判定三角形全等的基本思路： SASHLSSS 找夹角已知两边 找直角找另一边ASAAASSASAAS 边为角的对边找任意一角找这条边上的另一角已知一边一角边就是角的一条边 找这条边上的对角找该角的另一边ASA

4、AAS 找两角的夹边已知两角找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： 平移全等型 对称全等型 旋转全等型由全等可得到的相关定理：由全等可得到的相关定理： 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的

5、垂直平分线上与角平分线相关的问题 角平分线的两个性质：角平分线的两个性质： 角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上它们具有互逆性角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3 ，这种对称的图形应用得也较为普遍，OAOBABOPPOBAABOP三角形中线的定义：三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 三角形中线的相关定理：三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角

6、平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半中位线判定定理：中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边中线中位线相关问题中线中位线相关问题(涉及中点的问题涉及中点的问题) 见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见例题精讲板块一、全等三角形的认识与性质【例例 1】 在在、上各取一点上各取一点、，使，使，连接，连接、相交于相交于再连结再

7、连结、，ABACEDAEADBDCEOAOBC 若若，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由12 21EOD CBA【巩固巩固】如图所示，如图所示，在在上，上，与与相交于相交于图中有几对全等图中有几对全等ABADBCDCEF、ACACBDP 三角形？请一一找出来，并简述全等的理由三角形？请一一找出来，并简述全等的理由板块二、三角形全等的判定与应用【例例 2】 ( (2008 年巴中市高中阶段教育学校招生考试年巴中市高中阶段教育学校招生考试) )如图，如图，求求ACDEBCEFACDE 证：证：AFBDFEDCBA【例例 3】 ( (2008 年宜

8、宾市年宜宾市) )已知：如图，已知：如图，求证：，求证： ADBCACBDCD FAEPDCBODCBA【巩固巩固】如图，如图，、相交于相交于点，且点，且，求证：，求证：ACBDOACBDABCDOAODABCDO【例例 4】 ( (哈尔滨市哈尔滨市 2008 年初中升学考试年初中升学考试) )已知：如图，已知：如图，、四点在同一条直线上，四点在同一条直线上，BEFC ，求证：求证：ABDCBECFBC OAODFEODCBA【例例 5】 已知，如图，已知，如图，求证：，求证：ABACCEABBFACBFCEFECBA【例例 6】、分别是正方形分别是正方形的的、边上的点，且边上的点，且求证：求

9、证：EFABCDBCCDBECFAEBFPFEDCBA【巩固巩固】、分别是正方形分别是正方形的的、边上的点，边上的点，求证：求证：EFGABCDBCCDABGEEFGEEF BGCFBCGABCDEF【例例 7】 在凸五边形中，在凸五边形中，为为中点求证：中点求证：BE CD BCDEMCDAMCDMEDCBA板块三、截长补短类【例例 1】 如图，点如图，点为正三角形为正三角形的边的边所在直线上的任意一点所在直线上的任意一点( (点点除外除外) )，作，作，MABDABB60DMN 射线射线与与外角的平分线交于点外角的平分线交于点，与与有怎样的数量关系有怎样的数量关系? ?MNDBANDMMN

10、NEBMAD【巩固巩固】如图，点如图，点为正方形为正方形的边的边上任意一点，上任意一点，且与且与外角的平分线交于外角的平分线交于MABCDABMNDMABC 点点，与与有怎样的数量关系？有怎样的数量关系？NMDMNNCDEBMA【例例 2】 如图，如图，ADAB，CBAB，DM=CM=，AD=，CB=， AMD=75， BMC=45，则，则 ABahk 的长为的长为 ( ( ) )A. B. C. D. ak2khhMDCBA【例例 3】 已知：如图，已知：如图，ABCD 是正方形，是正方形， FAD= FAE. 求证：求证：BE+DF=AE.FEDCBA【例例 4】 如图所示，如图所示，是边

11、长为是边长为 的正三角形，的正三角形，是顶角为是顶角为的等腰三角形，以的等腰三角形，以为顶点为顶点ABC1BDC120D 作一个作一个的的，点，点、分别在分别在、上，求上，求的周长的周长60MDNMNABACAMNNMDCBA【例例 5】 五边形五边形 ABCDE 中，中，AB=AE，BC+DE=CD， ABC+ AED=180，求证：，求证：AD 平分平分 CDECEDBA板块四、与角平分线有关的全等问题板块四、与角平分线有关的全等问题 【例例 1】 如图，已知如图，已知的周长是的周长是，分别平分分别平分和和，于于，且，且ABC21OBOCABCACBODBCD ，求，求的面积的面积3OD

12、ABCADOCB【例例 2】 在在中，中，为为边上的点，已知边上的点，已知，求证：，求证：ABCDBCBADCAD BDCDABAC【例例 3】 已知已知中，中，、分别是分别是及及平分线求证：平分线求证：ABCABACBECDABCACBCDBEEDCBA【例例 4】 已知已知中，中，、分别平分分别平分和和，、交于点交于点，试判，试判ABC60ABDCEABCACBBDCEO 断断、的数量关系，并加以证明的数量关系，并加以证明BECDBCOEDCBA【例例 5】 如图，已知如图，已知是是上的一点，又上的一点，又，求证：求证：EAC12 34 EDEBDCBAEDCBA4321【例例 6】 (“

13、(“希望杯希望杯”竞赛试题竞赛试题) )长方形长方形 ABCD 中，中，AB=4，BC=7， BAD 的角平分线交的角平分线交 BC 于点于点 E，EFED 交交 AB 于于 F，则，则 EF=_FEDCBA【例例 7】 如图所示，已知如图所示，已知中，中，平分平分，、分别在分别在、上上，ABCADBACEFBDADDECD 求证：求证：EFACEFABFACDEB【巩固巩固】如图，在如图，在中，中，交交于点于点，点，点是是中点，中点，交交的延长线于点的延长线于点，ABCADBCDEBCEFADCAF 交交 于点于点，若，若，求证：，求证：为为的角平分线的角平分线ABGBGCFADBACFGE

14、DCBA【巩固巩固】在在中，中，是是的平分线的平分线是是上任意一点上任意一点求证：求证：ABCABACADBACPAD ABACPBPCCDBPA【例例 8】 如图，在如图，在中，中，的平分线的平分线交交与与求证：求证：ABC2BC BACADBCDABBDACDCBA【例例 9】 如如图所示，在图所示，在中，中，为为的中点，的中点，是是的平分线，若的平分线，若ABCACABMBCADBAC且交且交的延长线于的延长线于，求证，求证CFADADF1 2MFACABMFDCBA【巩固巩固】如图所示，如图所示，是是中中的外角平分线，的外角平分线，于于，是是的中点，求证的中点，求证ADABCBACCDADDEBC且且DEAB1()2DEABACEDCBA【巩固巩固】如图所示，在如图所示，在中，中，平分平分，于于，求证，求证ABCADBACADABCMADM 2ABACAMMDCBA【例例 10】如图，如图，中，中，、分别为两底角的外角平分线，分别为两底角的外角平分线，于于，ABCABACBDCEADBDD 于于求证：求证：AECEEADAEHGDABCE【巩固巩固】已知：已知：和和分别是分别是的的和和的外角平分线，的外角平分线，ADBEABCCABCBACDADCEBE求证：求证： ；